小學試題——可以編輯2.3數學歸納法第1課時數學歸納法1．用數學歸納法證明"2n>n2＋1對于n≥n0的自然數n都成立〞時，第一步證明中的起始值n0應取()．A．2B．3C．5D．6解析當n取1、2、3、4時2n>n2＋1不成立，當n＝5時，25＝32>52＋1＝26，第一個能使2n>n2＋1的n值為5，應選C.答案C2．用數學歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝eq\f(n＋3n＋4,2)(n∈N＋)，驗證n＝1時，左邊應取的項是()．A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析等式左邊的數是從1加到n＋3.當n＝1時，n＋3＝4，故此時左邊的數為從1加到4.答案D3．設f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于()．A.eq\f(1,3n＋2) B.eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)C.eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2) D.eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2)解析∵f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)，∵f(n＋1)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)＋eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2)，∴f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2).答案D4．用數學歸納法證明關于n的恒等式，當n＝k時，表達式為1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么當n＝k＋1時，表達式為________．答案1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)25．記凸k邊形的內角和為f(k)，那么凸k＋1邊形的內角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析由凸k邊形變為凸k＋1邊形時，增加了一個三角形圖形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案π6．用數學歸納法證明：eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,2n－1·2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n).證明(1)當n＝1時，左邊＝eq\f(1,1×2)＝eq\f(1,2)，右邊＝eq\f(1,2)，等式成立．(2)假設當n＝k(k∈N*)時，等式成立，即eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,2k－1·2k)＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k).那么當n＝k＋1時，eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,2k－1·2k)＋eq\f(1,2k＋12k＋2)＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋12k＋2)＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2k＋1)－\f(1,2k＋2)))＋eq\f(1,k＋1)＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＝eq\f(1,k＋1＋1)＋eq\f(1,k＋1＋2)＋…＋eq\f(1,k＋1＋k)＋eq\f(1,k＋1＋k＋1).即當n＝k＋1時，等式成立．根據(1)(2)可知，對一切n∈N*，等式成立．7．假設命題A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)時命題成立，那么有n＝k＋1時命題成立．現知命題對n＝n0(n0∈N*)時命題成立，那么有()．A．命題對所有正整數都成立B．命題對小于n0的正整數不成立，對大于或等于n0的正整數都成立C．命題對小于n0的正整數成立與否不能確定，對大于或等于n0的正整數都成立D．以上說法都不正確解析由得n＝n0(n0∈N*)時命題成立，那么有n＝n0＋1時命題成立；在n＝n0＋1時命題成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1時命題也成立，依此類推，可知選C.答案C8．用數學歸納法證明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，從n＝k到n＝k＋1，左邊增加的代數式為()．A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.eq\f(2k＋1,k＋1) D.eq\f(2k＋3,k＋1)解析n＝k時，左邊＝(k＋1)(k＋2)…(2k)；n＝k＋1時，左邊＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)…(2k)(2k＋1)，應選B.答案B9．分析下述證明2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1(n∈N＋)的過程中的錯誤：證明假設當n＝k(k∈N＋)時等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即當n＝k＋1時等式也成立．因此對于任何n∈N＋等式都成立．__________________.答案缺少步驟歸納奠基，實際上當n＝1時等式不成立10．用數學歸納法證明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)時，從n＝k到n＝k＋1左邊需要添加的因式是________．解析當n＝k時，左端為：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，當n＝k＋1時，左端為：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)(k＋1＋k＋1)，由k到k＋1需添加的因式為：(2k＋2)．答案2k＋211．用數學歸納法證明12＋22＋…＋n2＝eq\f(nn＋12n＋1,6)(n∈N*)．證明(1)當n＝1時，左邊＝12＝1，右邊＝eq\f(1×1＋1×2×1＋1,6)＝1，等式成立．(2)假設當n＝k(k∈N*)時等式成立，即12＋22＋…＋k2＝eq\f(kk＋12k＋1,6)那么，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝eq\f(kk＋12k＋1,6)＋(k＋1)2＝eq\f(kk＋12k＋1＋6k＋12,6)＝eq\f(k＋12k2＋7k＋6,6)＝eq\f(k＋1k＋22k＋3,6)＝eq\f(k＋1[k＋1＋1][2k＋1＋1],6)，即當n＝k＋1時等式也成立．根據(1)和(2)，可知等式對任何n∈N*都成立．12．(創新拓展)正數數列{an}(n∈N*)中，前n項和為Sn，且2Sn＝an＋eq\f(1,an)，用數學歸納法證明：an＝eq\r(n)－eq\r(n－1).證明(1)當n＝1時．a1＝S1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋\f(1,a1)))，∴aeq\o\al(2,1)＝1(an>0)，∴a1＝1，又eq\r(1)－eq\r(0)＝1，∴n＝1時，結論成立．(2)假設n＝k(k∈N*)時，結論成立，即ak＝eq\r(k)－eq\r(k－1).當n＝k＋1時，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak＋1＋\f(1,ak＋1)))－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak＋\f(1,ak)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak＋1＋\f(1,ak＋1)))－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(k)－\r(k－1)＋\f(1,\r(k)－\r(k－1))))＝eq\f(1,2)e