..試題一答案解答：解答：b較大,可以比較他們跟1的差,差越小的,就越大。在a=20032003×2002和b=20022003×2003中,較大的數是______,比較小的數大______。設a=,b=,則在a與b中,較大的數是______。例1有濃度為20％的鹽水300克,要配制成40％的鹽水,需加入濃度為70％的鹽水多少克？解析1.將兩種溶液的濃度分別放在左右兩側,重量放在旁邊,配制后溶液的濃度放在正下方,用直線相連；〔見圖12.直線兩側標著兩個濃度的差,并化成簡單的整數比。所需溶液的重量比就是濃度差的反比；3.對"比"的理解應上升到"份",3份對應的為300克,自然知道2份為200克了。答：需加入濃度為70％的鹽水200克。例2將75％的酒精溶液32克稀釋成濃度為40％的稀酒精,需加入水多少克？解析稀釋時加入的水溶液濃度為0％〔如果需要加入干物質,濃度為100％,標注數值的方法與例1相同。〔見圖232÷8×7＝28答：需加水28克。例3買來蘑菇10千克,含水量為99％,晾曬一會兒后,含水量為98％,問蒸發掉多少水份？解析做蒸發的題目,要改變思考角度,本題就應該考慮成"98％的干蘑菇加水后得到99％的濕蘑菇",這樣求出加入多少水份即為蒸發掉的水份,就又轉變成"混合配比"的問題了。但要注意,10千克的標注應該是含水量為99％的重量。將10千克按1∶1分配,答：蒸發掉5千克水份。4、.邊長2厘米的正方形:22=4<個>……紅色邊長4厘米的正方形<4-1>4=12<個>……紅色<4-2><4-2>=4<個>……白色邊長8厘米的正方形<8-1>4=28<個>……紅色<8-2><8-2>=36<個>……白色邊長9厘米的正方形<9-1>4=32<個>……紅色<9-2><9-2>=49<個>……白色所以,紅色小正方形共有4+12+28+32=76<個>白色小正方形共有4+36+49=89<個>[注]本題的要求是由邊長為1厘米的紅色和白色兩種正方形,分別組成邊長是2厘米,4厘米,8厘米,9厘米的大小不同的正方形,可以看作方陣問題來解。四周的小正方形是涂紅色的,可看成是空心方陣,因此,涂紅色正方形的個數等于4<n-1>.其他小正方形是涂白色的,可當作實心方陣,所以,涂白色的正方形的個數等于<n-2><n-2>。比如,由邊長為1厘米的正方形組成邊長為9厘米的正方形,涂紅色的小正方形的個數是:4<9-1>=32<個>,涂白色的小正方形的個數是:<9-2><9-2>=49<個>。5.將平行四邊形分為三類:①尖角在上、下方；②尖角在左下、右上方；③尖角在左上、右下方。就第①類而言:型6個；型3個,與其對稱的3個；型1個,與其對稱的1個；型1個；共15個.同理,第②、③類也分別含15個,故上述三類平行四邊形共45個。[注]這樣數平行四邊行,很麻煩,又易出錯。我們試圖找到一種對應關系:先考慮任一邊不與BC平行的平行四邊形,延長各邊必與BC有4個交點,特殊情況下,第二個交點與第三個交點重合；反過來,BC上的任意四點或三點決定一個平行四邊形,也就是說,邊不與BC平行的平行四邊形的個數與BC上的四交點組和三交點組的數目一樣多。由于BC上有5個交點,其中可構成5個4點組；10個3點組,即邊不平行于BC的平行四邊形有15個。同理分別考慮邊不平行AB、CD的平行四邊行。由此可知,共有45個平行四邊形。6、解法一本圖中三角形的個數為<1+2+3+4>4=40<個>。下面求梯形的個數：梯形由兩底唯一確定。首先在AB,CD,EF,MN中,考慮兩底所在的線段,共有<43>2=6<種>選法；對上述四條線段中確定的兩條線段,共有10〔10=4+3+2+1個梯形。共60個梯形。故所求差為20。解法二在圖中可數出4個三角形,6個梯形,梯形比三角圖形圖形多2個。而在題圖中,這種恰有10個。故題圖中,梯形個數與三角形的個數之差為210=20<個>。7、甲、乙兩車往返于A,B兩地之間。甲車去時的速度為60千米／時,返回時的速度為40千米／時；乙車往返的速度都是50千米／時。求甲、乙兩車往返一次所用時間的比。[考點]行程問題之比例解行程 [難度]2星 [題型]解答25∶24。提示：設A,B兩地相距600千米。[答案]25∶248、一段路程分為上坡、平路、下坡三段,各段路程的長度之比是1∶2∶3,某人走這三段路所用的時間之比是4∶5∶6。已知他上坡時每小時行2.5千米,路程全長為20千米。此人走完全程需多長時間？[考點]行程問題之比例解行程 [難度]2星 [題型]解答5時。提示：先求出上坡的路程和所用時間。[答案]5時9、甲、乙兩車從相距330千米的A、B兩城相向而行,甲車先從A城出發,過一段時間后,乙車才從B城出發,并且甲車的速度是乙車速度的。當兩車相遇時,甲車比乙車多行駛了30千米,則甲車開出千米,乙車才出發。[考點]行程問題之比例解行程 [難度]2星 [題型]解答兩車相遇時共行駛330千米,但是甲多行30千米,可以求出兩車分別行駛的路程,可得甲車行駛180千米,乙車行駛150千米,由甲車速度是乙車速度的可以知道,當乙車行駛150千米的時候,甲車實際只行駛了千米,那么可以知道在乙車出發之前,甲車已經行駛了180-125=55千米。[答案]55千米10、甲乙兩車分別從A、B兩地同時相向開出,甲車的速度是50千米/時,乙車的速度是40千米/時,當甲車駛過A、B距離的多50千米時,與乙車相遇.A、B兩地相距______千米。[考點]行程問題之比例解行程 [難度]2星 [題型]解答AB距離的多50千米即是AB距離的,所以50千米的距離相當于全程的,全程的距離為〔千米.[答案]千米11、如圖3,甲、乙二人分別在A、B兩地同時相向而行,于E處相遇后,甲繼續向B地行走,乙則休息了14分鐘,再繼續向A地行走。甲和乙到達B和A后立即折返,仍在E處相遇,已知甲分鐘行走60米,乙每分鐘行走80米,則A和B兩地相多少米？

圖3[考點]行程問題之比例解行程 [難度]3星 [題型]解答1680米[答案]米12、甲、乙兩人步行速度之比是3∶2,甲、乙分別由A,B兩地同時出發,若相向而行,則1時后相遇。若同向而行,則甲需要多少時間才能追上乙？[考點]行程問題之比例解行程 [難度]2星 [題型]解答5時。解：設甲、乙速度分別為3x千米／時和2x千米／時。由題意可知A,B兩地相距〔3x＋2x×1＝5x〔千米。追及時間為5x÷〔3x－2x=5〔時。[答案]5時13、上午8點8分,小明騎自行車從家里出發,8分鐘后,爸爸騎摩托車去追他,在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家,到家后又立刻回頭去追小明,再追上小明的時候,離家恰好是8千米,這時是幾點幾分？[考點]行程問題之比例解行程 [難度]3星 [題型]解答畫一張簡單的示意圖：圖上可以看出,從爸爸第一次追上到第二次追上,小明走了8-4＝4〔千米.而爸爸騎的距離是4＋8＝12〔千米.這就知道,爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的12÷4＝3〔倍.按照這個倍數計算,小明騎8千米,爸爸可以騎行8×3＝24〔千米.但事實上,爸爸少用了8分鐘,騎行了4＋12＝16〔千米.少騎行24-16＝8〔千米.摩托車的速度是8÷8=1〔千米/分,爸爸騎行16千米需要16分鐘.8＋8＋16＝32.所以這時是8點32分。注意：小明第2個4千米,也就是從到的過程中,爸爸一共走12千米,這一點是本題的關鍵．對時間相同或距離相同,但運動速度、方式不同的兩種狀態,是一大類行程問題的關鍵．本題的解答就巧妙地運用了這一點．[答案]8點32分14、55元。提示：設成本是x元。15、7元。解：<10×20-11×15>÷<20-5>=7〔元。16、解：少租用倉庫1個月,節省租金6000元,但只多賺1000元,表明降價損失5000元。5000÷2000=2.5<元>,所以每千克降價2.5元。17、解：設第一天每個蜜瓜的價格是x元。列方程,2x+3x×80%+5x×80%x80%=38,解得x=5〔元。都在第三天買,要花5×10×80%×80%=32<元>,少花38–32=6<元>18、20XX第七屆希望杯五年級一試試題如圖,三角形的面積是,是的中點,點在上,且,與交于點．則四邊形的面積等于．方法一：連接,根據燕尾定理,,,設份,則份,份,份,如圖所標所以方法二：連接,由題目條件可得到,,所以,,而．所以則四邊形的面積等于．19、如圖,已知,,三角形的面積是,求陰影部分面積.題中條件只有三角形面積給出具體數值,其他條件給出的實際上是比例的關系,由此我們可以初步判斷這道題不應該通過面積公式求面積.又因為陰影部分是一個不規則四邊形,所以我們需要對它進行改造,那么我們需要連一條輔助線,<法一>連接,因為,,三角形的面積是30,所以,．根據燕尾定理,,,所以,,所以陰影部分面積是．<法二>連接,由題目條件可得到,,所以,,而．所以陰影部分的面積為．20、如圖,三角形的面積是,在上,點在上,且,,與交于點．則四邊形的面積等于．連接,根據燕尾定理,,,設份,則份,份,份,份,所以21、如圖,已知,,與相交于點,則被分成的部分面積各占面積的幾分之幾？連接,設份,則其他部分的面積如圖所示,所以份,所以四部分按從小到大各占面積的22、<年香港圣公會數學競賽>如圖所示,在中,,,與相交于點,若的面積為,則的面積等于．方法一：連接．由于,,所以,．由蝴蝶定理知,,所以．方法二：連接設份,根據燕尾定理標出其他部分面積,所以23、一個正整數,被3除時余2,被5除時余3,被7除時余2,如果這數不超過100,求這個數。"解法：首先找出能被5與7整除而被3除余1的數70,被3與7整除而被5除余1的數21,被3與5整除而被7除余1的數15。所求數被3除余2,則取數70×2＝140,140是被5與7整除而被3除余2的數。所求數被5除余3,則取數21×3＝63,63是被3與7整除而被5除余3的數。所求數被7除余2,則取數15×2=30,30是被3與5整除而被7除余2的數。又,140＋63＋30=233,由于63與30都能被3整除,故233與140這兩數被3除的余數相同,都是余2,同理233與63這兩數被5除的余數相同,都是3,233與30被7除的余數相同,都是2。所以233是滿足題目要求的一個數。而3、5、7的最小公倍數是105,故233加減105的整數倍后被3、5、7除的余數不會變,從而所得的數都能滿足題目的要求。由于所求僅是一小隊士兵的人數,這意味著人數不超過100,所以用233減去105的2倍得23即是所求。24、假如3粒一數余1粒,5粒一數余2粒,7粒一數余2粒,那么,原有蠶豆有多少粒呢？解法：凡是用3個一數剩下的余數,將它用70去乘〔因為70是5與7的倍數,而又是以3去除余1的數；5個一數剩下的余數,將它用21去乘〔因為21是3與7的倍數,又是以5去除余1的數；7個一數剩下的余數,將它用15去乘〔因為15是3與5的倍數,又是以7去除余1的數,將這些數加起來,若超過105,就減掉105,如果剩下來的數目還是比105大,就再減去105,直到得數比105小為止。這樣,所得的數就是原來的數了。根據這個道理,你可以很容易地把前面的五個題目列成算式：1×70＋2×21＋2×15－105＝142－105＝37因此,你可以知道,原來這一堆蠶豆有37粒。25、現有1角,5角,1元硬幣各10枚,從中取出15枚,共7元。1角,5角,1元硬幣各取了多少枚？設取出1角硬幣x枚,5角硬幣y枚,1元硬幣z枚。本題的實質是求下面這個不定方程的正整數解x+y+z=15①0.1x+0.5y+z=7②且0﹤x≤15,0﹤y≤15,0﹤z≤15。②×10得x+5y+10z=70③③－①得4y+9z=55④由④得,,使〔t是非負整數⑤把⑤代入④得,⑥把⑤、⑥代入①得,則不定方程的通解為：有因為0﹤x≤15,0﹤y≤15,0﹤z≤15,當t=0,所以x=5,y=7,z=3。即需要取出1角硬幣5枚,5角硬幣7枚,1元硬幣3枚,由于條件的限制,這個不定方程只有一組符合條件的解。26、底面半〔直徑高側面積表面積體積r=3cmd=6cm12厘米226.08平方厘米282.6平方厘米33