§5三次樣條插值/*CubicSplineInterpolation*/

許多實(shí)際工程技術(shù)中一般對精度要求非常高，（1）要求近似曲線在節(jié)點(diǎn)連續(xù)；（2）要求近似曲線在節(jié)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)連續(xù)，即充分光滑。

分段插值不能保證節(jié)點(diǎn)的光滑性，而Hermite插值需要知道節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，實(shí)際中無法確定。

問題背景一、三次樣條函數(shù)的力學(xué)背景

在工程技術(shù)和數(shù)學(xué)應(yīng)用中經(jīng)常遇到這樣一類數(shù)據(jù)處理問題：在平面上給定了一組有序的離散點(diǎn)列，要求用一條光滑曲線把這些點(diǎn)按次序連接起來。........壓鐵彈性木條.數(shù)據(jù)點(diǎn)形象地稱之為樣條曲線

在力學(xué)上，通常均勻細(xì)木條可以看作彈性細(xì)梁，壓鐵看作是作用在梁上的集中載荷，“樣條曲線”就模擬為彈性細(xì)梁在外加集中載荷作用下的彎曲變形曲線。設(shè)細(xì)梁剛度系數(shù)為，彎矩為，樣條曲線的曲率為由力學(xué)知識：當(dāng)時(shí)（即“小撓度”的情況）上述微分方程簡化為：是線性函數(shù)因此，“樣條曲線”可近似認(rèn)為是三次多項(xiàng)式二、三次樣條函數(shù)定義及求法

設(shè)在區(qū)間上給定一個(gè)分割，定義在上的函數(shù)如果滿足下列條件：(1)在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)是三次多項(xiàng)式(2)在整個(gè)區(qū)間上，為二階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，即在每個(gè)節(jié)點(diǎn)處則稱為三次樣條函數(shù)？？？假設(shè)現(xiàn)在已知函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值：如果三次樣條函數(shù)滿足則稱為插值于的三次樣條函數(shù)，簡稱三次樣條插值函數(shù)。如何求的三次樣條插值函數(shù)？4n個(gè)未知數(shù)3n+1個(gè)條件線性插值函數(shù)1、M連續(xù)方程與的表達(dá)式記因?yàn)樵诿恳粋€(gè)子區(qū)間上都是線性函數(shù)

兩邊積分兩邊再積分一次？代入插值條件：在整個(gè)區(qū)間上，的表達(dá)式為：未知數(shù)n+1個(gè)的計(jì)算方法：由由由其中寫成方程組的形式：上述方程組稱為的M連續(xù)方程n-1個(gè)方程n+1個(gè)未知數(shù)三彎矩方程2、m連續(xù)方程與的表達(dá)式記在區(qū)間上采用Hermite插值的計(jì)算方法：對兩邊求導(dǎo)（微分2次）兩者相等得到方程組：其中同前寫成方程組的形式：上述方程組稱為的m連續(xù)方程n-1個(gè)方程n+1個(gè)未知數(shù)三轉(zhuǎn)角方程其中

的M連續(xù)方程M、m連續(xù)方程的求解：需要補(bǔ)充附加條件3、邊界條件/*boundaryconditions*/已知端點(diǎn)的斜率：已知端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)：設(shè)是以為周期的周期函數(shù)，對附加周期性條件：

即要求三次樣條插值函數(shù)在端點(diǎn)處函數(shù)值、一階導(dǎo)數(shù)值和二階導(dǎo)數(shù)值相同。M連續(xù)方程在各類邊界條件下的求解方法對于第一類邊界條件由得從而得到方程組（三對角）：可用追趕法求解對于第二類邊界條件類似地可以得到方程組（三對角）：上述兩種情況得到的方程組，可以寫成統(tǒng)一形式：其中時(shí)為第二類邊界條件時(shí)為第一類邊界條件對于第三類邊界條件得到方程其中第三類邊界條件對應(yīng)的方程組：對三對角算法經(jīng)過修改后可以求解上述方程組詳細(xì)算法見文獻(xiàn)[3]不是三對角方程組注：三次樣條與分段Hermite插值的根本區(qū)別在于S(x)自身光滑，不需要知道f的導(dǎo)數(shù)值（除了在2個(gè)端點(diǎn)可能需要）；而Hermite插值依賴于f在所有插值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。f(x)H(x)S(x)0123

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0例1：已知函數(shù)在的數(shù)據(jù)表：解：求在區(qū)間上的三次樣條插值函數(shù)。

三彎矩方程組用追趕法求解方程組得三次樣條插值函數(shù)4、三次樣條函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1（極小模性質(zhì)）設(shè)是任一被插函數(shù)，是自然三次樣條插值函數(shù)，則成立式中等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。證明：因?yàn)楣式Y(jié)論成立（積分可加性質(zhì)）下面證明分步積分分步積分等號成立為線性函數(shù)（由插值條件）性質(zhì)2（最佳逼近性質(zhì)）設(shè)是任一被插函數(shù)，是帶有斜率邊界條件的三次插值樣條函數(shù)，是與有相同分割的任一三次樣條函數(shù)，則有

證明：證明方法與性質(zhì)1類似（自己證明）性質(zhì)3（誤差估計(jì)）設(shè)函數(shù)，是區(qū)間的一個(gè)分割，是關(guān)于的帶有Ⅰ型(斜率邊界)或Ⅱ型(二階導(dǎo)數(shù)邊界)邊界條件的插值函數(shù)，則有誤差估計(jì)其中