第二章z變換2.1引言2.2z變換的定義及收斂域2.3z反變換2.4z變換的基本性質和定理2.5z變換與拉普拉斯變換、傅立葉變換的關系2.6序列的傅里葉變換2.7傅里葉變換的一些對稱性質2.8離散系統的系統函數及頻率響應12/19/20221第二章z變換2.1引言12/16/202212.1引言信號與系統的分析方法有時域、變換域兩種。一、時域分析法1.連續時間信號與系統 信號的時域運算，時域分解，經典時域分析法，近代時域分析法，卷積積分。2.離散時間信號與系統 序列的運算，卷積和，差分方程的求解。12/19/202222.1引言信號與系統的分析方法有時域、變換域兩種。12/二、變換域分析法1.連續時間信號與系統： 信號與系統的頻域分析、復頻域分析。2.離散時間信號與系統： Z變換，DFT(FFT)。

Z變換可將差分方程轉化為代數方程。12/19/20223二、變換域分析法12/16/202232.2z變換的定義及收斂域一、z變換定義：序列x(n)的z變換定義如下：

其中，z為變量，z變換將一個無限長的序列x(n)變成了z的代數式X(z)。

如果x(n)和X(z)是線性變換的，則X(z)包含了x(n)的全部信息。x(n)和X(z)在什么時候是線性變換？X(z)收斂時。12/19/202242.2z變換的定義及收斂域一、z變換定義：其中二、z變換的收斂域1.定義：使序列x(n)的z變換X(z)收斂的所有z值的集合稱作X(z)的收斂域.

2.收斂條件：

X(z)收斂的充要條件是絕對可和。12/19/20225二、z變換的收斂域2.收斂條件：12/16/202253.一些序列的收斂域回顧阿貝爾定理:

對于負指數冪級數存在滿足的z級數必絕對收斂。|z-|為最小收斂半徑。（圓外所有區域）12/19/202263.一些序列的收斂域對于負指數冪級數（圓外同樣，對于正指數冪級數存在滿足0≤|z|<|z+|的z級數必絕對收斂。|z+|為最大收斂半徑。（圓內區域）12/19/20227（圓內區域）12/16/20227（1）有限長序列12/19/20228（1）有限長序列12/16/2022812/19/2022912/16/20229在特殊情況下，收斂域可能擴大：

12/19/202210在特殊情況下，收斂域可能擴大：12/16/202210（2）右邊序列是指在時，x(n)有值，而在x(n)=0的序列。*第一項為有限長序列，第二項為z的負冪級數,12/19/202211（2）右邊序列*第一項為有限長序列，第二項為z的負冪級數,1收斂域:所以：右邊序列的收斂域為：（圓外，但不包括無窮遠處）12/19/202212收斂域:所以：右邊序列的收斂域為：（圓外，但不包括無窮遠處）特殊情況還可擴大：

因果序列：

它是一種最重要的右邊序列,由阿貝爾定理可知收斂域為：（圓外，且包括無窮遠處）12/19/202213特殊情況還可擴大：（圓外，且包括無窮遠處）12/16（3）左邊序列是指在時，x(n)有值，而在x(n)=0的序列。*第一項為z的正冪級數，第二項為有限長序列12/19/202214（3）左邊序列*第一項為z的正冪級數，第二項為有限長序列12收斂域:所以：左邊序列的收斂域為：（圓內，但不包括0）12/19/202215收斂域:所以：左邊序列的收斂域為：（圓內，但不包括0）12/特殊情況還可擴大：

反因果序列：

收斂域為：（圓內，且包括0）12/19/202216特殊情況還可擴大：（圓內，且包括0）12/16/202216（4）雙邊序列

是指n為任意值時,x(n)皆有值的序列，即左邊序列和右邊序列之和。12/19/202217（4）雙邊序列12/16/202217收斂域:所以：雙邊序列的收斂域為：（環域）12/19/202218收斂域:所以：雙邊序列的收斂域為：（環域）12/16/20歸納：幾種序列的收斂域及特例收斂域特殊情況收斂域有限長序列右邊序列因果序列左邊序列反因果序列雙邊序列當不收斂12/19/202219歸納：幾種序列的收斂域及特例收斂域特12/19/20222012/16/20222012/19/20222112/16/20222112/19/20222212/16/202222[例2-1]:求序列 的Z變換及收斂域。解：這相當 時的有限長序列，其收斂域應包括即 充滿整個Z平面。12/19/202223[例2-1]:求序列 的Z變換及收斂域。其收斂域應包括12/19/20222412/16/202224[例2-2]:求序列

的Z變換及收斂域。解：這是無窮等比級數,公比是，在什么情況下收斂？12/19/202225[例2-2]:求序列 的Z變換及收斂域。這是無使z變換的分母等于0的z的值，稱為z變換的極點。本例，極點為。收斂域內不能有極點。或收斂域以極點為邊界。因果序列的收斂域一定在模最大的極點所在的圓外。12/19/202226使z變換的分母等于0的z的值，稱為z變換的[例2-3]:求序列 z變換及收斂域。解：反因果序列的收斂域一定在模最小的極點所在的圓內。本例，極點為。12/19/202227[例2-3]:求序列 z變換及收斂域。[例2-4]:求序列 z變換及收斂域。

解：雙邊序列的收斂域為環狀區域,且以極點為邊界。本例，極點為。12/19/202228[例2-4]:求序列 z變換及收斂域。附：可寫成：

對復雜的序列，一般都分解成簡單的序列，分別求其z變換和收斂域，然后綜合。12/19/202229附：可寫成：對復雜的序列，一般都分解成常用z變換可寫成公式形式：序列Z變換收斂域注意：只有z變換和它的收斂域兩者在一起才和序列相對應。其它序列見p54：表2-1幾種序列的z變換12/19/202230常用z變換可寫成公式形式：序列Z變換收斂域注意：只有z變換和回顧：2.2z變換的定義及收斂域幾種序列的收斂域及特例：收斂域特殊情況收斂域有限長序列右邊序列因果序列左邊序列反因果序列雙邊序列當不收斂12/19/202231回顧：2.2z變換的定義及收斂域幾種序列的收斂域及特例常用z變換可寫成公式形式：序列Z變換收斂域注意：只有z變換和它的收斂域兩者在一起才和序列相對應。其它序列見p54：表2-1幾種序列的z變換12/19/202232常用z變換可寫成公式形式：序列Z變換收斂域注意：只有z變換和第二章z變換2.1引言2.2z變換的定義及收斂域2.3z反變換2.4z變換的基本性質和定理2.5z變換與拉普拉斯變換、傅立葉變換的關系2.6序列的傅里葉變換2.7傅里葉變換的一些對稱性質2.8離散系統的系統函數及頻率響應12/19/202233第二章z變換2.1引言12/16/202212.1引言信號與系統的分析方法有時域、變換域兩種。一、時域分析法1.連續時間信號與系統 信號的時域運算，時域分解，經典時域分析法，近代時域分析法，卷積積分。2.離散時間信號與系統 序列的運算，卷積和，差分方程的求解。12/19/2022342.1引言信號與系統的分析方法有時域、變換域兩種。12/二、變換域分析法1.連續時間信號與系統： 信號與系統的頻域分析、復頻域分析。2.離散時間信號與系統： Z變換，DFT(FFT)。

Z變換可將差分方程轉化為代數方程。12/19/202235二、變換域分析法12/16/202232.2z變換的定義及收斂域一、z變換定義：序列x(n)的z變換定義如下：

其中，z為變量，z變換將一個無限長的序列x(n)變成了z的代數式X(z)。

如果x(n)和X(z)是線性變換的，則X(z)包含了x(n)的全部信息。x(n)和X(z)在什么時候是線性變換？X(z)收斂時。12/19/2022362.2z變換的定義及收斂域一、z變換定義：其中二、z變換的收斂域1.定義：使序列x(n)的z變換X(z)收斂的所有z值的集合稱作X(z)的收斂域.

2.收斂條件：

X(z)收斂的充要條件是絕對可和。12/19/202237二、z變換的收斂域2.收斂條件：12/16/202253.一些序列的收斂域回顧阿貝爾定理:

對于負指數冪級數存在滿足的z級數必絕對收斂。|z-|為最小收斂半徑。（圓外所有區域）12/19/2022383.一些序列的收斂域對于負指數冪級數（圓外同樣，對于正指數冪級數存在滿足0≤|z|<|z+|的z級數必絕對收斂。|z+|為最大收斂半徑。（圓內區域）12/19/202239（圓內區域）12/16/20227（1）有限長序列12/19/202240（1）有限長序列12/16/2022812/19/20224112/16/20229在特殊情況下，收斂域可能擴大：

12/19/202242在特殊情況下，收斂域可能擴大：12/16/202210（2）右邊序列是指在時，x(n)有值，而在x(n)=0的序列。*第一項為有限長序列，第二項為z的負冪級數,12/19/202243（2）右邊序列*第一項為有限長序列，第二項為z的負冪級數,1收斂域:所以：右邊序列的收斂域為：（圓外，但不包括無窮遠處）12/19/202244收斂域:所以：右邊序列的收斂域為：（圓外，但不包括無窮遠處）特殊情況還可擴大：

因果序列：

它是一種最重要的右邊序列,由阿貝爾定理可知收斂域為：（圓外，且包括無窮遠處）12/19/202245特殊情況還可擴大：（圓外，且包括無窮遠處）12/16（3）左邊序列是指在時，x(n)有值，而在x(n)=0的序列。*第一項為z的正冪級數，第二項為有限長序列12/19/202246（3）左邊序列*第一項為z的正冪級數，第二項為有限長序列12收斂域:所以：左邊序列的收斂域為：（圓內，但不包括0）12/19/202247收斂域:所以：左邊序列的收斂域為：（圓內，但不包括0）12/特殊情況還可擴大：

反因果序列：

收斂域為：（圓內，且包括0）12/19/202248特殊情況還可擴大：（圓內，且包括0）12/16/202216（4）雙邊序列

是指n為任意值時,x(n)皆有值的序列，即左邊序列和右邊序列之和。12/19/202249（4）雙邊序列12/16/202217收斂域:所以：雙邊序列的收斂域為：（環域）12/19/202250收斂域:所以：雙邊序列的收斂域為：（環域）12/16/20歸納：幾種序列的收斂域及特例收斂域特殊情況收斂域有限長序列右邊序列因果序列左邊序列反因果序列雙邊序列當不收斂12/19/202251歸納：幾種序列的收斂域及特例收斂域特12/19/20225212/16/20222012/19/20225312/16/20222112/19/20225412/16/202222[例2-1]:求序列 的Z變換及收斂域。解：這相當 時的有限長序列，其收斂域應包括即 充滿整個Z平面。12/19/202255[例2-1]:求序列 的Z變換及收斂域。其收斂域應包括12/19/20225612/16/202224[例2-2]:求序列

的Z變換及收斂域。解：這是無窮等比級數,公比是，在什么情況下收斂？12/19/202257[例2-2]:求序列 的Z變換及收斂域。這是無使z變換的分母等于0的z的值，稱為z變換的極點。本例，極點為。收斂域內不能有極點。或收斂域以極點為邊界。因果序列的收斂域一定在模最大的極點所在的圓外。12/19/202258使z變換的分母等于0的z的值，稱為z變換的[例2-3]:求序列 z變換及收斂域。解：反因果序列的收斂域一定在模最小的極點所在的圓內。本例，極點為。12/19/202259[例2-