合理利用線材問題：如何下料使用材最少。配料問題：在原料供給量的限制下如何獲取最大利潤。投資問題：從投資工程中選取方案，使投資回報最大。2.線性規劃應用建模

一、線性規劃---合理利用線材問題：如何下料使用材最少。2.線性規劃1產品生產方案：合理利用人力、物力、財力等，使獲利最大。勞動力安排：用最少的勞動力來滿足工作的需要。運輸問題：如何制定調運方案，使總運費最小。2.線性規劃應用產品生產方案：合理利用人力、物力、財力等，使獲2數學規劃的建模有許多共同點，要遵循以下原那么：(1)容易理解。建立的模型不但要求建模者理解，還應當讓有關人員理解。這樣便于考察實際問題與模型的關系，使得到的結論能夠更好地應用于解決實際問題。(2)容易查找模型中的錯誤。這個原那么的目的顯然與(1)相關。常出現的錯誤有：書寫錯誤和公式錯誤。2.線性規劃應用數學規劃的建模有許多共同點，要遵循以下原那么：2.線3(3)容易求解。對線性規劃來說，容易求解問題主要是控制問題的規模，包括決策變量的個數和約束條件的個數。這條原那么的實現往往會與(1)發生矛盾，在實現時需要對兩條原那么進展統籌考慮。2.線性規劃應用(3)容易求解。對線性規劃來說，容易求解問題主要是控4建立線性規劃模型的過程可以分為四個步驟：(1)設立決策變量；(2)明確約束條件并用決策變量的線性等式或不等式表示；(3)用決策變量的線性函數表示目標，并確定是求極大〔Max〕還是極小〔Min〕；(4)根據決策變量的物理性質研究變量是否有非負性。2.線性規劃應用建立線性規劃模型的過程可以分為四個步驟：2.線性規劃5例3.12：某晝夜效勞的公交線路每天各時間段內所需司機和乘務人員數如下：

①人力資源分配的問題設司機和乘務人員分別在各時間段一開場時上班，并連續工作8h，問該公交線路怎樣安排司機和乘務人員，既能滿足工作需要，又配備最少司機和乘務人員?例3.12：某晝夜效勞的公交線路每天各時間段內所需6解：設xi表示第i班次時開場上班的司機和乘務人員數,這樣我們建立如下的數學模型。目標函數：Minx1+x2+x3+x4+x5+x6約束條件：s.t.x1+x6≥60x1+x2≥70x2+x3≥60x3+x4≥50x4+x5≥20x5+x6≥30x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0

人力資源分配的問題解：設xi表示第i班次時開場上班的司機和乘務人員7例3.13:某工廠要做100套鋼架，每套用長為2.9m,2.1m,1.5m的圓鋼各一根。原料每根長7.4m，問：應如何下料，可使所用原料最省？②套裁下料問題解:考慮以下各種下料方案〔按一種邏輯順序給出〕把各種下料方案按剩余料頭從小到大順序列出例3.13:某工廠要做100套鋼架，每套用長為2.9m,8假設x1,x2,x3,x4,x5分別為上面前5種方案下料的原材料根數。我們建立如下的數學模型。目標函數：

Min

x1+x2+x3+x4+x5

約束條件：

s.t.

x1+2x2+x4≥1002x3+2x4+x5≥1003x1+x2+2x3+3x5≥100x1,x2,x3,x4,x5≥0套裁下料問題假設x1,x2,x3,x4,x5分別為上面前5種方案9

例3.14:明興公司生產甲、乙、丙三種產品，都需要經過鑄造、機加工和裝配三個車間。甲、乙兩種產品的鑄件可以外包協作，亦可以自行生產，但產品丙必須本廠鑄造才能保證質量。數據如下表。問：公司為了獲得最大利潤，甲、乙、丙三種產品各生產多少件？甲、乙兩種產品的鑄造中，由本公司鑄造和由外包協作各應多少件？③生產方案的問題例3.14:明興公司生產甲、乙、丙三種產品，都需要經過鑄10解：設x1,x2,x3

分別為三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三種產品的件數，x4,x5

分別為由外協鑄造再由本公司機加工和裝配的甲、乙兩種產品的件數。生產方案的問題解：設x1,x2,x3分別為三道工序都由本公司加11求xi的利潤:利潤=售價-各本錢之和可得到xi〔i=1,2,3,4,5〕的利潤分別為15、10、7、13、9元。這樣我們建立如下數學模型：目標函數:Max15x1+10x2+7x3+13x4+9x5約束條件：s.t.5x1+10x2+7x3≤80006x1+4x2+8x3+6x4+4x5≤120003x1+2x2+2x3+3x4+2x5≤10000x1,x2,x3,x4,x5≥0生產方案的問題求xi的利潤:利潤=售價-各本錢之和12

例3.15:永久機械廠生產Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種產品，均要經過A、B

兩道工序加工。假設有兩種規格的設備A1、A2能完成A

工序；有三種規格的設備B1、B2、B3能完成B

工序。Ⅰ可在A、B的任何規格的設備上加工；Ⅱ可在任意規格的A設備上加工，但對B工序,只能在B1設備上加工；Ⅲ只能在A2與B2設備上加工；數據如下表。問：為使該廠獲得最大利潤，應如何制定產品加工方案？生產方案的問題例3.15:永久機械廠生產Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種產品，均要經過13解：設xijk表示第i種產品，在第j種工序上的第k種設備上加工的數量.利潤=[〔銷售單價-原料單價〕×產品件數]之和-〔每臺時的設備費用×設備實際使用的總臺時數〕之和。

生產方案的問題解：設xijk表示第i種產品，在第j種工序上的第14這樣我們建立如下的數學模型:Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123s.t5x111+10x211≤6000〔設備A1〕7x112+9x212+12x312≤10000〔設備A2〕6x121+8x221≤4000(設備B1〕4x122+11x322≤700(設備B2〕7x123≤4000〔設備B3〕生產方案的問題這樣我們建立如下的數學模型:生產方案的問題15x111+x112-x121-x122-x123=0(Ⅰ產品在A、B工序加工的數量相等〕x211+x212-x221=0(Ⅱ產品在A、B工序加工的數量相等〕x312-x322=0(Ⅲ產品在A、B工序加工的數量相等〕xijk≥0,i=1,2,3;j=1,2;k=1,2,3生產方案的問題x111+x112-x121-x122-x123=16

例3.16:某工廠要用三種原料1、2、3混合調配出三種不同規格的產品甲、乙、丙，數據如下表。問：該廠應如何安排生產，使利潤收入為最大？④配料問題例3.16:某工廠要用三種原料1、2、3混合調配出三種不17配料問題解：設xij表示第i種〔甲、乙、丙〕產品中原料j的含量。這樣我們建立數學模型時，要考慮：

對于甲：x11，x12，x13；

對于乙：x21，x22，x23；

對于丙：x31，x32，x33；

對于原料1：x11，x21，x31；

對于原料2：x12，x22，x32；

對于原料3：x13，x23，x33；配料問題解：設xij表示第i種〔甲18目標函數：

利潤最大，利潤=收入-原料支出

約束條件：規格要求4個；

供給量限制3個。

Max

z=-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33

配料問題目標函數：

利潤最大，利潤=收入-原料支出

約束19s.t.0.5x11-0.5x12-0.5x13≥0〔原材料1不少于50%〕-0.25x11+0.75x12-0.25x13≤0〔原材料2不超過25%〕0.75x21-0.25x22-0.25x23≥0〔原材料1不少于25%〕-0.5x21+0.5x22-0.5x23≤0〔原材料2不超過50%〕x11+x21+x31≤100(供給量限制〕x12+x22+x32≤100(供給量限制〕x13+x23+x33≤60(供給量限制〕xij≥0,i=1,2,3;j=1,2,3配料問題s.t.0.5x11-0.5x12-0.5x1320例3.17：某部門現有資金200萬元，今后五年內考慮給以下的工程投資。：工程A：從第一年到第五年每年年初都可投資，當年末能收回本利110%；工程B：從第一年到第四年每年年初都可投資，次年末能收回本利125%，但規定每年最大投資額不能超過30萬元；工程C：需在第三年年初投資，第五年末能收回本利140%，但規定最大投資額不能超過80萬元；工程D：需在第二年年初投資，第五年末能收回本利155%，但規定最大投資額不能超過100萬元。

⑤投資問題例3.17：某部門現有資金200萬元，今后五年內考慮21

據測定每萬元每次投資的風險指數如下表：

投資問題據測定每萬元每次投資的風險指數如下表：

投資問題22

a〕應如何確定這些工程的每年投資額，使得第五年年末擁有資金的本利金額為最大？

b〕應如何確定這些工程的每年投資額，使得第五年年末擁有資金的本利在330萬元的根底上使得其投資總的風險系數為最小？

問：投資問題

a〕應如何確定這些工程的每年投資額，使得第五年年末23投資問題解：1〕確定決策變量：連續投資問題設xij(i=1—5，j=1、2、3、4)表示第i年初投資于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)工程的金額。這樣我們建立如下決策變量：Ax11x21x31x41x51Bx12x22x32x42Cx33Dx24投資問題解：1〕確定決策變量：連續投資問題242〕約束條件：第一年：A當年末可收回投資，故第一年年初應把全部資金投出去，于是：x11+x12=200第二年：B次年末才可收回投資故第二年年初的資金為1.1x11，于是：x21+x22+x24=1.1x11第三年：年初的資金為1.1x21+1.25x12，于是：x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12第四年：年初的資金為1.1x31+1.25x22，于是：x41+x42=1.1x31+1.25x22第五年：年初的資金為1.1x41+1.25x32，于是：x51=1.1x41+1.25x32B、C、D的投資限制：xi2≤30(i=1，2，3，4)，x33≤80，x24≤100投資問題2〕約束條件：投資問題25a)Maxz=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24s.t.x11+x12=200x21+x22+x24=1.1x11x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12x41+x42=1.1x31+1.25x22x51=1.1x41+1.25x32xi2≤30(i=1、2、3、4)，x33≤80，x24≤100xij≥0(i=1,2,3,4,5；j=1,2,3,4〕最優解Z=341.35x11=170x12=63x13=0x14=0x15=33.5x21=30x22=24x23=26.79999x33=80x42=1003〕目標函數及模型：投資問題a)Maxz=1.1x51+1.25x42+1.4x33+26b)Minf=〔x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24s.t.x11+x12≤200x21+x22+x24≤1.1x11+200-(x11+x12)x31+x32+x33≤1.1x21+1.25x12x41+x42≤1.1x31+1.25x22x51≤1.1x41+1.25x32xi2≤30(i=1、2、3、4)，x33≤80，x24≤1001.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24≥330xij≥0(i=1,2,3,4,5；j=1,2,3,4〕投資問題b)投資問題27⑥牧草農場問題〔最小化問題〕農場在試驗一種新賽馬食品。賽馬食品有三種：普通飼料、高營養燕麥和新飼料。成分如下表：飼料成分普通飼料S高營養燕麥E新飼料A飼料A0.80.20.0飼料B1.01.53.0飼料C0.10.62.0每磅成本0.250.503.00一匹馬一天的最小進食量為：3單位A、6單位B、4單位C總攝入量不能超過6磅。農場希望找到一種飼料組合，既可以滿足馬一天的營養需要，又可以使總本錢最低。⑥牧草農場問題〔最小化問題〕農場在試驗一種新賽馬食品。賽馬食28牧場問題的線性規劃模型為：▲最小化0.25S+0.50E+3A▲約束條件飼料A

0.8S+0.2E≥

3飼料B1.0S

+1.5E+3.0A≥6飼料C0.1

S+0.6E+2.0A≥

4總飼料量

S+E+A≤6

S，E,A≥

0▲最優解

S=3.514E=0.946A=1.541牧場問題的線性規劃模型為：▲最小化0.25S+0.50E29⑦電子通信公司問題〔4變量〕公司開發了新產品，有4種分銷渠道。情況如下表：分銷渠道單位銷售利潤單位廣告成本單位銷售時間航海分銷店M90102商業分銷店B8483全國連鎖店R7093直接郵購D6015無廣告預算5000美元，每個分銷點最大銷售時間1800小時。現階段產品600個，全國連鎖店最少銷售150個如何分配各渠道的銷售量、銷售時間以及廣告預算，可以使銷售利潤最大。⑦電子通信公司問題〔4變量〕公司開發了新產品，有4種分銷渠道30通信公司問題的線性規劃模型：▲最大化90M+84B+70R+60D▲約束條件廣告10M+8B+9R+15D≤5000可銷售時間2M+3B+3R≤1800生產水平

M+B+R+D=600連鎖店銷售要求

R≥150M,B，R

,D≥

0▲最優解

M=25B=425AR=150D=0通信公司問題的線性規劃模型：▲最大化90M+84B+7031⑧威爾特公司企業退休金財務方案公司有一個提前退休方案，未來8年內為68個提前退休人員準備資金如下表(每年年初支付)：理財途徑有1.一年期儲蓄利率4％2.第一年年初可以投資政府債券投資〔3種〕，面值1000，到期時支付1000，利率是相對于面值的。利息每年年末提取,不作復利計算。收益如下：年度12345678現金需求430210222231240195225255⑧威爾特公司企業退休金財務方案公司有一個提前退休方案，未來832威爾特公司企業退休金財務方案債券價格利率到期年數111508.8755210005.50063135011.7507決策變量有F八年方案所需總金額B1第一年年初買入債券1的單位數量B2第一年年初買入債券2的單位數量B3第一年年初買入債券3的單位數量Si第i年年初投資于儲蓄的金額〔i=1、2、……8〕威爾特公司企業退休金財務方案債券價格利率到期年數11133威爾特公司企業退休金財務方案：▲最小值F▲約束條件第一年F-1.15B1-1B2-1.35B3-S1

=430第二年0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S1-S2=210第三年0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S2-S3=222第四年0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S3-S4=231第五年0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S4-S5=240第六年1.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S5-S6=195第七年1.055B2+0.1175B3+1.04S6-S7=225第八年1.1175B3+1.04S7-S8=255各參數≥

0▲最優解

F=1728.794B1=144.988B2=187.856B3=228.188S1=636.148S2=501.606S3=349.682S4=182.681S5=S6=S7=S8=0年初可用資金-投資于債券和儲蓄的金額=該年的支付責任威爾特公司企業退休金財務方案：▲最小值F年初可用資金-投資于34⑨

資源利用問題

假設某地區擁有m種資源，其中，第i種資源在規劃期內的限額為bi(i=1，2，…，m)。這m種資源可用來生產n種產品，其中，生產單位數量的第j種產品需要消耗的第i種資源的數量為aij(i=1，2，…，m；j=1,2,…,n)，第j種產品的單價為cj(j=1，2，…，n)。試問如何安排這幾種產品的生產方案，才能使規劃期內資源利用的總產值到達最大?⑨資源利用問題假設某地區擁有m種資源，其中35設第j種產品的生產數量為xj(j=1，2，…，n)，那么上述資源問題就是：求一組實數變量xj(j=1，2，…，n)，使其滿足設第j種產品的生產數量為xj(j=1，2，…，n)，那么上述36⑩農場種植方案模型某農場I、II、III等耕地的面積分別為100hm2〔公頃〕、300hm2和200hm2，方案種植水稻、大豆和玉米，要求三種作物的最低收獲量分別為190000kg、130000kg和350000kg。I、II、III等耕地種植三種作物的單產如表3.3.1所示。假設三種作物的售價分別為水稻1.20元/kg，大豆1.50元/kg，玉米0.80元/kg。那么，〔1〕如何制訂種植方案，才能使總產量最大？〔2〕如何制訂種植方案，才能使總產值最大？⑩農場種植方案模型某農場I、II、III等耕地的面積分別37表3.3.1不同等級耕地種植不同作物的單產(單位:kg/hm2)

I等耕地II等耕地III等耕地水稻1100095009000大豆800068006000玉米140001200010000表3.3.1不同等級耕地種植不同作物的單產(單位:kg/38對于上面的農場種植方案問題，我們可以用線性規劃方法建立模型。根據題意，決策變量設置如表3.3.2所示,表中Xij表示在第j等級的耕地上種植第i種作物的面積。三種作物的產量可以用表3.3.3表示。對于上面的農場種植方案問題，我們可以用線性規劃方法建立模型。39表3.3.2作物方案種植面積〔單位:hm2)表3.3.3三種作物的總產量〔單位:kg〕

I等耕地II等耕地III等耕地水稻大豆玉米作物種類總產量水稻大豆玉米表3.3.2作物方案種植面積〔單位:hm2)

I等耕40根據題意，約束方程如下,耕地面積約束：最低收獲量約束：

非負約束：

根據題意，約束方程如下,耕地面積約束：41調用Matlab軟件系統優化工具箱中的linprog函數，進展求解運算，可以得到一個最優解〔如表3.3.4所示〕。在該方案下，最優值，即最大總產量為6892200kg。從表中可以看出，如果以追求總產量最大為種植方案目標，那么，玉米的種植面積在I、II、III等耕地上都占絕對優勢。〔1〕追求最大總產量的目標函數為：調用Matlab軟件系統優化工具箱中的linprog函數，進42表3.3.4追求總產量最大的方案方案〔單位：hm2〕

I等耕地II等耕地III等耕地水稻0021.1111大豆0021.6667玉米100300157.2222表3.3.4追求總產量最大的方案方案〔單位：hm2〕43(2)追求最大總產值的目標函數為：進展求解運算，可以得到一個最優解〔如表3.3.5所示〕。在該方案下，最優值，即最大總產值為6830500元。從表中可以看出，如果以追求總產值最大為種植方案目標，那么，水稻的種植面積在I、II、III等耕地上都占絕對優勢。(2)追求最大總產值的目標函數為：進展求解運算，可以得到一44表3.3.5追求總產值最大的方案方案〔單位：hm2〕

I等耕地II等耕地III等耕地水稻58.75300200大豆16.2500玉米2500表3.3.5追求總產值最大的方案方案〔單位：hm2〕45⑾證券組合投資決策

某人有一筆50萬的資金可用于長期投資，可供選擇的投資時機包括購置國庫券、公司債券、投資房地產、購置股票或銀行保值儲蓄等。不同的投資方式的具體參數見下表。⑾證券組合投資決策某人有一筆50萬的資金可用于長期投資，可46

序號投資方式投資期限（年）年收益率（%）風險系數增長潛力（%）1國庫券311102公司債券10153153房地產6258304股票2206205短期定期存款110156長期保值儲蓄5122107現金存款0300

序號投資方式投資期限（年）年收益率（%）風險系數增長潛力47投資者希望①

投資組合的平均年限不超過5年，②

平均的期望收益率不低于13%，③

平均風險系數不超過4，④

平均的收益的增長潛力不低于10%.問：在滿足上述要求的前提下投資者該如何選擇投資組合使平均年收益率最高。投資者希望48解：由題意，目標：平均年收益率最高；決策變量：設xi是第i種投資在總投資中所占的比例；資源約束：①

投資組合的平均年限不超過5年；②

平均的期望收益率不低于13%；③

平均風險系數不超過4；④

平均的收益的增長潛力不低于10%；⑤

各項投資比例之和等于1。

那么，其線性規劃模型為：解：由題意，49MaxZ=11x1+15x2+25x3+20x4+10x5+12x6+3x7s.t.3

x1+10x2+6x3+2x4+

x5+5x6≤5平均年限

x1+3

x2+8x3+6x4+

x5+2x6≤4風險系數

15

x2+30x3+20x4+5x5+10x6≥10增長潛力

x1+

x2+

x3+

x4+

x5+

x6+

x7=1各項投資比例之和等于1

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0MaxZ=11x1+15x2+25x3+20x4+150⑿施肥問題

某農場主需要對他的20畝菜地和30畝小麥地施肥。經土壤分析后，分析報告指出每畝菜地至少需施6公斤氮，2公斤磷，1.5公斤鉀；每畝小麥地至少需施8公斤氮，1公斤磷，3公斤鉀。現市場上有A,B兩種可用的肥料，相關數據如下表所示。請幫助該農場主制定購置A,B兩種肥料的合理預算和施肥方案。

每袋重量（公斤）每袋價格（元）氮含量（％）磷含量（％）鉀含量（％）A406020520B605010105⑿施肥問題某農場主需要對他的20畝菜地和30畝小麥地施肥。51解：設xij表示第i種肥施于第j類用地的數量〔袋〕，i=1,2,j=1,2.依題意，建立數學模型如下，minz=60(x11+x12)+50(x21+x22)菜地：40×

0.2x11+60×

0.1x21≥20×6 40×0.05x11+60×

0.1x21≥20×2 40×

0.2x11+60×0.05x21≥20×1.5麥地：40×

0.2x12+60×

0.1x22≥30×8 40×0.05x12+60×

0.1x22≥30×1 40×

0.2x12+60×0.05x22≥30×3xij≥0,i,j=1,2.解：設xij表示第i種肥施于第j類用地的數量〔袋〕，i=1,52線性規劃的其他應用⑴市場營銷調查。⑵醫院績效評定等線性規劃的其他應用線性規劃的其他應用線性規劃的其他應用53合理利用線材問題：如何下料使用材最少。配料問題：在原料供給量的限制下如何獲取最大利潤。投資問題：從投資工程中選取方案，使投資回報最大。2.線性規劃應用建模

一、線性規劃---合理利用線材問題：如何下料使用材最少。2.線性規劃54產品生產方案：合理利用人力、物力、財力等，使獲利最大。勞動力安排：用最少的勞動力來滿足工作的需要。運輸問題：如何制定調運方案，使總運費最小。2.線性規劃應用產品生產方案：合理利用人力、物力、財力等，使獲55數學規劃的建模有許多共同點，要遵循以下原那么：(1)容易理解。建立的模型不但要求建模者理解，還應當讓有關人員理解。這樣便于考察實際問題與模型的關系，使得到的結論能夠更好地應用于解決實際問題。(2)容易查找模型中的錯誤。這個原那么的目的顯然與(1)相關。常出現的錯誤有：書寫錯誤和公式錯誤。2.線性規劃應用數學規劃的建模有許多共同點，要遵循以下原那么：2.線56(3)容易求解。對線性規劃來說，容易求解問題主要是控制問題的規模，包括決策變量的個數和約束條件的個數。這條原那么的實現往往會與(1)發生矛盾，在實現時需要對兩條原那么進展統籌考慮。2.線性規劃應用(3)容易求解。對線性規劃來說，容易求解問題主要是控57建立線性規劃模型的過程可以分為四個步驟：(1)設立決策變量；(2)明確約束條件并用決策變量的線性等式或不等式表示；(3)用決策變量的線性函數表示目標，并確定是求極大〔Max〕還是極小〔Min〕；(4)根據決策變量的物理性質研究變量是否有非負性。2.線性規劃應用建立線性規劃模型的過程可以分為四個步驟：2.線性規劃58例3.12：某晝夜效勞的公交線路每天各時間段內所需司機和乘務人員數如下：

①人力資源分配的問題設司機和乘務人員分別在各時間段一開場時上班，并連續工作8h，問該公交線路怎樣安排司機和乘務人員，既能滿足工作需要，又配備最少司機和乘務人員?例3.12：某晝夜效勞的公交線路每天各時間段內所需59解：設xi表示第i班次時開場上班的司機和乘務人員數,這樣我們建立如下的數學模型。目標函數：Minx1+x2+x3+x4+x5+x6約束條件：s.t.x1+x6≥60x1+x2≥70x2+x3≥60x3+x4≥50x4+x5≥20x5+x6≥30x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0

人力資源分配的問題解：設xi表示第i班次時開場上班的司機和乘務人員60例3.13:某工廠要做100套鋼架，每套用長為2.9m,2.1m,1.5m的圓鋼各一根。原料每根長7.4m，問：應如何下料，可使所用原料最省？②套裁下料問題解:考慮以下各種下料方案〔按一種邏輯順序給出〕把各種下料方案按剩余料頭從小到大順序列出例3.13:某工廠要做100套鋼架，每套用長為2.9m,61假設x1,x2,x3,x4,x5分別為上面前5種方案下料的原材料根數。我們建立如下的數學模型。目標函數：

Min

x1+x2+x3+x4+x5

約束條件：

s.t.

x1+2x2+x4≥1002x3+2x4+x5≥1003x1+x2+2x3+3x5≥100x1,x2,x3,x4,x5≥0套裁下料問題假設x1,x2,x3,x4,x5分別為上面前5種方案62

例3.14:明興公司生產甲、乙、丙三種產品，都需要經過鑄造、機加工和裝配三個車間。甲、乙兩種產品的鑄件可以外包協作，亦可以自行生產，但產品丙必須本廠鑄造才能保證質量。數據如下表。問：公司為了獲得最大利潤，甲、乙、丙三種產品各生產多少件？甲、乙兩種產品的鑄造中，由本公司鑄造和由外包協作各應多少件？③生產方案的問題例3.14:明興公司生產甲、乙、丙三種產品，都需要經過鑄63解：設x1,x2,x3

分別為三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三種產品的件數，x4,x5

分別為由外協鑄造再由本公司機加工和裝配的甲、乙兩種產品的件數。生產方案的問題解：設x1,x2,x3分別為三道工序都由本公司加64求xi的利潤:利潤=售價-各本錢之和可得到xi〔i=1,2,3,4,5〕的利潤分別為15、10、7、13、9元。這樣我們建立如下數學模型：目標函數:Max15x1+10x2+7x3+13x4+9x5約束條件：s.t.5x1+10x2+7x3≤80006x1+4x2+8x3+6x4+4x5≤120003x1+2x2+2x3+3x4+2x5≤10000x1,x2,x3,x4,x5≥0生產方案的問題求xi的利潤:利潤=售價-各本錢之和65

例3.15:永久機械廠生產Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種產品，均要經過A、B

兩道工序加工。假設有兩種規格的設備A1、A2能完成A

工序；有三種規格的設備B1、B2、B3能完成B

工序。Ⅰ可在A、B的任何規格的設備上加工；Ⅱ可在任意規格的A設備上加工，但對B工序,只能在B1設備上加工；Ⅲ只能在A2與B2設備上加工；數據如下表。問：為使該廠獲得最大利潤，應如何制定產品加工方案？生產方案的問題例3.15:永久機械廠生產Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種產品，均要經過66解：設xijk表示第i種產品，在第j種工序上的第k種設備上加工的數量.利潤=[〔銷售單價-原料單價〕×產品件數]之和-〔每臺時的設備費用×設備實際使用的總臺時數〕之和。

生產方案的問題解：設xijk表示第i種產品，在第j種工序上的第67這樣我們建立如下的數學模型:Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123s.t5x111+10x211≤6000〔設備A1〕7x112+9x212+12x312≤10000〔設備A2〕6x121+8x221≤4000(設備B1〕4x122+11x322≤700(設備B2〕7x123≤4000〔設備B3〕生產方案的問題這樣我們建立如下的數學模型:生產方案的問題68x111+x112-x121-x122-x123=0(Ⅰ產品在A、B工序加工的數量相等〕x211+x212-x221=0(Ⅱ產品在A、B工序加工的數量相等〕x312-x322=0(Ⅲ產品在A、B工序加工的數量相等〕xijk≥0,i=1,2,3;j=1,2;k=1,2,3生產方案的問題x111+x112-x121-x122-x123=69

例3.16:某工廠要用三種原料1、2、3混合調配出三種不同規格的產品甲、乙、丙，數據如下表。問：該廠應如何安排生產，使利潤收入為最大？④配料問題例3.16:某工廠要用三種原料1、2、3混合調配出三種不70配料問題解：設xij表示第i種〔甲、乙、丙〕產品中原料j的含量。這樣我們建立數學模型時，要考慮：

對于甲：x11，x12，x13；

對于乙：x21，x22，x23；

對于丙：x31，x32，x33；

對于原料1：x11，x21，x31；

對于原料2：x12，x22，x32；

對于原料3：x13，x23，x33；配料問題解：設xij表示第i種〔甲71目標函數：

利潤最大，利潤=收入-原料支出

約束條件：規格要求4個；

供給量限制3個。

Max

z=-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33

配料問題目標函數：

利潤最大，利潤=收入-原料支出

約束72s.t.0.5x11-0.5x12-0.5x13≥0〔原材料1不少于50%〕-0.25x11+0.75x12-0.25x13≤0〔原材料2不超過25%〕0.75x21-0.25x22-0.25x23≥0〔原材料1不少于25%〕-0.5x21+0.5x22-0.5x23≤0〔原材料2不超過50%〕x11+x21+x31≤100(供給量限制〕x12+x22+x32≤100(供給量限制〕x13+x23+x33≤60(供給量限制〕xij≥0,i=1,2,3;j=1,2,3配料問題s.t.0.5x11-0.5x12-0.5x1373例3.17：某部門現有資金200萬元，今后五年內考慮給以下的工程投資。：工程A：從第一年到第五年每年年初都可投資，當年末能收回本利110%；工程B：從第一年到第四年每年年初都可投資，次年末能收回本利125%，但規定每年最大投資額不能超過30萬元；工程C：需在第三年年初投資，第五年末能收回本利140%，但規定最大投資額不能超過80萬元；工程D：需在第二年年初投資，第五年末能收回本利155%，但規定最大投資額不能超過100萬元。

⑤投資問題例3.17：某部門現有資金200萬元，今后五年內考慮74

據測定每萬元每次投資的風險指數如下表：

投資問題據測定每萬元每次投資的風險指數如下表：

投資問題75

a〕應如何確定這些工程的每年投資額，使得第五年年末擁有資金的本利金額為最大？

b〕應如何確定這些工程的每年投資額，使得第五年年末擁有資金的本利在330萬元的根底上使得其投資總的風險系數為最小？

問：投資問題

a〕應如何確定這些工程的每年投資額，使得第五年年末76投資問題解：1〕確定決策變量：連續投資問題設xij(i=1—5，j=1、2、3、4)表示第i年初投資于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)工程的金額。這樣我們建立如下決策變量：Ax11x21x31x41x51Bx12x22x32x42Cx33Dx24投資問題解：1〕確定決策變量：連續投資問題772〕約束條件：第一年：A當年末可收回投資，故第一年年初應把全部資金投出去，于是：x11+x12=200第二年：B次年末才可收回投資故第二年年初的資金為1.1x11，于是：x21+x22+x24=1.1x11第三年：年初的資金為1.1x21+1.25x12，于是：x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12第四年：年初的資金為1.1x31+1.25x22，于是：x41+x42=1.1x31+1.25x22第五年：年初的資金為1.1x41+1.25x32，于是：x51=1.1x41+1.25x32B、C、D的投資限制：xi2≤30(i=1，2，3，4)，x33≤80，x24≤100投資問題2〕約束條件：投資問題78a)Maxz=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24s.t.x11+x12=200x21+x22+x24=1.1x11x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12x41+x42=1.1x31+1.25x22x51=1.1x41+1.25x32xi2≤30(i=1、2、3、4)，x33≤80，x24≤100xij≥0(i=1,2,3,4,5；j=1,2,3,4〕最優解Z=341.35x11=170x12=63x13=0x14=0x15=33.5x21=30x22=24x23=26.79999x33=80x42=1003〕目標函數及模型：投資問題a)Maxz=1.1x51+1.25x42+1.4x33+79b)Minf=〔x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24s.t.x11+x12≤200x21+x22+x24≤1.1x11+200-(x11+x12)x31+x32+x33≤1.1x21+1.25x12x41+x42≤1.1x31+1.25x22x51≤1.1x41+1.25x32xi2≤30(i=1、2、3、4)，x33≤80，x24≤1001.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24≥330xij≥0(i=1,2,3,4,5；j=1,2,3,4〕投資問題b)投資問題80⑥牧草農場問題〔最小化問題〕農場在試驗一種新賽馬食品。賽馬食品有三種：普通飼料、高營養燕麥和新飼料。成分如下表：飼料成分普通飼料S高營養燕麥E新飼料A飼料A0.80.20.0飼料B1.01.53.0飼料C0.10.62.0每磅成本0.250.503.00一匹馬一天的最小進食量為：3單位A、6單位B、4單位C總攝入量不能超過6磅。農場希望找到一種飼料組合，既可以滿足馬一天的營養需要，又可以使總本錢最低。⑥牧草農場問題〔最小化問題〕農場在試驗一種新賽馬食品。賽馬食81牧場問題的線性規劃模型為：▲最小化0.25S+0.50E+3A▲約束條件飼料A

0.8S+0.2E≥

3飼料B1.0S

+1.5E+3.0A≥6飼料C0.1

S+0.6E+2.0A≥

4總飼料量

S+E+A≤6

S，E,A≥

0▲最優解

S=3.514E=0.946A=1.541牧場問題的線性規劃模型為：▲最小化0.25S+0.50E82⑦電子通信公司問題〔4變量〕公司開發了新產品，有4種分銷渠道。情況如下表：分銷渠道單位銷售利潤單位廣告成本單位銷售時間航海分銷店M90102商業分銷店B8483全國連鎖店R7093直接郵購D6015無廣告預算5000美元，每個分銷點最大銷售時間1800小時。現階段產品600個，全國連鎖店最少銷售150個如何分配各渠道的銷售量、銷售時間以及廣告預算，可以使銷售利潤最大。⑦電子通信公司問題〔4變量〕公司開發了新產品，有4種分銷渠道83通信公司問題的線性規劃模型：▲最大化90M+84B+70R+60D▲約束條件廣告10M+8B+9R+15D≤5000可銷售時間2M+3B+3R≤1800生產水平

M+B+R+D=600連鎖店銷售要求

R≥150M,B，R

,D≥

0▲最優解

M=25B=425AR=150D=0通信公司問題的線性規劃模型：▲最大化90M+84B+7084⑧威爾特公司企業退休金財務方案公司有一個提前退休方案，未來8年內為68個提前退休人員準備資金如下表(每年年初支付)：理財途徑有1.一年期儲蓄利率4％2.第一年年初可以投資政府債券投資〔3種〕，面值1000，到期時支付1000，利率是相對于面值的。利息每年年末提取,不作復利計算。收益如下：年度12345678現金需求430210222231240195225255⑧威爾特公司企業退休金財務方案公司有一個提前退休方案，未來885威爾特公司企業退休金財務方案債券價格利率到期年數111508.8755210005.50063135011.7507決策變量有F八年方案所需總金額B1第一年年初買入債券1的單位數量B2第一年年初買入債券2的單位數量B3第一年年初買入債券3的單位數量Si第i年年初投資于儲蓄的金額〔i=1、2、……8〕威爾特公司企業退休金財務方案債券價格利率到期年數11186威爾特公司企業退休金財務方案：▲最小值F▲約束條件第一年F-1.15B1-1B2-1.35B3-S1

=430第二年0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S1-S2=210第三年0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S2-S3=222第四年0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S3-S4=231第五年0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S4-S5=240第六年1.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S5-S6=195第七年1.055B2+0.1175B3+1.04S6-S7=225第八年1.1175B3+1.04S7-S8=255各參數≥

0▲最優解

F=1728.794B1=144.988B2=187.856B3=228.188S1=636.148S2=501.606S3=349.682S4=182.681S5=S6=S7=S8=0年初可用資金-投資于債券和儲蓄的金額=該年的支付責任威爾特公司企業退休金財務方案：▲最小值F年初可用資金-投資于87⑨

資源利用問題

假設某地區擁有m種資源，其中，第i種資源在規劃期內的限額為bi(i=1，2，…，m)。這m種資源可用來生產n種產品，其中，生產單位數量的第j種產品需要消耗的第i種資源的數量為aij(i=1，2，…，m；j=1,2,…,n)，第j種產品的單價為cj(j=1，2，…，n)。試問如何安排這幾種產品的生產方案，才能使規劃期內資源利用的總產值到達最大?⑨資源利用問題假設某地區擁有m種資源，其中88設第j種產品的生產數量為xj(j=1，2，…，n)，那么上述資源問題就是：求一組實數變量xj(j=1，2，…，n)，使其滿足設第j種產品的生產數量為xj(j=1，2，…，n)，那么上述89⑩農場種植方案模型某農場I、II、III等耕地的面積分別為100hm2〔公頃〕、300hm2和200hm2，方案種植水稻、大豆和玉米，要求三種作物的最低收獲量分別為190000kg、130000kg和350000kg。I、II、III等耕地種植三種作物的單產如表3.3.1所示。假設三種作物的售價分別為水稻1.20元/kg，大豆1.50元/kg，玉米0.80元/kg。那么，〔1〕如何制訂種植方案，才能使總產量最大？〔2〕如何制訂種植方案，才能使總產值最大？⑩農場種植方案模型某農場I、II、III等耕地的面積分別90表3.3.1不同等級耕地種植不同作物的單產(單位:kg/hm2)

I等耕地II等耕地III等耕地水稻1100095009000大豆800068006000玉米140001200010000表3.3.1不同等級耕地種植不同作物的單產(單位:kg/91對于上面的農場種植方案問題，我們可以用線性規劃方法建立模型。根據題意，決策變量設置如表3.3.2所示,表中Xij表示在第j等級的耕地上種植第i種作物的面積。三種作物的產量可以用表3.3.3表示。對于上面的農場種植方案問題，我們可以用線性規劃方法建立模型。92表3.3.2作物方案種植面積〔單位:hm2)表3.3.3三種作物的總產量〔單位:kg〕

I等耕地II等耕地III等耕地水稻大豆玉米作物種類總產量水稻大豆玉米表3.3.2作物方案種植面積〔單位:hm2)

I等耕93根據題意，約束方程如下,耕地面積約束：最低收獲量約束：

非負約束：

根據題意，約束方程如下,耕地面積約束：94調用Matlab軟件系統優化工具箱中的linprog函數，進展求解運算，可以得到一