6.5函數的極值與最大(小)值由單調性的判定法則，結合函數的圖形可知，曲線在升、降轉折點處形成“峰”、“谷”，函數在這些點處的函數值大于或小于兩側附近各點處的函數值。函數的這種性態以及這種點，無論在理論上還是在實際應用上都具有重要的意義，值得我們作一般性的討論.6.5函數的極值與最大(小)值由單調性的判1一、函數極值的定義一、函數極值的定義2定義函數的極大值與極小值統稱為極值,使函數取得極值的點稱為極值點.定義函數的極大值與極小值統稱為極值,使函數取得極值的點稱為極3二、函數極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,二、函數極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,4注①這個結論又稱為Fermat定理②如果一個可導函數在所論區間上沒有駐點則此函數沒有極值，此時導數不改變符號③不可導點也可能是極值點可疑極值點：駐點、不可導點可疑極值點是否是真正的極值點，還須進一步判明。由單調性判定法則知，若可疑極值點的左、右兩側鄰近，導數分別保持一定的符號，則問題即可得到解決。注①這個結論又稱為Fermat定理②如果一個可導函數在所論區5定理2(第一充分條件)(是極值點情形)定理2(第一充分條件)(是極值點情形)6函數的極值及最大小值課件7求極值的步驟:(不是極值點情形)求極值的步驟:(不是極值點情形)8例1解列表討論極大值極小值例1解列表討論極大值極小值9圖形如下圖形如下10列表討論如下：列表討論如下：11定理3(第二充分條件)證定理3(第二充分條件)證12例2解圖形如下例2解圖形如下13注意:注意:14例3解注意:函數的不可導點,也可能是函數的極值點.例3解注意:函數的不可導點,也可能是函數的極值點.15例4證（不易判明符號）而且是一個最大值點，例4證（不易判明符號）而且是一個最大值點，16例5設f(x)連續，且f(a)是f(x)的極值，問f

2(a)是否是f

2(x)的極值證分兩種情況討論①所以f

2(a)是f

2(x)的極小值例5設f(x)連續，且f(a)是f(x17②設f(a)是f(x)的極小值，且又f(x)在x=a處連續，且f

2(a)是f

2(x)的極大值同理可討論f(a)是f(x)的極大值的情況②設f(a)是f(x)的極小值，且又f(x18例6假定f(x)在x=x0處具有直到n階的連續導數，且證明當n為偶數時，f(x0)是f(x)的極值當n為奇數時，f(x0)不是f(x)的極值證由Taylor公式，得例6假定f(x)在x=x0處具有直到n階的連續導數，且證明當19因此存在x0的一個小鄰域，使在該鄰域內下面來考察兩種情形①n為奇數，當x漸增地經過x0時變號不變號變號不是極值因此存在x0的一個小鄰域，使在該鄰域內下面來考察兩種情形①n20②n為偶數，當x漸增地經過x0時不變號不變號不變號是極值且當時是極小值當時是極大值②n為偶數，當x漸增地經過x0時不變號不變號不變號是極值且21例4

解例4解22例5

解例523函數最大值和最小值的一般求法：(一)y=f(x)x∈[a,b](1)求出f(x)的導數f'(x)；令f'(x)=0，求出駐點；(2)求出駐點處的函數值以及端點處的函數值；(3)比較這些值的大小，其中最大的就是函數的最大值，最小的就是最小值.三.函數的最值函數最大值和最小值的一般求法：(一)y=f(x)x∈24解：(1).f(x)的定義域為(-∞，1]

，[-8，1](-∞，+1](2).(3).令f‘(x)=0，解之得駐點為

(5).比較大小得，在[-8，1]上的最大值為，最小值為-5.(4).解：(1).f(x)的定義域為(-∞，1]，[-8，1]25函數的極值及最大小值課件26例8.求函數f(x)=x2-2x+6的最值.(1).f(x)的定義域為(-∞，+∞).解：(2).f’(x)=2x-2=2(x-1)(3).令f’(x)=0，解之得駐點為x=1.當x∈(-∞，1)時，f’(x)<0,單調遞減.當x∈(1，+∞)時，f’(x)>0,單調遞增.(二)若函數在一個開區間或無窮區間(-∞，+∞)內可導，且有唯一的極值點.例8.求函數f(x)=x2-2x+6的最值.(1).f(x27

例9.在半徑為R的半圓內作內接梯形，使其底為直徑其他三邊為圓的弦，問應怎樣設計，才能使梯形的面積最大？解：(三)：解決實際問題中的最大值問題的步驟：(1).根據題意建立函數關系式.(2).確定函數的定義域..(3).求函數f(x)在給定區域上的最大值或最小值.例9.在半徑為R的半圓內作內接梯形，使其底為直徑其他三28函數的極值及最大小值課件29函數的極值及最大小值課件30函數的極值及最大小值課件311）求出函數的定義域；2）求出函數f(x)的導數f'(x)；3）令f’(x)=0,解出方程f'(x)=0的全部解，得到f(x)的全部駐點。4）列表考察f’(x)的符號，以確定該駐點是否為極值點，并由極值點求出函數的極值。求函數極值的步驟：1）求出函數的定義域；2）求出函數f(x)的導數f'(x)；32極值是函數的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點和不可導點統稱為臨界點.函數的極值必在臨界點取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)極值是函數的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于33小結最值問題的兩種類型：(1)求出給定解析式的導數f'(x)；令f'(x)=0，求出駐點；(2)求出駐點處的函數值以及端點處的函數值；(3)比較這些值的大小，其中最大的就是函數的最大值，最小的就是最大值.1.已知函數解析式及閉區間求最值.2.實際問題求最值.(1)根據題意建立函數關系式y=f(x)；(2)根據實際問題確定函數的定義域；

(3)求出函數y=f(x)的導數，令f‘(x)=0，求出駐點；若定義域為開區間且駐點只存一個，則由題意判定函數存在最大或最小值，則該駐點所對應函數值就是所求.小結最值問題的兩種類型：(1)求出給定解析式的導數f'(x)34思考題下命題正確嗎？思考題下命題正確嗎？35思考題解答不正確．例思考題解答不正確．例36在–1和1之間振蕩故命題不成立．在–1和1之間振蕩故命題不成立．376.5函數的極值與最大(小)值由單調性的判定法則，結合函數的圖形可知，曲線在升、降轉折點處形成“峰”、“谷”，函數在這些點處的函數值大于或小于兩側附近各點處的函數值。函數的這種性態以及這種點，無論在理論上還是在實際應用上都具有重要的意義，值得我們作一般性的討論.6.5函數的極值與最大(小)值由單調性的判38一、函數極值的定義一、函數極值的定義39定義函數的極大值與極小值統稱為極值,使函數取得極值的點稱為極值點.定義函數的極大值與極小值統稱為極值,使函數取得極值的點稱為極40二、函數極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,二、函數極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,41注①這個結論又稱為Fermat定理②如果一個可導函數在所論區間上沒有駐點則此函數沒有極值，此時導數不改變符號③不可導點也可能是極值點可疑極值點：駐點、不可導點可疑極值點是否是真正的極值點，還須進一步判明。由單調性判定法則知，若可疑極值點的左、右兩側鄰近，導數分別保持一定的符號，則問題即可得到解決。注①這個結論又稱為Fermat定理②如果一個可導函數在所論區42定理2(第一充分條件)(是極值點情形)定理2(第一充分條件)(是極值點情形)43函數的極值及最大小值課件44求極值的步驟:(不是極值點情形)求極值的步驟:(不是極值點情形)45例1解列表討論極大值極小值例1解列表討論極大值極小值46圖形如下圖形如下47列表討論如下：列表討論如下：48定理3(第二充分條件)證定理3(第二充分條件)證49例2解圖形如下例2解圖形如下50注意:注意:51例3解注意:函數的不可導點,也可能是函數的極值點.例3解注意:函數的不可導點,也可能是函數的極值點.52例4證（不易判明符號）而且是一個最大值點，例4證（不易判明符號）而且是一個最大值點，53例5設f(x)連續，且f(a)是f(x)的極值，問f

2(a)是否是f

2(x)的極值證分兩種情況討論①所以f

2(a)是f

2(x)的極小值例5設f(x)連續，且f(a)是f(x54②設f(a)是f(x)的極小值，且又f(x)在x=a處連續，且f

2(a)是f

2(x)的極大值同理可討論f(a)是f(x)的極大值的情況②設f(a)是f(x)的極小值，且又f(x55例6假定f(x)在x=x0處具有直到n階的連續導數，且證明當n為偶數時，f(x0)是f(x)的極值當n為奇數時，f(x0)不是f(x)的極值證由Taylor公式，得例6假定f(x)在x=x0處具有直到n階的連續導數，且證明當56因此存在x0的一個小鄰域，使在該鄰域內下面來考察兩種情形①n為奇數，當x漸增地經過x0時變號不變號變號不是極值因此存在x0的一個小鄰域，使在該鄰域內下面來考察兩種情形①n57②n為偶數，當x漸增地經過x0時不變號不變號不變號是極值且當時是極小值當時是極大值②n為偶數，當x漸增地經過x0時不變號不變號不變號是極值且58例4

解例4解59例5

解例560函數最大值和最小值的一般求法：(一)y=f(x)x∈[a,b](1)求出f(x)的導數f'(x)；令f'(x)=0，求出駐點；(2)求出駐點處的函數值以及端點處的函數值；(3)比較這些值的大小，其中最大的就是函數的最大值，最小的就是最小值.三.函數的最值函數最大值和最小值的一般求法：(一)y=f(x)x∈61解：(1).f(x)的定義域為(-∞，1]

，[-8，1](-∞，+1](2).(3).令f‘(x)=0，解之得駐點為

(5).比較大小得，在[-8，1]上的最大值為，最小值為-5.(4).解：(1).f(x)的定義域為(-∞，1]，[-8，1]62函數的極值及最大小值課件63例8.求函數f(x)=x2-2x+6的最值.(1).f(x)的定義域為(-∞，+∞).解：(2).f’(x)=2x-2=2(x-1)(3).令f’(x)=0，解之得駐點為x=1.當x∈(-∞，1)時，f’(x)<0,單調遞減.當x∈(1，+∞)時，f’(x)>0,單調遞增.(二)若函數在一個開區間或無窮區間(-∞，+∞)內可導，且有唯一的極值點.例8.求函數f(x)=x2-2x+6的最值.(1).f(x64

例9.在半徑為R的半圓內作內接梯形，使其底為直徑其他三邊為圓的弦，問應怎樣設計，才能使梯形的面積最大？解：(三)：解決實際問題中的最大值問題的步驟：(1).根據題意建立函數關系式.(2).確定函數的定義域..(3).求函數f(x)在給定區域上的最大值或最小值.例9.在半徑為R的半圓內作內接梯形，使其底為直徑其他三65函數的極值及最大小值課件66函數的極值及最大小值課件67函數的極值及最大小值課件681）求出函數的定義域；2）求出函數f(x)的導數f'(x)；3）令f’(x)=0,解出方程f'(x)=0的全部解，得到f(x)的全部駐點。4）列表考察f’(x)的