第二析函第1一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微定義:設(shè)函數(shù)wf(z在區(qū)域D內(nèi)有定義z0z0+z∈D,lim?wlimf

?z)f(z0?z0? ? ?存在f(z)在z0處可導(dǎo)f(z)z0的導(dǎo)數(shù)dwf(z0)dz

f|z ?|

?z)f(z0)?注:(1)f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)則稱f(z)在D內(nèi)注:(2)定義中z0+zz0(即z0)的方式是任任意意即當(dāng)z0+z在區(qū)域D內(nèi)以任何方式趨于z0時f(z0?z)f(z0)都趨于同一個 ?例1.f(z)=zn的導(dǎo)數(shù)n解:fz)lim?z

f(z?z)f(z?lim?z

(z?z)nz?lim?z

C1zn1?zC2zn2(?z ?

(?z)nnzn所以 (zn)nzn1類似可證,(1)1 z例 問f(z)x2yi是否可導(dǎo)解 limf(zz)f(z)z0x0y0

(xx)2(yy)i(x2xx2xf(z)z0處都不可導(dǎo).f(z)z0處連續(xù)

連wwf(z在z0處連續(xù)limf(z)f(z0zlim[f(z)f(z)]0limwzzz0z0wf(z)f(z0∵limw w f(z)0

(c)'=0,其中c為復(fù)常數(shù)(zn)'=nzn1,其中n為正整數(shù)[f(z)g(z)]'=f'(z)g'(z).特別,[cf(z)]'=cf[f(z)g(z)]'=f'(z)g(z)+ff(z)

g(z)

g2

[g(z)

(z)

f(z)g

(z)],(g(z){f[g(z)]}'=f'(w)g'(z),其中f(z)

其中wf(z)與z(w)個互為反函數(shù)的單值函數(shù)且(w)

f(z)lim?w f

?z)f(z0) ?z0 ? ? ?設(shè)函數(shù)w=f(z)在z0可導(dǎo)w=f(z0+z)f(z0)=f其中,lim(?z) 即?稱f'(z0)z為函數(shù)w=f(z)在點z0的微分,dw=f||f(z0)

d d z如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可微,則稱f(z)在D內(nèi)可微二.解析函數(shù)的概f(z)在z0及z0的某一鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點解析則稱f(z)在D內(nèi)解析,f(z)在z0不解析則稱z0為f(z)的奇點.

函數(shù)在該點1)f(z)與g(z)在區(qū)域D內(nèi)(在z0處解析,f(z)±g(zf(z)×g(zf(zg(z),(g(z)≠0)在D內(nèi)(在z02)兩個解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也解析由此得0多項式P(z)0

az azn 的點的區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù),使分母為零的點是它的f(z)(3z24z2)10

1z2

,求f

z(z2

第二析函第2uvu定理一:f(z)=u(x,y)+iv(uvuu(x,y)與v(x,y)在點(x,y)可微且(2) (Cauchy-Riemann)方程(簡稱為C-R方程)這時f(z)uiv1u i 定理二:f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析(可導(dǎo)的充要條件是:(1)u(x,y)與v(x,y)在D內(nèi)可微,并且(2) 注:(1)f(z)在區(qū)域D內(nèi)不滿足C-R方程 存在,f(z)在D內(nèi)不解析；f(z)在D內(nèi)滿足C-R方程,且u(x,y)與v(x,y)在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),f(z)在D內(nèi)解析.C-R方程在極坐標(biāo)下的形式為[書u1vrv1rf(z)x

w

z2f(z)ex(cosyisin解1)u=x,uuvv不滿足C-R方程f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)2)f(z)=|z|2=x2+y2, uu2x,u2vv易知這四個偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)但僅當(dāng)x=y=0時它們才滿足C-R方程,因而函數(shù)僅在z=0處可導(dǎo)f(0)f(z)ex(cosyisinuexcosvuexcosvexsinexsinvexcos上面四個偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)且滿足C-R方程在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo) 且f(z) i =ex(cosy+isiny)=f(z)且 例2.設(shè)f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2),問常數(shù)a,b,c,d取何值時f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處解析?解 由于 則由ux=vy,

?a=2,b1,c1,例3.f'(z)≡0,z∈Df(z)≡C)?)∵f(z)uivviu u

v 所以u=常數(shù)v=常數(shù)f(z)在D內(nèi)是常數(shù)例4.w=f(z)=u(x,yiv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析并滿足下f(z)是常數(shù):[書P67:10]u|f(z)|例5.w=f(z)=u(x,yiv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析證 w0,z第3對數(shù)函乘冪與冪函三角函數(shù)和雙曲函反三角函數(shù)和反雙曲函f(z)ex(cosyisinyf(z)f(z)y=0時,f(z)=ex與實指數(shù)函數(shù)一致,exp(z)ezex(cosyisiny)取x=0時,z=iy,得 公式eiycosyisinRe(ez)excos Im(ez)exsinArg(ez)y2k,k

exexp(z)ezex(cosyisin(ez)ezez1

ez1ez2,ez1 ez1 ez是一個以2ki為周期的周期函數(shù)：e2ki ezez

?zz2ki,klimez但極限limez不存在例1.求1

22

2)Im(eziewz,(z的函數(shù)wf(z)稱為對數(shù)函數(shù)，wLnwuivzreieu

eur

z,v2kArgulnr

z,v2kArgwLnz ziArg由于Argzz，復(fù)對數(shù)Lnz也是多值的。若Argzargz，則取到Lnz的某一單值函lnz，稱為Lnz的主值：lnzlnziargLnz ziArgz zi(argz2kLnzlnz2k k當(dāng)當(dāng)k=0時,Lnz取到主值lnlnz ziargzln但Lnzlnx2k k例2.求Ln(1) Ln(1i)及相應(yīng)的主值Ln(z1z2)Lnz1Lnz2. ln(z1z2)lnz1lnLnz1=LnzLnzz但ln

2lnz1lnLnznnLn

1Lnnznz(n2且nZ∵Lnzlnz2ki,klnz在除去原點對主值分支lnz ziarglnz在除去原點ln|z|在除去原點外處處連續(xù)yDoargz在除去原點和負(fù)實軸外處yDo故Lnz的每個單值分支除原xw=lnzz=ewDo(ew)ew Do(lnz)dw=1=1 故lnz在除去原點和負(fù)實軸外處處解析因而Lnz的每個單值分支除原點和負(fù)實軸

(Lnz)z例 設(shè)ez2i，求設(shè)a,b為復(fù)數(shù)a0,abebLnaeb[lnai(arga2k)]eb(lnaiArgaeb(lna2ki當(dāng)k=0時,取到主值eblnaeb(lnaiargaabebLnaeb(lna2ki)eb[lnai(arga2k當(dāng)babebLna當(dāng)b是正整數(shù)nan與前面的np當(dāng)bq時,其中p,q為互質(zhì)整數(shù) 則ab有q個值p[lnai(arga2kabepln

(k0,1, ,q e arga arga

q2kan與前面的n a2例4.求1 2

ii和i3的值及其主值2e2Ln1e2(ln12ki) 2k2(k0,1, ii eiLni ei(lni2ki i2k 2k

(k0,1, ebLnzeb[lnziargzi2k kzq當(dāng)b為q

時,其中p,q為互質(zhì)整數(shù) 則zb有q個值zbebLnz在除去原點和負(fù)實軸上的點外根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式zbebLnzebLnzb1zbb

bzb1eiyeiy

eiyeiycosy 2

siny cosz

eize;2

sinz

eize;

Eular公式的復(fù)數(shù)形式： coszisineizecosz 2

sinz

eize;cosz,sinz2k(kZ)為周期cosz為偶函數(shù),sinz為奇函數(shù)(sinz)cos (cosz)sinsinzsinz,cos coszcossinz cosz不是有界函數(shù)sinz=0?z (k0, cosz=0?z(k1 (k0, 2類似于實數(shù)的一些恒等式仍成立.[書P50及sin2zcos2zsin(z1z2)sinz1cosz2cosz1sinz2;cos(z1z2)cosz1cosz2sinz1sinz2;sin2z2sinzcos cos2z2cos2zsin(z)cosz;cos(z)coseizecosz 2

sinz

eize;tanzsinz

cotzcoszsinsecz cscz sin(tanz)sec2z,(secz)secztanz,

(cot)csc2z,(csc)csczcotz,exe

exechx 2

shx 2chz

eze,2

shz

eze.2

thz

eze

ezezezechz 2

shz

eze.2chz,shz 以2ki(kZ為周期chz為偶函數(shù),shz為奇函數(shù)(shz)chz, (chz)shz,shiyisin chiycosch(xiy)chxcosyishxsiny,sh(xiy)shxcosyichxsiny,

類似于實數(shù)的一些恒等式仍成立[書P68:ch2zsh2z s