有限元法的基本概念與求解方法2.1結構離散化與剛度矩陣2.2位移函數與形函數2.3單元剛度方程2.4載荷移置與等效節點載荷2.5結構剛度方程2.6位移邊界條件的處理2.7應力計算2.8有限元法的普遍公式2.9有限元方程組的解法有限元法的基本概念與求解方法2.1結構離散化與剛度矩陣結構離散化與剛度矩陣結構離散化：1）網格劃分將結構劃分為有限個單元；2）載荷移置將作用在結構上的非節點載荷等效地移置為節點載荷；3）簡化約束把結構邊界上的約束，用適當的節點約束代替。結構離散化與剛度矩陣結構離散化與剛度矩陣結構離散化：結構離散化與剛度矩陣有限元網格劃分原則有限元中單元的網格剖分原則１）各節點必須相連。如圖所示中（a）是正確的，而（b）是錯誤的。結構離散化與剛度矩陣有限元網格劃分原則有限元中單元的網格剖分原則結構離散化與剛度有限元網格劃分原則

信息是通過單元之間的公共節點傳遞的。分離但節點重疊的單元A和B之間沒有信息傳遞（需進行節點合并處理）具有公共節點的單元之間存在信息傳遞

.....AB...1node...AB...2nodes結構離散化與剛度矩陣有限元網格劃分原則信息是通過單元之間的公共節點傳遞的有限元網格劃分原則２）單元不能奇異，也就是單元中的邊長不能相差太大，或者有過大的鈍角或過小的銳角，如圖示：結構離散化與剛度矩陣有限元網格劃分原則２）單元不能奇異，也就是單元中的邊長不能相有限元網格劃分原則３）單元的大小、數目取決于計算精度要求和計算容量限制分網時首先滿足計算精度的要求，同時可利用結構的對稱性、循環對稱性的特點，從厚結構中取出一部分進行分析，或者對有應力集中的構件，采用疏密不同的網格剖分。也可以采用子結構法。４）同一單元內的結構，幾何特性與材料特性相同，也就是不要把厚度不同或材料不同的區域劃分在同一個單元里。結構離散化與剛度矩陣有限元網格劃分原則３）單元的大小、數目取決于計算精度要求和計網格劃分示例結構離散化與剛度矩陣網格劃分示例結構離散化與剛度矩陣結構離散化與剛度矩陣剛度矩陣描述單元特性的矩陣，表示了單元抵抗變形的能力。它由剛度系數組成，由單元節點的個數和自由數決定規模。如圖平面三角形三節點單元中，有3個節點，每個節點有2個自由度，故剛陣中的元素個數為36個。剛度系數Kij

相當于一維彈簧的剛度K的含義。即產生單位位移時需要的作用力的大小。

結構離散化與剛度矩陣結構離散化與剛度矩陣剛度矩陣結構離散化與剛度矩陣位移函數結構離散化后，要對單元進行力學特性分析，也就是確定單元節點力與節點位移之間的關系，這時就需要把單元內的任一點的位移分量表示成坐標的某種函數。這種函數就叫位移函數。位移函數與形函數位移函數結構離散化后，要對單元進行力學特性分析，也就是確位移函數的一般介紹１.定義：把單元中任一點的位移分量與坐標的函數關系叫位移函數或叫位移模式。２.選擇位移函數的原因（１）決定了單元的力學特性。（意義）（２）反映了單元的位移形態。（物理意義）（３）它是利用位移法求解問題的開始。（基礎）３.位移函數必須具備的條件（１）在節點上的值應等于節點的位移（２）所采用的函數必須保證有限元的解收斂于真實解位移函數與形函數位移函數的一般介紹１.定義：位移函數與形函數位移函數的一般形式位移函數一般為多項式形式，這樣處理是從兩方面出發的（１）進行數學運算（如微分，積分）較簡單（２）任意階次的多項式可以近似地表示精確解，其一般形式為：u=u(x,y)=1+2x+3y+4x2+5xy+6y2+…+mynv=

v(x,y)=m+1+m+2x+…+2myn（２-１）式中:,其中1…２m為待定系數。式中的也稱為廣義坐標，這種描述方式又稱為廣義坐標形式。（一維形式多項式u(x)=1+2x+３x2+…+n＋１xn）位移函數與形函數位移函數的一般形式位移函數一般為多項式形式，這樣處理是從位移函數的一般形式（２-１）式也可以參照帕斯卡三角形來確定位移函數與形函數位移函數的一般形式（２-１）式也可以參照帕斯卡三角形來確定位三節點三角形單元的位移函數１.位移函數形式就是最簡單的情況而言，可以選取位移為坐標的線性函數形式，也就是：u(x,y)=1+2x+3y

v(x,y)=4+5x+6y（２-２）對于圖中的三角形單元，為了確定（２-２）式中的待定系數16，可以將節點i，j，m的位移值及坐標值代入上式，得到方程組：ui=1+2xi+3yivi=4+5xi+6yi（i=i，j，m）（２-３）式中ui，vi——節點位移xi，yi——節點坐標

位移函數與形函數三節點三角形單元的位移函數１.位移函數形式位移函數與形函數三節點三角形單元的位移函數這是一個一階線性方程組，可使用克來姆法則求解。位移函數與形函數三節點三角形單元的位移函數位移函數與形函數三節點三角形單元的位移函數２.克來姆法則設有一線性方程組：a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…………an1x1+an2x2+…+annxn=bn

（a11ann系數）當其系數行列式不等于零時

上述的方程組有唯一解：（j＝１，２…n）

其中是將Ａ中第j列元素替換為右端項而得到的行列式位移函數與形函數三節點三角形單元的位移函數２.克來姆法則位移函數與形函數三節點三角形單元的位移函數３.待定系數1…６的求解如果用節點位移（ui,vi）,（uj,vj）,（um,vm）及節點坐標（xi,yi）,（xj,yj）,（xm,ym）代入（2-3）式可以得到：

ui=1+2xi+3yiuj=1+2xj+3yjum=1+2xm+3ym

vi=4+5xi+6yivj=4+5xj+6yjvm=4+5xm+6ym位移函數與形函數三節點三角形單元的位移函數３.待定系數1…６的求解位移三節點三角形單元的位移函數由克來姆法則可知：當20，上述方程有唯一解：位移函數與形函數三節點三角形單元的位移函數由克來姆法則可知：當20，上三節點三角形單元的位移函數為了描述方便，引入系數ai=xjym-xmyjbi=yj

-ymci=-xj

+xmaj=xmyi-xiymbj=ym

-yicj=-xm

+xiam=xiyj-xjyibm=yi

-yjcm=-xi

+xj位移函數與形函數三節點三角形單元的位移函數為了描述方便，引入系數位移函數與形三節點三角形單元的位移函數代入上式后可以得到位移函數與形函數三節點三角形單元的位移函數代入上式后可以得到位移函數與形函數三節點三角形單元的位移函數４.位移函數的插值函數形式假設這樣一個函數：(i=i,j,m)代入（２-３）式后可得u=Ｎiui+Ｎjuj+Ｎmum

v=Ｎivi+Ｎjvj+Ｎmvm式中：Ｎi，Ｎj，Ｎm被稱為單元的形狀函數，簡稱形函數或插值函數。位移函數與形函數三節點三角形單元的位移函數４.位移函數的插值函數形式位移函數三節點三角形單元的位移函數把（２-６）式寫成矩陣形式：簡寫為：f=Ne（２-８）位移函數與形函數三節點三角形單元的位移函數把（２-６）式寫成矩陣形式：位移函三節點三角形單元的位移函數式中的矩陣Ｎ反映了單元的位移形態，又是坐標的函數，我們稱之為形函數矩陣，這種描述方式稱為位移函數的插值函數形式。通過上面的推導，我們得到了兩種形式的位移函數，（２-８）式與（２-２）式后一種描述更簡單，更直觀，通常采用。這樣我們就建立了單元中任一點的位移和單元節點位移之間的關系。位移函數與形函數三節點三角形單元的位移函數式中的矩陣Ｎ反映了單元的位移形位移函數及其性質當節點位移一定時，單元形態完全決定于Ｎi，Ｎj，Ｎm這時形函數就具有如下的性質：１.形函數Ｎi在節點i處的值為１，而在其他兩個節點（j，m）處的值為零。即：Ｎi（xi，yi）=1而Ｎi（xj，yj）=Ｎi（xm，ym）=0同樣的Ｎj（xi，yi）=0Ｎj（xj，yj）=1Ｎi（xm，ym）=0Ｎm（xi，yi）=0Ｎm（xj，yj）=0Ｎm（xm，ym）=1位移函數與形函數位移函數及其性質當節點位移一定時，單元形態完全決定于Ｎi位移函數及其性質２.在單元任一節點處，三個形函數之和等于１。證明如下：Ｎi（x，y）+Ｎj（x，y）+Ｎm（x，y）=（ai+bix+ciy+aj+bjx+cjy+am+bmx+cmy）／（２）=[（ai+aj+

am）+（bi+bj+

bm）x+（ci+cj+

cm）y]／（２）=（２+0+0）/（２）=1此外，形函數與位移函數是同樣類型的函數。如：位移函數u=1+2x+3y

形函數Ｎi=（ai+bix

+

ciy）／（２）

位移函數與形函數位移函數及其性質２.在單元任一節點處，三個形函數之和等于１。位移函數與解的收斂性選擇位移函數時，為保證有限元法的收斂性，必須滿足以下４個條件：１.位移函數必須包含單元的常量應變２.位移函數必須包含單元的剛體位移３.位移函數在單元內部必須是連續函數（連續性要求）４.位移函數應使得相鄰單元間的位移協調（保續性要求）上述四個條件中，若全部滿足，這樣的位移函數構成的單元稱為協調單元，若只滿足前三條，則稱為非協調單元位移函數與形函數位移函數與解的收斂性選擇位移函數時，為保證有限元法的收斂位移函數與解的收斂性下面我們用以下四個條件來考察三角形常應變單元的位移函數（１）由=[x,y,xy]T=[2,6,5+

3]T因2,6,5+

3都是常數，與某坐標無關，因此含有常應變項（２）將位移函數可改寫成位移函數與形函數位移函數與解的收斂性下面我們用以下四個條件來考察三角形常位移函數與解的收斂性當發生剛體位移時：x=x=xy=0也就是2=

6=5+

3=0這時：其中u0,v0為平動位移分量。

0為單元繞垂直于x，y平面的軸線作剛體轉動時的角位移，它表示了剛體位移。位移函數與形函數位移函數與解的收斂性當發生剛體位移時：x=x位移函數與解的收斂性（３）位移函數（２-２）或是x，y的單值連續函數，故滿足連續性要求。（４）位移函數（２-２）式是線性函數，由于相鄰單元在公共節點處的位移值相等，而通過兩個節點可以連成一直線，其連線上的位移相同，因此邊界上各點的位移是連續的，不會出現：綜上所述，三角形常應變單元屬于協調元位移函數與形函數位移函數與解的收斂性（３）位移函數（２-２）或是x，y的單值面積坐標面積坐標是利用三角形的面積關系表示三角形單元任一點位置的一種方法。優點：簡明，方便。位移函數與形函數面積坐標面積坐標是利用三角形的面積關系表示三角形單元任一面積坐標對于圖中三角形單元任一點P（x,y）可用下三個比值來確定：Li,Lj,Lm稱為P點的面積坐標，顯然面積坐標具有以下性質：性質１.Li+Lj+Lm=1（i+j+m=）性質２.平行于三角形jm邊的直線上所有點其Li相同

AB變化時，hi’不變,故i不變，Li不變位移函數與形函數面積坐標對于圖中三角形單元任一點P（x,y）可用下三面積坐標性質３.Li=1Lj=0Lm=0（i）Li=0Lj=1Lm=0（j）Li=0Lj=0Lm=1（m）性質４.Li=Lj=Lm=1/3在三角形形心處面積坐標與形函數的關系：位移函數與形函數面積坐標性質３.Li=1Lj=0Lm=面積坐標同理：Lj=Nj，Lm=Nm

所以，面積坐標與形函數相同（量值）但意義不同位移函數與形函數面積坐標同理：Lj=Nj，Lm=Nm位單元剛度方程對單元進行力學特性分析目的在于確定單元節點力與節點位移的關系，并稱之為單元剛度方程：Ｋee=Ｆe式中：Fe，e——單元節點力及節點位移列陣

Ｋe——單元剛度矩陣基本方法單元剛度方程單元剛度方程對單元進行力學特性分析目的在于確定單元節點力基本方法建立上述方程時可采用的方法（１）直接剛度法（２）虛位移原理或最小勢能原理——位移型有限元（３）余虛功原理或最小余能原理——力型有限元（４）變分法（非結構問題）單元剛度方程基本方法建立上述方程時可采用的方法單元剛度方程基本方法單元特性分析的步驟（１）假設位移函數 （２）建立應力，應變與節點位移間的關系（３）由能量原理，建立單元節點力與節點位移間的關系（４）得到單元剛陣單元剛度方程基本方法單元特性分析的步驟單元剛度方程三角形平面單元的單元剛度矩陣（１）上節的知識可以知道位移函數為：

u=Ｎiui+Ｎjuj+Ｎmum

v=Ｎivi+Ｎjvj+Ｎmvm式中Ｎi=（ai+bix

+

ciy）／（２）（i=i,j,m）（２）應力應變與節點位移的關系對三節點三角形單元，節點位移e=[ui,vi,uj,vj,um,vm]T

Fe=[Fix,Fiy,Fjx,Fjy,Fmx,Fmy]T

單元剛度方程三角形平面單元的單元剛度矩陣（１）上節的知識可以知道單元剛度三角形平面單元的單元剛度矩陣由彈力知識可知，幾何方程為：單元剛度方程三角形平面單元的單元剛度矩陣由彈力知識可知，幾何方程為：單元三角形平面單元的單元剛度矩陣令：Ｂ=[Bi,Bj,Bm]且（i=i,j,m）方程可簡寫為：=Ｂe單元剛度方程三角形平面單元的單元剛度矩陣單元剛度方程三角形平面單元的單元剛度矩陣我們稱Ｂ——單元的幾何矩陣，其物理意義反映了單元任一點的應變與單元位移之間的關系。對于一個給定的單元，節點坐標一定，系數bi，ci也隨之確定，

也為常數，所以幾何矩陣為常量矩陣，這也證明３節點三角形單元是一種常應變單元。由彈性理論中關于平面問題的物理方程可知，當不考慮變溫影響時，單元中任一點的應力為:=D式中Ｄ為彈性矩陣，反映了單元材料方面的特性。單元剛度方程三角形平面單元的單元剛度矩陣我們稱Ｂ——單元的幾何矩陣，三角形平面單元的單元剛度矩陣由上面應變與節點位移之間的關系代入后可得=D=DBe若令S=DB則=Se式中，S——稱為單元的應力矩陣物理意義：反映了單元中任一點的應力與節點位移之間的關系，對于３節點三角形單元D，B為常量矩陣，S也為常量矩陣，這種常應變單元，也是一種常應力單元，回顧一下，平面應力問題：單元剛度方程三角形平面單元的單元剛度矩陣由上面應變與節點位移之間的關系代三角形平面單元的單元剛度矩陣而對于平面應變問題如果采用：代入單元剛度方程三角形平面單元的單元剛度矩陣而對于平面應變問題單元剛度方程三角形平面單元的單元剛度矩陣兩種問題具有相同的描述形式，只是對材料的彈性模量與泊松比進行相應的代換，則在計算中可以采用同樣形式的彈性矩陣。（３）單元節點力與節點位移之間的關系在位移型有限元法中，對單元的力學特性分析，最終是需要建立節點位移和節點力之間的關系，也就是確定單元的剛度矩陣。應用虛位移原理來建立這種關系式。設某單元發生一虛位移，則該單元各節點上的虛位移為＊e，相應地單元內任一點處的虛應變為：＊。根據與間的關系有：＊=B＊e單元剛度方程三角形平面單元的單元剛度矩陣兩種問題具有相同的描述形式，三角形平面單元的單元剛度矩陣這時單元體在節點力作用下處于平衡狀態，根據虛位移原理，當虛位移發生時節點力在虛位移上所做的功等于單元的虛應變能，即：式中：Ｖe為單元的體積，上式稱為單元的虛功方程。把=DBe和＊=B＊e代入上式得由于節點位移e及節點虛位移＊e均為常量，提出積分外，有：單元剛度方程三角形平面單元的單元剛度矩陣這時單元體在節點力作用下處于三角形平面單元的單元剛度矩陣進一步可得：令：則上式可寫為求得了我們所要的形式的方程，稱之為單元剛度方程，式中的Ｋe稱為單元的剛度矩陣，反映了節點力與節點位移之間的關系。同樣，可采用最小勢能原理來建立單元節點力與節點位移的關系式。我們得到的單元剛度矩陣Ｋe是普遍公式，適用于各種類型的單元，對于三角形常應變單元的具體表達式見下。單元剛度方程三角形平面單元的單元剛度矩陣進一步可得：單元剛度方程三角形平面單元的單元剛度矩陣（４）三角形常應變單元剛度矩陣的顯式：由于普遍公式中，Ｂ，Ｄ均為常量矩陣，可以提出積分符號，而dＶ是單元的微元體體積且dＶ=tdxdy式中t為單元的厚度，同一單元，厚度t為常數，故單元體積（為單元的面積）普遍公式就可寫為：為了便于計算利用B=[BiBjBm]將上式展開

單元剛度方程三角形平面單元的單元剛度矩陣（４）三角形常應變單元剛度矩陣的三角形平面單元的單元剛度矩陣單元剛度方程式中子剛陣為：Krs

=tBrTDBs

（r,s=i,j,m）三角形平面單元的單元剛度矩陣單元剛度方程式中子剛陣為：K三角形平面單元的單元剛度矩陣Krs是一個２２階矩陣，因此三角形常應變單元的剛度方程為６６的方程，也就是單剛階數＝單元的自由度數。對與平面應力問題：

將：B=[BiBjBm]及代入單元剛度方程三角形平面單元的單元剛度矩陣Krs是一個２２階矩陣，因三角形平面單元的單元剛度矩陣

（r,s=i,j,m）單元剛度方程三角形平面單元的單元剛度矩陣單元剛度方程三角形平面單元的單元剛度矩陣簡寫為：相應的：單元剛度方程三角形平面單元的單元剛度矩陣簡寫為：單元剛度方程單元剛度矩陣的性質（１）單元剛度矩陣是對稱矩陣（２）單元剛度矩陣的主對角元素恒為正值（３）單剛為奇異陣（４）單元剛度僅與單元的幾何特性（Ｂ）及材料特性有關（Ｄ）而與外力無關。上述四條性質，與桿系的單剛性質相同單元剛度方程單元剛度矩陣的性質（１）單元剛度矩陣是對稱矩陣單元剛度方程１.由于在進行有限元分析中，單元和單元之間僅通過節點相互聯系當外載不是直接作用在節點上，那么需要將非節點載荷向節點移置，也就是真實外載（理想化）節點上的集中載荷移置后的載荷稱之為等效節點載荷。非節點載荷移置載荷移置與等效節點載荷１.由于在進行有限元分析中，單元和單元之間僅通過節點相互聯系非節點載荷移置２.結構的非節點載荷移置將各單元所受的非節點外載荷分別移置到各單元的相應節點上，在公共節點處應用載荷疊加原理，就可以得出３.載荷移置的原則——能量等效的原則單元的實際載荷與移置后的等效節點載荷在相應的虛位移上所做的虛功相等。４.單元載荷移置的方法（１）直接法：利用能量等效原則，直接進行單元載荷移置＊只適用于線性位移函數的單元載荷移置與等效節點載荷非節點載荷移置２.結構的非節點載荷移置載荷移置與等效節點載荷非節點載荷移置（２）普遍公式法：根據能量等效原則，推導出普遍公式＊適用于各種類型的單元說明：由圣維南原理可知，載荷移置后，只會在結構的局部產生誤差。對整個結構的變形或應力狀態的影響不大，由于有限元分析中，單元一般都很小，移置的結果不會帶來很大的誤差。載荷移置與等效節點載荷非節點載荷移置（２）普遍公式法：根據能量等效原則，推導出普遍載荷移置的普遍公式１.集中力Ｐ的移置公式：設（１）單元i,j,m中任意一點（x，y）作用集中載荷P=[Px，Px]Ｔ

（２）各節點上的等效節點載荷向量為：Re=[Rix,Riy,Rjx,Rjy,Rmx,Rmy]Ｔ（３）發生微小位移時，集中力作用點相應的虛位移為：f*=[u,v]Ｔ

（４）各節點相應的虛位移為：

*e=[ui*,vi*,

uj*,

vj*,

um*,vm*]載荷移置與等效節點載荷載荷移置的普遍公式１.集中力Ｐ的移置公式：載荷移置與等效節點載荷移置的普遍公式推導：（１）根據單元內位移與節點位移關系f=[u,v]Ｔ=Nef*=N*eP（２）根據能量等效原則：*eＴRe=f*ＴP*eＴRe=(N*e)

ＴP=*eＴNＴPRe=NＴP這就是集中力Ｐ的移置公式，式中Ｎ為單元的形函數矩陣。載荷移置與等效節點載荷載荷移置的普遍公式推導：（１）根據單元內位移與節點位移關系載荷移置的普遍公式２.體力g的移置公式設：單元ijm上作用有體力g=[gx,gy

]Ｔ推導（１）將單元體tdxdy上的體積力gdxdy當作集中力，應用集中力的移置公式Re=NＴP有微元體上dRe=NＴgtdxdy（２）積分在整個單元上有

Re=

NＴgtdxdy=

t

NＴgdxdy載荷移置與等效節點載荷載荷移置的普遍公式２.體力g的移置公式載荷移置與等效節點載荷載荷移置的普遍公式3.表面力q的移置公式設單元ijm的jm邊上作用有表面力q=[qx，qy]Ｔ可將微元面積上tds上的面力qtds當作集中力則Re=

sjmdRe

=

sjm

qtds=

tsjm

qds上述公式適用于任何單元及任意坐標方向。載荷移置與等效節點載荷載荷移置的普遍公式3.表面力q的移置公式載荷移置與等效節點載載荷移置舉例以單元自重（或作用在單元形心處的集中力）為例。設一個均質等厚的三角形單元ijm，其厚度為t，面積為，材料比重為，則單元的自重為：W=t,且其作用在單元形心c處載荷移置與等效節點載荷載荷移置舉例以單元自重（或作用在單元形心處的集中力）為例載荷移置舉例思路：（１）欲求哪個節點在哪個方向上的載荷分量，就在該方向加一單位虛位移，其他自由度為０。（２）利用線性位移函數的特點導出幾何關系。（３）根據能量等效原則列出虛功相等，解出節點載荷分量載荷移置與等效節點載荷載荷移置舉例思路：載荷移置與等效節點載荷載荷移置舉例１.直接法求解先求，i在y方向的等效節點載荷設

vi*=1

而ui*=uj*=

vj*=

um*=vm*=0相當于上圖由于，單元具有線性位移函數，當vi*=1時變形情況見上圖

jm邊不動，點b亦不動，由幾何關系可知：

載荷移置與等效節點載荷載荷移置舉例１.直接法求解載荷移置與等效節點載荷載荷移置舉例又根據能量等效原則：

式中“－”號表示與y軸方向相反

同理可得：載荷移置與等效節點載荷載荷移置舉例又根據能量等效原則：載荷移置與等效節點載荷載荷移置舉例類似可以得出：各節點沿x方向的等效節點載荷Rix=Rjx=Rmx=0Re=[Rix,Riy,Rjx,Rjy,Rmx,Rmy]T=-t[010101]T/3上式也表明對三角形單元（均厚，等厚）所受重力，只需將自重平均的移置到３節點上，方向與重力方向相同。載荷移置與等效節點載荷載荷移置舉例類似可以得出：各節點沿x方向的等效節點載荷Ri載荷移置舉例２.普遍公式法求解對于此處為集中力P=[0-W]T作用在形心c處由Re=NTP 可知載荷移置與等效節點載荷載荷移置舉例２.普遍公式法求解載荷移置與等效節點載荷載荷移置舉例可以證明：在三角形形心c處，有Ni=Nj=Nm=1/3代入上式可得Re=-W[010101]T/3=-t[010101]T/3可見采用上述兩種方法移置的結果相同說明：單元具有線性位移函數時，采用直接法移置較簡單單元具有非線性位移函數時，只能采用普遍公式法進行。載荷移置與等效節點載荷載荷移置舉例可以證明：在三角形形心c處，有Ni=Nj=N結構剛度方程通過單元特性分析，可建立單元剛度矩陣Ke同時得到單元剛度方程Kee=Fe通過單元載荷移置，可建立節點載荷列陣Re集合成結構剛度方程的三個方面的內容是：（１）單元的節點位移e結構的節點位移列陣（２）單元的節點載荷列陣Re結構的節點載荷列陣R（３）單元的單剛Ke結構的總剛K得到K=R（2-45）結構剛度方程結構剛度方程通過單元特性分析，可建立單元剛度矩陣Ke結構結構剛度方程

上為結構剛度方程，表示了節點載荷與節點位移間的關系，是一個以節點位移為未知量的線形代數方程組，可求得，進一步求出應變，應力。結構剛度方程結構剛度方程上為結構剛度方程，表示了節點載荷與節點位移間集合的基本原則（１）在相互連接的公共節點處，各單元的節點位移必須相等，即必須滿足變形協調條件。i=i

=i

=i

所以，節點位移不須按單元來區分。結構剛度方程集合的基本原則（１）在相互連接的公共節點處，各單元的節點位移集合的基本原則（２）公共節點處，各單元對節點的作用力，與作用在該節點上的外載荷Ri之間，必須滿足靜力平衡條件。Ri=Fi+Fi

+Fi

+Fi所以，若Ri=0，則有Fi+Fi

+Fi

+Fi=0結構剛度方程集合的基本原則（２）公共節點處，各單元對節點的作用力，與作用結構剛度方程的建立例：1.結構的節點位移列陣根據公共節點處的變形協調條件，不同單元在公共節點處的位移相等，則有節點位移列陣]=[1

234]T=[u1

v1

u2

v2

u3

v3

u4

v4]T（按總體節點編號順序寫出）結構剛度方程結構剛度方程的建立例：結構剛度方程結構剛度方程的建立2.結構的節點載荷列陣：（1）若存在非節點載荷，須進行單元載荷移置，并按移置后的等效節點載荷進行疊加即：Ri=[Rix

Riy]T=Ri++

+……（2）不考慮約束反力的作用（3）與節點位移相對應，結構的節點載荷列陣R亦按總體節點編號順序排列那么，對于上例

R=[R1

R2R3R4]T=[000.5P00.5P000]T結構剛度方程結構剛度方程的建立2.結構的節點載荷列陣：結構剛度方程結構剛度方程的建立式中約束反力R1=R4=[0

0

00]T3.結構剛度方程3節點三角形單元的自由度數為6，單剛Ke為66階矩陣。

總體K由單剛Ke組合而成總剛K的階數=結構的自由度數對于圖示的例子，4個節點，共8個自由度，結構剛度矩陣為88的方陣。把圖中的兩個單元離散開為：結構剛度方程結構剛度方程的建立式中約束反力R1=R結構剛度方程的建立圖中，數字為總體節點編號1，2，3，4字母i,j,m為局部節點編號。結構剛度方程結構剛度方程的建立結構剛度方程結構剛度方程的建立對應關系，單元i,j,m1，2，3單元i,j,m1，3，4則單元的節點力列陣為：F

=[F1xF1yF2x

F2y

F3x

F3y

]T

=[F1F2

F3]T單元節點力列陣為：F

=[F1

F3

F4

]T由節點i處的靜力平衡條件可知R1=F1+F1

R2=F2

R3=F3+F3

R4=F4（2-49）結構剛度方程結構剛度方程的建立對應關系，單元i,j,m1結構剛度方程的建立上式中：Ri=[Rix

Riy]T，Fi=[Fix

Fiy]T（i=1,2,3,4）又Fe=Kee對于單元有：F1=K11

1

+K12

2+K13

3

F2=K21

1

+K22

2+K23

3

F3=K31

1

+K32

2+K33

3對于單元有：F1

=K11

1

+K13

3+K14

4

F2

=K31

1

+K33

3+K344

F3

=K41

1

+K43

3+K444結構剛度方程結構剛度方程的建立上式中：Ri=[RixRiy]結構剛度方程的建立代入2-49式R1=F1+F1

=（K11

+K11）1

+K12

2+（K13

+K13）3

+K144R2=F2=K21

1

+K22

2+K23

3

R3=F3+F3=（K31

+K31）1

+K32

2+（K33

+K33）3

+K344R4=F4=

K411

+K433

+K444可把上式寫成矩陣形式，并進一步簡寫為：K

=R稱為結構剛度方程。表示了結構的節點載荷R與節點位移列陣之間的關系。K為結構剛度矩陣或總體剛度矩陣，簡稱總剛。

結構剛度方程結構剛度方程的建立代入2-49式結構剛度方程形成總剛的常用方法上面是通過節點的平衡關系導出結構剛度方程的，這種做法優點在于力學概念明確。缺點：繁瑣不便于程序實現。所以通常采用下面的兩種方法：1.按單元形成總剛做法：A.先將總剛充0，階數為44，按節點節點結構剛度方程形成總剛的常用方法上面是通過節點的平衡關系導出結形成總剛的常用方法B.從單元開始，計算單剛Ke，送入總剛相應位置，然后進行下一個單元。結構剛度方程形成總剛的常用方法B.從單元開始，計算單剛Ke，形成總剛的常用方法2.按節點形成總剛A.方法同前，總剛充零。B.從節點1開始，檢查該節點與哪幾個節點相鄰確定總剛的元素Krs。并與哪幾個單元相聯系確定元素Krs由幾個單元相加,Krs+C.重復上述工作，直到最后一個節點。即同樣就得到了總剛，即結構剛度方程結構剛度方程形成總剛的常用方法2.按節點形成總剛結構剛度方程總剛的性質及其應用1.總剛為對稱方陣單剛對稱陣疊加后總剛也必然對稱應用：在程序設計中只需存儲上三角或下三角的元素2.總剛是奇異矩陣物理：沒有約束，存在剛體位移數學：不存在逆矩陣

只有引入位移邊界條件后，消去奇異性成為正定矩陣才能求解。結構剛度方程總剛的性質及其應用1.總剛為對稱方陣結構剛度方程總剛的性質及其應用3.總剛是稀疏矩陣

每個節點只與少數幾個節點相關

存在大量的元素

是有大量0元素的稀疏矩陣結構剛度方程總剛的性質及其應用3.總剛是稀疏矩陣結構剛度方程總剛的性質及其應用

兩種結構的總體節點編號方式，使總剛元素的排列方式不同，計算表明用帶狀稀疏矩陣，可節省計算存儲量，提高計算效率。

在編號時，應使同一單元節點號比較接近，最大節點號差盡可能小結構剛度方程總剛的性質及其應用結構剛度方程總剛的性質及其應用4.總剛僅與結構的尺寸，幾何形狀及材料性能有關，與外載無關。利用這一性質，可先計算總剛，再考慮外載的作用結構剛度方程總剛的性質及其應用4.總剛僅與結構的尺寸，幾何形狀及材料性位移邊界條件的處理對于結構剛度方程：K=RK為奇異陣的解不唯一因此，就必須引入位移邊界條件，以消除K的奇異性數學：唯一解的必要條件物理：限制剛體位移下面介紹常用的幾種方法位移邊界條件的處理位移邊界條件的處理對于結構剛度方程：K=R位移邊界條件總剛的奇異性對于結構而言，其結構剛度方程為：位移邊界條件的處理總剛的奇異性對于結構位移邊界條件的處理總剛的奇異性位移邊界條件的處理總剛的奇異性位移邊界條件的處理總剛的奇異性由于結構處于平衡狀態，所以：將（2-51）式中代入上式：并將兩式相加：位移邊界條件的處理總剛的奇異性由于結構處于平衡狀態，所以：位移邊界條件的處理總剛的奇異性對任意的vi，ui上式恒等于0，因此其系數分別等于0即：由對稱性可知：上式表示了總剛中各行元素之和均為零，即K對應的行列式的各行線性相關，根據行列式的性質：“若行列式的各行線性相關，或某一行是其余各行的線性組合，則行列式=0”有：總剛是奇異矩陣位移邊界條件的處理總剛的奇異性對任意的vi，ui上式恒等于0，處理位移邊界條件的常用方法由于K和R中的各元素均已按照一定的順序分別存儲在相應的數組中，在對K及R處理時，應盡量不打亂原有的存儲順序，并希望處理的元素越少越好。常用的方法有3種。1.降階法：降低結構剛度方程階次的方法若結構剛度方程為：K=R在節點位移中，令A——未知位移，B已知位移，利用矩陣分塊：位移邊界條件的處理處理位移邊界條件的常用方法由于K和R中的各元素均處理位移邊界條件的常用方法式中RB為未知載荷，并按第一行展開：KAAA+KABB=RA令則：（階次比K=RA低）若B為零位移，則上式變為：上式相當于在原結構剛度方程中，將與零位移約束對應的行與列劃去得到，由該式可以解出未知位移A采用計算機解題時，降階會打亂原K及R的存儲順序，且需重新安排KAA，RA及A在程序設計中一般不采用位移邊界條件的處理處理位移邊界條件的常用方法式中RB為未知載荷，并按第一行展開處理位移邊界條件的常用方法2.對角置一法：對結構剛度方程位移邊界條件的處理處理位移邊界條件的常用方法2.對角置一法：位移邊界條件的處處理位移邊界條件的常用方法已知位移邊界條件：，將其引入剛度方程。為了不改變列數，處理第i列諸元素。位移邊界條件的處理處理位移邊界條件的常用方法已知位移邊界條件：處理位移邊界條件的常用方法為了改變行數，對第i行處理，使其體現位移邊界條件的處理處理位移邊界條件的常用方法為了改變行數，對第i行處理，使其體處理位移邊界條件的常用方法對于平面問題，只要進行三次即可使k成為非奇異陣，故可求出待解位移。位移邊界條件的處理處理位移邊界條件的常用方法對于平面問題，只要進處理位移邊界條件的常用方法3.對角元乘大數法若：對第i行的主對角元Kii乘以一個大數，如1020，并將對應的Ri改為：其它各行元素均保持不變。這樣將第i行展開得到：同除1020得：位移邊界條件的處理處理位移邊界條件的常用方法3.對角元乘大數法位移邊界條件的處理位移邊界條件的常用方法若則在Kii處乘以大數，Ri處置零即可這種方法應用的最為普遍。位移邊界條件的處理處理位移邊界條件的常用方法若則在K基本公式

由結構剛度方程解出后可得到用e單元內應變、應力與節點位移間的關系。就可得出單元中任一點處的應變與應力：當不考慮溫度影響時：或者=Be（B幾何矩陣）應力計算基本公式

由結構剛度方程解出后可得到用

由彈性力學可知：

代入上式根據上式就可得出單元中任一點的應力。基本公式應力計算由彈性力學可知：基本公式應力計算1.變溫等效節點載荷：設彈性體溫度由T1升至T2，則彈性體的變溫為T=T2-T1

變溫T為x,y的函數。 若彈性體內不受任何約束，存在變溫T時正應力為T。為線膨脹系數。變溫應力的計算應力計算1.變溫等效節點載荷：變溫應力的計算應力計算

因此在平面應力狀態下：若三角形帶應變單元，3個節點處的變溫為Ti、Tj、Tm則變溫T可由：T=NiTi+NjTj+NmTm

為簡單起見T=（Ti+Tj+Tm）/3那么當考慮溫度變化時的平面問題物理方程為：

式中：為單元任一點的總應變。o為該點的初應變（或自由熱應變）。應用單元的虛功方程：得：變溫應力的計算應力計算因此在平面應力狀態下：變溫應力的計算應力計

進一步得若令Rte為節點的變溫等效節點載荷 上式成為：即：2、結構剛度方程：Rt——變溫等效節點載荷列陣變溫應力的計算應力計算進一步得變溫應力的計算應力計算

由式求出后由： 對于平面應力問題： 對于平面應變問題：

代入后，同平面應力公式。

在上面的計算中，應力計算均應按單元進行，同樣應變亦應按單元進行。變溫應力的計算應力計算 由式求出后由：變溫應力的計算應力計算計算得到的是單元的應力與應變，由其表示節點處的應力值的兩種常用方法：1.繞節點平均法： 將環繞某一節點的各單元加以平均以平均值表示該節點處的應力。

若i節點周圍有n個單元，則i點應力為：應力的表示方法應力計算計算得到的是單元的應力與應變，由其表2.按單元面積的加權平均法： 以交集于節點i的各單元的面積作為加權系數來計算i接點處的應力對于一般情況。

這種方法要精確一些。應力的表示方法應力計算2.按單元面積的加權平均法：應力的表示方法應力計算 根據材料力學公式，可以求出平面問題中節點的主應力、主方向和當量應力，如下式：

當s逆時針轉至1時，為正值。

主應力和主方向應力計算 根據材料力學公式，可以求出平面問題中節點的主應力、主方向主位移型有限元法求解線彈性問題的普遍公式將三角形常應變單元求解平面問題的公式推廣為下列矩陣形式的普遍公式。1.單元中任一點處的位移、應變與應力關系：

有限元法的普遍公式有限元法的普遍公式位移型有限元法求解線彈性問題的普遍公式有限元法的普遍公式有限2.單元剛度方程，單剛及其子剛陣有限元法的普遍公式有限元法的普遍公式2.單元剛度方程，單剛及其子剛陣有限元法的普遍公式有限元法3.單元載荷移置公式 集中力 體積力 表面力 變溫等效節點載荷4.結構剛度方程

上述公式適用于各種類型的單元及各種類型的問題，稱之為位移型有限元法求解線彈性靜力問題的普遍公式。有限元法的普遍公式有限元法的普遍公式3.單元載荷移置公式有限元法的普遍公式有限元法的普遍公式 1.位移函數 2.形函數

六節點三角形單元補充 1.位移函數六節點三角形單元補充位移函數的一般形式（２-１）式也可以參照帕斯卡三角形來確定位移函數與形函數位移函數的一般形式（２-１）式也可以參照帕斯卡三角形來確定位六節點三角形單元 其中為其形函數補充六節點三角形單元 其中3.幾何矩陣

代入后以得到幾何矩陣B 不同之處：4.應力矩陣 S=DB5.單元剛度 其中：

六節點三角形單元補充3.幾何矩陣六節點三角形單元補充6.等效節點載荷 應用普遍公式即可，其中形函數矩陣7.形成總體剛度方程：8.引入約束，求解：六節點三角形單元補充6.等效節點載荷六節點三角形單元補充*小結：離散、單剛、總剛、載荷列陣 解題步驟引入約束解方程，計算單元應力節點應力 應力、應變與位移關系 普遍公式單剛及子剛 載荷移置，結構剛度方程

補充*小結：補充 用有限元法進行結構應力分析時的解題步驟

對計算對象的結構形狀進行簡化

力學模型的建立（承載狀況，邊界條件）

結構離散化，確定單元的各種信息（節點的坐標及編號等）

計算程序流程圖，先計算單剛，形成總剛等。求解及有限元方程的解法有限元方程的解法 用有限元法進行結構應力分析時的解題步驟有限元方程的解法有限計算機流程有限元方程的解法有限元方程的解法 有限元分析的效率很大程度上取決于求解這個龐大的線性代數方程組且解方程組時在整個解題時間中占有很大比重。 求解先性代數方程組的方法：

直接法 是通過有限個算術運算來求出方程組的解。當方程組的階數不太高時，采用高斯消去法、三角分解法階數再高的話，可采用以這兩種方法為基礎的波前法、塊追趕法和子結構法。而當方程階數過高時，由于計算機有效位數的限制，直接法中的舍入誤差，消元中的有效位數的限制，會影響求解的精度，這時可采用迭代法。迭代法：迭代法是用某極限過程去逐步逼近真實解，如塞得爾法和超極限法。有限元方程的解法有限元方程的解法 有限元分析的效率很大程度上取決于求解這個龐高斯消去法 高斯消去法的基本思想是逐步逐次消去一個未知數，最后將原方程變成一個的等價的三角形方程，再逐個回代，單元能解出全部的未知數。 設剛度方程為：有限元方程的解法高斯消去法 高斯消去法的基本思想是逐步逐次消高斯消去法 將上式改寫成：

由于有限元法中，由于剛度矩陣為正定矩陣，即：

有限元方程的解法高斯消去法 將上式改寫成：有限元方程的解法高斯消去法因此可采用高斯消去法求解：用K11除第1式

則：故：有限元方程的解法高斯消去法因此可采用高斯消去法求解：有限元方程的解法 將上式代回2n式中有：

高斯消去法有限元方程的解法 將上式代回2n式中有：高斯消去法有限元方程的解法 原方程成為：高斯消去法有限元方程的解法 原方程成為：高斯消去法有限元方程的解法 寫成矩陣形式：

高斯消去法有限元方程的解法 寫成矩陣形式：高斯消去法有限元方程的解法高斯消去法 可以將上式改寫成：有限元方程的解法高斯消去法 可以將上式改寫成：有限元方程的解法 上式中右上標表示第一次消元，這樣K陣成為第一列元素，除對角為1外其余均化為零。 第二次消元時：對降過一階的矩陣進行同樣的化簡。 此時：

這樣做n次后，就可使矩陣K成為對角線元素均為1的三角陣。這個過程叫消元過程，其具體公式用下列公式表達：

高斯消去法有限元方程的解法 上式中右上標表示第一次消元，這樣K陣成為第一列元第一次消元：第一行元素：（j=1,2,…n）其他各行元素為： （i=2,3,…n，j=1,2,…n）高斯消去法有限元方程的解法第一次消元：第一行元素：高斯消去法有限元方程的解法高斯消去法第二次消元時：第二行元素（j=2,3,…n）

其他各行元素為（i=3,4,…n，j=2,3,…n）有限元方程的解法高斯消去法第二次消元時：第二行元素有限元方程的解法第l次消元時：第l行元素為：（j=l,l+1,…n）其他各行元素為：（i=l+1,l+2,…n，j=l,l+1,…n）高斯消去法有限元方程的解法第l次消元時：第l行元素為：高斯消去法有限元方程的解法第n次消元時：第n行元素為：高斯消去法有限元方程的解法第n次消元時：第n行元素為：高斯消去法有限元方程的解法高斯消去法至此消元過程全部結束得：有限元方程的解法高斯消去法至此消元過程全部結束得：有限元方程的解法將上式展開后有：將上式代入上一行中，就可解出，再以代入更上一行，又可以得出。依此類推，便可自下而上求出全部節點未知量。這個過程稱為回代過程。高斯消去法有限元方程的解法將上式展開后有：高斯消去法有限元方程的解法

因此高斯消去法求解方程時分 消元對角元為1的上三角陣回代對角元為1的單位陣，求節點未知量 回代過程可歸納為如下公式：

高斯消去法有限元方程的解法 因此高斯消去法求解方程時分高斯消去法有限元方程的解法三角分解法 利用三角分解，將剛陣化為三角陣K=LU的一種做法。與高斯法相比，運算量基本相同，而耗時少（程序實現）。三角分解后，一個成為上三角陣，另一個成為下三角陣，需要兩次回代即可求得方程組的解。有限元方程的解法三角分解法 利用三角分解，將剛陣化為三角陣K=LU波前法 以高斯消去法為基礎，而發展起來的解決計算容量不足的一種新方法。實施中，將生成的單元剛陣元素分批送入計算機內存，檢查有無迭加完畢的自由度，若有則對其進行消元，并送出內存，同時緊湊內存中的其他元素，送入下一批單元剛陣元素，至到最后一個元素被消元，此時消元結束。回代時按相反順序從外存讀入數據進行計算。與高斯消去法的最大差別是：高斯消去法按自由度編號順序消元與回代。而波前法則不是，是按自由度完畢迭加的先后順序消元與回代，同時使用計算機外存。有限元方程的解法波前法 以高斯消去法為基礎，而發展起來的解決計算容量塊追趕法 特殊結構適合于用此類方法，如平板葉片，縱橫網格均勻時。有限元方程的解法子結構法

由于求解復雜類型結構時，求借總剛矩陣階數高，要求計算內存量大等，則可采用子結構法。塊追趕法 特殊結構適合于用此類方法，如平板葉片，縱橫迭代法 它不是方程組的真實解，而是用某一近似值代入，逐步迭代。使近似值逐漸逼近，達到規定誤差時，取其為方程組的解。類似于牛頓迭代法。有限元方程的解法迭代法 它不是方程組的真實解，而是用某一近似值代有限元法的基本概念與求解方法2.1結構離散化與剛度矩陣2.2位移函數與形函數2.3單元剛度方程2.4載荷移置與等效節點載荷2.5結構剛度方程2.6位移邊界條件的處理2.7應力計算2.8有限元法的普遍公式2.9有限元方程組的解法有限元法的基本概念與求解方法2.1結構離散化與剛度矩陣結構離散化與剛度矩陣結構離散化：1）網格劃分將結構劃分為有限個單元；2）載荷移置將作用在結構上的非節點載荷等效地移置為節點載荷；3）簡化約束把結構邊界上的約束，用適當的節點約束代替。結構離散化與剛度矩陣結構離散化與剛度矩陣結構離散化：結構離散化與剛度矩陣有限元網格劃分原則有限元中單元的網格剖分原則１）各節點必須相連。如圖所示中（a）是正確的，而（b）是錯誤的。結構離散化與剛度矩陣有限元網格劃分原則有限元中單元的網格剖分原則結構離散化與剛度有限元網格劃分原則

信息是通過單元之間的公共節點傳遞的。分離但節點重疊的單元A和B之間沒有信息傳遞（需進行節點合并處理）具有公共節點的單元之間存在信息傳遞

.....AB...1node...AB...2nodes結構離散化與剛度矩陣有限元網格劃分原則信息是通過單元之間的公共節點傳遞的有限元網格劃分原則２）單元不能奇異，也就是單元中的邊長不能相差太大，或者有過大的鈍角或過小的銳角，如圖示：結構離散化與剛度矩陣有限元網格劃分原則２）單元不能奇異，也就是單元中的邊長不能相有限元網格劃分原則３）單元的大小、數目取決于計算精度要求和計算容量限制分網時首先滿足計算精度的要求，同時可利用結構的對稱性、循環對稱性的特點，從厚結構中取出一部分進行分析，或者對有應力集中的構件，采用疏密不同的網格剖分。也可以采用子結構法。４）同一單元內的結構，幾何特性與材料特性相同，也就是不要把厚度不同或材料不同的區域劃分在同一個單元里。結構離散化與剛度矩陣有限元網格劃分原則３）單元的大小、數目取決于計算精度要求和計網格劃分示例結構離散化與剛度矩陣網格劃分示例結構離散化與剛度矩陣結構離散化與剛度矩陣剛度矩陣描述單元特性的矩陣，表示了單元抵抗變形的能力。它由剛度系數組成，由單元節點的個數和自由數決定規模。如圖平面三角形三節點單元中，有3個節點，每個節點有2個自由度，故剛陣中的元素個數為36個。剛度系數Kij

相當于一維彈簧的剛度K的含義。即產生單位位移時需要的作用力的大小。

結構離散化與剛度矩陣結構離散化與剛度矩陣剛度矩陣結構離散化與剛度矩陣位移函數結構離散化后，要對單元進行力學特性分析，也就是確定單元節點力與節點位移之間的關系，這時就需要把單元內的任一點的位移分量表示成坐標的某種函數。這種函數就叫位移函數。位移函數與形函數位移函數結構離散化后，要對單元進行力學特性分析，也就是確位移函數的一般介紹１.定義：把單元中任一點的位移分量與坐標的函數關系叫位移函數或叫位移模式。２.選擇位移函數的原因（１）決定了單元的力學特性。（意義）（２）反映了單元的位移形態。（物理意義）（３）它是利用位移法求解問題的開始。（基礎）３.位移函數必須具備的條件（１）在節點上的值應等于節點的位移（２）所采用的函數必須保證有限元的解收斂于真實解位移函數與形函數位移函數的一般介紹１.定義：位移函數與形函數位移函數的一般形式位移函數一般為多項式形式，這樣處理是從兩方面出發的（１）進行數學運算（如微分，積分）較簡單（２）任意階次的多項式可以近似地表示精確解，其一般形式為：u=u(x,y)=1+2x+3y+4x2+5xy+6y2+…+mynv=

v(x,y)=m+1+m+2x+…+2myn（２-１）式中:,其中1…２m為待定系數。式中的也稱為廣義坐標，這種描述方式又稱為廣義坐標形式。（一維形式多項式u(x)=1+2x+３x2+…+n＋１xn）位移函數與形函數位移函數的一般形式位移函數一般為多項式形式，這樣處理是從位移函數的一般形式（２-１）式也可以參照帕斯卡三角形來確定位移函數與形函數位移函數的一般形式（２-１）式也可以參照帕斯卡三角形來確定位三節點三角形單元的位移函數１.位移函數形式就是最簡單的情況而言，可以選取位移為坐標的線性函數形式，也就是：u(x,y)=1+2x+3y

v(x,y)=4+5x+6y（２-２）對于圖中的三角形單元，為了確定（２-２）式中的待定系數16，可以將節點i，j，m的位移值及坐標值代入上式，得到方程組：ui=1+2xi+3yivi=4+5xi+6yi（i=i，j