§3.1直接積分法邊界條件積分之，得通解

例3.1設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場(chǎng)。解:采用球坐標(biāo)系,分區(qū)域建立方程參考點(diǎn)電位圖體電荷分布的球形域電場(chǎng)第四章靜態(tài)場(chǎng)及邊值問題的解法§3.1直接積分法邊界條件積分之，得通解例3.1設(shè)1解得電場(chǎng)強(qiáng)度（球坐標(biāo)梯度公式）：

對(duì)于一維場(chǎng)（場(chǎng)量?jī)H僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)），只要對(duì)二階常系數(shù)微分方程積分兩次，得到通解；然后利用邊界條件求得積分常數(shù)，得到電位的解；再由得到電場(chǎng)強(qiáng)度E的分布。電位：解得2§3.2直角坐標(biāo)系中的分離變量法

分離變量法是一種最經(jīng)典的微分方程法，它適用于求解一類具有理想邊界條件的典型邊值問題。一般情況下,采用正交坐標(biāo)系可用分離變量法得出拉普拉斯方程或波動(dòng)方程的通解，而只有當(dāng)場(chǎng)域邊界與正交坐標(biāo)面重合或平行時(shí)，才可確定積分常數(shù)，得到邊值問題的解。解題的一般步驟：

根據(jù)邊界的幾何形狀和場(chǎng)的分布特征選定坐標(biāo)系，寫出對(duì)應(yīng)的邊值問題（微分方程和邊界條件）；

分離變量，將一個(gè)偏微分方程，分離成幾個(gè)常微分方程；

解常微分方程，并疊加各特解得到通解；

利用給定的邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。§3.2直角坐標(biāo)系中的分離變量法分離變量法是一種最經(jīng)3直角坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程:設(shè)，則方程變?yōu)椋荷鲜匠闪⒌奈ㄒ粭l件是三項(xiàng)中每一項(xiàng)都是常數(shù)，故可分解為下列三個(gè)方程：其中直角坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程:設(shè)，則方程變?yōu)椋荷鲜匠闪⒌奈ㄒ?以常微分方程

為例，其解的形式為：

常微分方程的解：若

為零，則

若為實(shí)數(shù)，則

若為虛數(shù)，設(shè)則

如右圖雙曲正弦曲線，通過原點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱，雙曲余弦曲線，不通過原點(diǎn)，對(duì)Y軸對(duì)稱，頂點(diǎn)（同極小點(diǎn)）：A(0,1)

以常微分方程為例，其解的形式為：5

例3.2

圖示一無限長(zhǎng)金屬槽，其三壁接地，另一壁與三壁絕緣且保持電位為，金屬槽截面為正方形（邊長(zhǎng)為a），試求金屬槽內(nèi)電位的分布。解：選定直角坐標(biāo)系（D域內(nèi)）（1）（2）（3）（4）(5）邊值問題圖接地金屬槽的截面例3.2圖示一無限長(zhǎng)金屬槽，其三壁接地，另一壁與62)分離變量代入式（1）有根據(jù)可能的取值，可有6個(gè)常微分方程：設(shè)稱為分離常數(shù),可以取值2)分離變量代入式（1）有根據(jù)可能的取值，可有6個(gè)常73）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。4）利用給定邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。

圖雙曲函數(shù)3）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。4）利用給定邊界條8d）比較系數(shù)法：當(dāng)時(shí)，（D域內(nèi)）當(dāng)時(shí)，

滿足拉普拉斯方程的通解有無數(shù)個(gè)，但滿足給定邊界條件的解是唯一的。d）比較系數(shù)法：當(dāng)時(shí)，（D域內(nèi)）當(dāng)9

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)也可定性判斷通解中能否舍去或項(xiàng)。

若，

利用sin函數(shù)的正交性來確定。等式兩端同乘，然后從

0到

a對(duì)

x積分圖接地金屬槽內(nèi)的等位線分布根據(jù)經(jīng)驗(yàn)也可定性判斷通解中能否舍去10例3.3求如圖長(zhǎng)方體積中的電位函數(shù)。邊界條件為除z＝c面電位不為零外，其他各表面的電位都為零。Z＝c表面上給定的電位函數(shù)為U（x，y）。

解：分離變量，令(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)有二個(gè)獨(dú)立的本征值。邊界條件可分解為：

X(0)=X(a)=0Y(0)=Y(b)=0

例3.3求如圖長(zhǎng)方體積中的電位函數(shù)。邊界條件為除z＝c面電位11利用齊次邊界條件求出本征值和本征函數(shù)。是待定常數(shù)，要解出使方程有非零解的值和此非零解X(x)。該邊值問題稱為常微分方程在此邊值條件下的固有值（特征值）問題。稱為該問題的固有值（特征值），X(x)稱為該問題的固有（特征）函數(shù)。利用齊次邊界條件求出本征值和本征函數(shù)。是待定常數(shù)，要解出12分三種情況討論。（1）設(shè)<0，常微分方程的通解為根據(jù)邊界條件

A＝B＝0，X(x)無非零解。不能小于零。

（2）設(shè)＝0，常微分方程的通解為代入邊界條件同樣得：A＝B＝0。X(x)無非零解。不能等于零.。（3）設(shè)>0，令＝2，常微分方程的通解為代入邊界條件,A＝0，Bsina＝0，B不能為零，否則只有零解。所以sina＝0，

分三種情況討論。（1）設(shè)<0，常微分方程的通解為根據(jù)邊界條13其中m＝1，2，……。n=1,2,………。所以固有值和固有函數(shù)分別為:所以兩方程組的解分別為:其中m＝1，2，……。n=1,2,………。所以固有值和固有14滿足部分齊次邊界條件的偏微分方程的一組特解為滿足部分齊次邊界條件的偏微分方程的一組特解為15為使解滿足所有的邊界條件，將所有特解疊加。

從已知邊界條件

根據(jù)線性齊次方程的疊加原理，通過調(diào)整系數(shù)可使(x,y,z)滿足所有邊界條件。為使解滿足所有的邊界條件，將所有特解疊加。從已知邊界條件16將U（x，y）展開成雙重傅立葉級(jí)數(shù)比較系數(shù)可得

原定解問題的解是

將U（x，y）展開成雙重傅立葉級(jí)數(shù)比較系數(shù)可得原定解問題17§3.3圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法圓柱坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程：§3.3圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法圓柱坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程：18[工學(xué)]電磁場(chǎng)與電磁波課件高教版第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問題的解法19[工學(xué)]電磁場(chǎng)與電磁波課件高教版第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問題的解法201）選定圓柱坐標(biāo),列出邊值問題（1）（2）（3）（4）(5）（6）

例3.4在均勻電場(chǎng)中，放置一根半徑為a，介電常數(shù)為的無限長(zhǎng)均勻介質(zhì)圓柱棒，它的軸線與垂直。柱外是自由空間。試求圓柱內(nèi)外電位函數(shù)和電場(chǎng)強(qiáng)度的分布。根據(jù)場(chǎng)分布的對(duì)稱性圖均勻電場(chǎng)中的介質(zhì)圓柱棒1）選定圓柱坐標(biāo),列出邊值問題（1）（2）（3）（4）(5）213）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，2）分離變量,設(shè)代入式（1）得或3）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。當(dāng)時(shí)22根據(jù)根據(jù)，比較系數(shù)得當(dāng)時(shí)，4）利用給定邊界條件確定積分常數(shù)。根據(jù)場(chǎng)分布對(duì)稱性當(dāng)時(shí)，通解中不含的奇函數(shù)項(xiàng)，根據(jù)根據(jù)，比較系數(shù)得23解之，得比較系數(shù)法：當(dāng)時(shí)，得當(dāng)時(shí)，，則最終解c）由分界面的銜接條件，得解之，得比較系數(shù)法：當(dāng)時(shí)，得當(dāng)時(shí)24

介質(zhì)柱內(nèi)的電場(chǎng)是均勻的，且與外加電場(chǎng)E0平行。因，，所以。

介質(zhì)柱外的電場(chǎng)非均勻變化，但遠(yuǎn)離介質(zhì)柱的區(qū)域，其電場(chǎng)趨近于均勻電場(chǎng)。

圖均勻外電場(chǎng)中介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電場(chǎng)介質(zhì)柱內(nèi)的電場(chǎng)是均勻的，且與外加電場(chǎng)E0平行。25§3.5鏡像法思路:

用假想的鏡像電荷代替邊界上的感應(yīng)電荷。保持求解區(qū)域中場(chǎng)方程和邊界條件不變。使用范圍：界面幾何形狀較規(guī)范，電荷個(gè)數(shù)有限，且離散分布于有限區(qū)域。步驟:確定鏡像電荷的大小和位置。去掉界面，按原電荷和鏡像電荷求解所求區(qū)域場(chǎng)。求解邊界上的感應(yīng)電荷。求解電場(chǎng)力。§3.5鏡像法思路:261、點(diǎn)電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像當(dāng)電荷附近存在著導(dǎo)體面或介質(zhì)面時(shí),利用分離變量法直接求解拉普拉斯或泊松方程比較困難,當(dāng)導(dǎo)體面或介質(zhì)面的形狀比較特殊時(shí),往往可以將導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷或介質(zhì)面上的極化電荷用假想的電荷(鏡像電荷)來代替并用來計(jì)算電位分布.關(guān)鍵是要確定鏡像電荷的位置、大小和符號(hào)，使場(chǎng)量原來所滿足的方程及及其邊界條件保持不變。若能做到這一點(diǎn)，則根據(jù)靜電場(chǎng)唯一性定理，用鏡像法求出的解就成為所要求的場(chǎng)的唯一解。我們無法對(duì)任何形狀的導(dǎo)體面或介質(zhì)面,找出其鏡像電荷,事實(shí)上只能一些特殊幾何形狀的導(dǎo)體面或介質(zhì)面才能做到這一點(diǎn)。1、點(diǎn)電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像當(dāng)電荷附近存在著導(dǎo)體面或介27如右圖,在無限大接地導(dǎo)體平面（YOZ平面）上方有一點(diǎn)電荷q，距離導(dǎo)體平面的高度為h。用鏡像電荷-q代替導(dǎo)體平面上方的感應(yīng)電荷無限大接地導(dǎo)體平面上方有點(diǎn)電荷q

分析:用位于導(dǎo)體平面下方h處的鏡像電荷-q代替導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷，邊界條件維持不變，即YOZ平面為零電位面。去掉導(dǎo)體平面，用原電荷和鏡像電荷求解導(dǎo)體上方區(qū)域場(chǎng)，注意不能用原電荷和鏡像電荷求解導(dǎo)體下方區(qū)域場(chǎng)。如右圖,在無限大接地導(dǎo)體平面（YOZ平面）上方有一點(diǎn)電荷q，28[工學(xué)]電磁場(chǎng)與電磁波課件高教版第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問題的解法292.點(diǎn)電荷關(guān)于導(dǎo)體球面鏡像設(shè)在點(diǎn)電荷附近有一接地導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球外空間的電位及電場(chǎng)分布。1)邊值問題：（除q點(diǎn)外的導(dǎo)體球外空間)圖1.7.3點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像2.點(diǎn)電荷關(guān)于導(dǎo)體球面鏡像設(shè)在點(diǎn)電荷附近有一接地導(dǎo)體球，30由疊加原理，接地導(dǎo)體球外任一點(diǎn)P的電位與電場(chǎng)分別為圖點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖

鏡像電荷不能放在當(dāng)前求解的場(chǎng)域內(nèi)。鏡像電荷等于負(fù)的感應(yīng)電荷圖1.7.4接地導(dǎo)體球外的電場(chǎng)計(jì)算由疊加原理，接地導(dǎo)體球外任一點(diǎn)P的電位與電場(chǎng)分別為圖點(diǎn)31例設(shè)有一點(diǎn)電荷q置于相交成直角的兩個(gè)半無限大導(dǎo)電平板之前，試分析如何求解這一電場(chǎng)。解：設(shè)想將導(dǎo)電板撤出，使整個(gè)空間充滿介電常數(shù)為的介質(zhì)。在如圖所示的位置上，放入三個(gè)鏡像電荷。這樣能保證原電場(chǎng)的邊界條件不變。

3、點(diǎn)電荷關(guān)于無限大相交導(dǎo)體平面的鏡像例設(shè)有一點(diǎn)電荷q置于相交成直角的兩個(gè)半無限大導(dǎo)電平板之前，32原問題中的電場(chǎng)可看成由此四個(gè)電荷產(chǎn)生。注意：這種方法只能用來求第一象限的電場(chǎng)。。

對(duì)于夾角為的兩個(gè)相連無限大導(dǎo)電平板間置有點(diǎn)電荷的問題，只要n為整數(shù)，在區(qū)域內(nèi)，可用鏡像法解決。原問題中的電場(chǎng)可看成由此四個(gè)電荷產(chǎn)生。注意：這種方法只能用來334.點(diǎn)電荷關(guān)于無限大介質(zhì)分平面的鏡像邊值問題：(下半空間)(除q點(diǎn)外的上半空間)圖點(diǎn)電荷對(duì)無限大介質(zhì)分界面的鏡像和4.點(diǎn)電荷關(guān)于無限大介質(zhì)分平面的鏡像邊值問題：(下半空間)34解：

（1）線電荷l1在空間產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)任取Q點(diǎn)作為參考點(diǎn)，則線電荷l1在空間一點(diǎn)電位例:半徑為a的接地導(dǎo)體圓柱外由一條和它平行的線電荷，密度為l1，與圓柱相距為d1。求空間電位函數(shù)。

5.線電荷關(guān)于無限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體的鏡像例:半徑為a的接地導(dǎo)體圓柱外由一條和它平行的線電荷，密度為35（2）設(shè)l1的鏡像電荷l2在原點(diǎn)與l1的垂直連線上，與圓柱軸線距離的d2＝a2/d1

圓柱接地，在通過P2的直徑與圓周的兩交點(diǎn)上的電位為零。

代入d2＝a2/d1

可得（2）設(shè)l1的鏡像電荷l2在原點(diǎn)與l1的垂直連線上，36鏡像電荷與原像電荷線密度大小相等，型號(hào)相反。

空間一點(diǎn)的電位

鏡像電荷與原像電荷線密度大小相等，型號(hào)相反。空間一點(diǎn)的電位37（3）如果圓柱不接地，則應(yīng)在軸線上加＋pl1，以保持原邊界條件（圓柱上凈電荷為零，圓柱面為等位面）。

（4）如果圓柱不接地且線電荷密度為－pl1，此時(shí)相當(dāng)于在（3）的基礎(chǔ)上，再在軸線上加線電荷密度為－pl1，與（2）情況相同。

（3）如果圓柱不接地，則應(yīng)在軸線上加＋pl1，以保持原邊界條38當(dāng)r1/r2＝k為常數(shù)時(shí)，為常數(shù)，等位面是偏心圓柱面族。圖表示線電荷pl1和其鏡像pl2形成的電力線和等位面圖當(dāng)r1/r2＝k為常數(shù)時(shí)，為常數(shù)，等位面是偏心圓柱面族。39如果取k＝1的面為零電位面，則圓柱面是等位面中的一個(gè)。在圓柱之外此圖描述了帶單位長(zhǎng)度電荷－pl1的導(dǎo)電圓柱和線電荷pl1共同形成的電場(chǎng)。鏡像線電荷可看成是導(dǎo)體圓柱上電荷的對(duì)外作用中心線，稱為等效電軸。同理將圖中右側(cè)的某一等位面用導(dǎo)體圓柱代替，不會(huì)影響柱外的電位和電場(chǎng)分布，只要導(dǎo)體圓柱帶有單位長(zhǎng)度電荷pl1。原來線電荷pl1的位置可看成是該導(dǎo)體圓柱的電軸。

如果取k＝1的面為零電位面，則40當(dāng)場(chǎng)域邊界的幾何形狀比較復(fù)雜時(shí)，很難用解析法進(jìn)行分析。應(yīng)采用數(shù)值計(jì)算法。有限差分法將連續(xù)場(chǎng)域內(nèi)的問題轉(zhuǎn)化為離散系統(tǒng)的問題，通過離散化模型上各離散點(diǎn)的數(shù)值解來逼近連續(xù)場(chǎng)域內(nèi)的真實(shí)解。1．差分原理設(shè)有一函數(shù)f(x)，當(dāng)獨(dú)立變量x有一微小增量x＝h，相應(yīng)f(x)的增量為：f(x)=f(x+h)-f(x),稱為函數(shù)f(x)的差分。不同于增量為無限小的微分，差分被稱為有限差分。當(dāng)h很小時(shí)，f(x)df(x).§3.5有限差分法當(dāng)場(chǎng)域邊界的幾何形狀比較復(fù)雜時(shí)，很難用解析法進(jìn)行分析。應(yīng)采用41中心差分f(x)=f(x+h/2)-f(x-h/2)一階差商：二階差商偏導(dǎo)數(shù)也可用差商近似表示。因而偏微分方程可表示為差分方程（代數(shù)方程）。

中心差分f(x)=f(x+h/2)-f(x-h/2)一階差422．以二維場(chǎng)為例，將邊值問題轉(zhuǎn)化為一組差分方程組（代數(shù)方程組）。設(shè)邊值問題是(1)決定離散點(diǎn)的分布方式。按正方網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格邊長(zhǎng)（步長(zhǎng)）h，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱結(jié)點(diǎn)。設(shè)結(jié)點(diǎn)O上的電位為(xo,yo)=o,結(jié)點(diǎn)1，2，3，4上的電位為1，2，3，4。2．以二維場(chǎng)為例，將邊值問題轉(zhuǎn)化為一組差分方程組（代數(shù)方程組43任一點(diǎn)x的電位考慮1，3兩點(diǎn)x1=xo+h,x3=xo-h任一點(diǎn)x的電位考慮1，3兩點(diǎn)x1=xo+h,x3=xo-h44[工學(xué)]電磁場(chǎng)與電磁波課件高教版第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問題的解法45邊界條件也可進(jìn)行離散化處理，對(duì)第一類邊值，可直接把點(diǎn)函數(shù)f(s)的值賦予各邊界結(jié)點(diǎn)。3．差分方程的解法設(shè)將場(chǎng)域劃分如圖.邊界上的值分別為f1,………f16。在各內(nèi)點(diǎn)上作出差分，泊松方程變成下列差分方程組邊界條件也可進(jìn)行離散化處理，對(duì)第一類邊值，可直接把點(diǎn)函數(shù)f(46[工學(xué)]電磁場(chǎng)與電磁波課件高教版第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問題的解法47解出關(guān)于1，2…..9的代數(shù)聯(lián)立方程組，即可求出各點(diǎn)的函數(shù)值。算法簡(jiǎn)單迭代法，以解拉普拉斯方程為例。（1）設(shè)定內(nèi)點(diǎn)初值，用計(jì)算機(jī)解題時(shí)，可都取零值。（2）按一固定順序(從左到右，從下到上)依次利用解出關(guān)于1，2…..9的代數(shù)聯(lián)立方程組，即可求出各點(diǎn)48計(jì)算內(nèi)點(diǎn)o點(diǎn)的新值。即o點(diǎn)的新值就是圍繞該點(diǎn)的4個(gè)點(diǎn)的電位的平均值。計(jì)算內(nèi)點(diǎn)o點(diǎn)的新值。即o點(diǎn)的新值就是圍繞該點(diǎn)的4個(gè)點(diǎn)的電位的49如（j，k）點(diǎn)在第n＋1次迭代時(shí)按下式計(jì)算：當(dāng)所有的內(nèi)點(diǎn)都計(jì)算完后，用他們的新值代替舊值，完成一次迭代。再進(jìn)行下一次迭代。直到每一點(diǎn)計(jì)算得到的新值與舊值之差小于指定的范圍。這種方法的特點(diǎn)是用前一次迭代的得到的結(jié)點(diǎn)電位作為下一次迭代時(shí)的初值。如（j，k）點(diǎn)在第n＋1次迭代時(shí)按下式計(jì)算：當(dāng)所有的內(nèi)點(diǎn)都計(jì)50超松弛法簡(jiǎn)單迭代法收斂慢。超松弛法的改進(jìn)：（1）

即計(jì)算（j，k）點(diǎn)時(shí)，左邊點(diǎn)（j-1,k）和下面點(diǎn)（j，k-1）用的是新值。這種迭代方法稱為高斯賽德爾迭代法。

（2）將上式寫成增量的形式，引進(jìn)加速收斂因子，在1－2之間。超松弛法（1）即計(jì)算（j，k）點(diǎn)時(shí)，左邊點(diǎn)（j-1,k）和51加速解的收斂。2時(shí)，迭代過程將發(fā)散。

最佳收斂因子0的取值隨問題而異。對(duì)第一類邊值問題，正方形場(chǎng)域，網(wǎng)格按正方形劃分，每邊結(jié)點(diǎn)數(shù)p＋1，則

加速解的收斂。2時(shí)，迭代過程將發(fā)散。最佳收斂因子0的52一長(zhǎng)直接地金屬槽截面如圖。其側(cè)壁與底面的電位均為零，而頂蓋電位4＝100。求槽內(nèi)電位分布。

例解：二維場(chǎng)第一類邊值問題。將二維場(chǎng)域劃分成正方形網(wǎng)格，步距h＝a/4。場(chǎng)域內(nèi)任一點(diǎn)電位應(yīng)滿足二維拉普拉斯方程的差分計(jì)算格式。一長(zhǎng)直接地金屬槽截面如圖。其側(cè)壁與底面的電位均為零，而頂蓋電53采用超松弛迭代方法。迭代公式按

可算得＝1.17,所有內(nèi)點(diǎn)從零值初始值開始迭代求解。本題第一類邊值，結(jié)點(diǎn)與邊界重合，所有網(wǎng)格點(diǎn)迭代前的初值如圖。采用超松弛迭代方法。迭代公式按可算54迭代次數(shù)N分別為1，2，3，4時(shí)各網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)的數(shù)值解如圖。

迭代次數(shù)N分別為1，2，3，4時(shí)各網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)的數(shù)值解如圖。55若規(guī)定各網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)相鄰兩次迭代值的絕對(duì)誤差應(yīng)小于10－5，得到各內(nèi)點(diǎn)的電位數(shù)值解如圖。此時(shí)N＝13。從結(jié)果看電位分布關(guān)于y軸有對(duì)稱性。實(shí)際計(jì)算可只一半?yún)^(qū)域，而將網(wǎng)格劃分得更細(xì)。以得到更理想到數(shù)值解。若規(guī)定各網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)相鄰兩次迭代值的絕對(duì)誤差應(yīng)小于10－5，得到56§3.1直接積分法邊界條件積分之，得通解

例3.1設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場(chǎng)。解:采用球坐標(biāo)系,分區(qū)域建立方程參考點(diǎn)電位圖體電荷分布的球形域電場(chǎng)第四章靜態(tài)場(chǎng)及邊值問題的解法§3.1直接積分法邊界條件積分之，得通解例3.1設(shè)57解得電場(chǎng)強(qiáng)度（球坐標(biāo)梯度公式）：

對(duì)于一維場(chǎng)（場(chǎng)量?jī)H僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)），只要對(duì)二階常系數(shù)微分方程積分兩次，得到通解；然后利用邊界條件求得積分常數(shù)，得到電位的解；再由得到電場(chǎng)強(qiáng)度E的分布。電位：解得58§3.2直角坐標(biāo)系中的分離變量法

分離變量法是一種最經(jīng)典的微分方程法，它適用于求解一類具有理想邊界條件的典型邊值問題。一般情況下,采用正交坐標(biāo)系可用分離變量法得出拉普拉斯方程或波動(dòng)方程的通解，而只有當(dāng)場(chǎng)域邊界與正交坐標(biāo)面重合或平行時(shí)，才可確定積分常數(shù)，得到邊值問題的解。解題的一般步驟：

根據(jù)邊界的幾何形狀和場(chǎng)的分布特征選定坐標(biāo)系，寫出對(duì)應(yīng)的邊值問題（微分方程和邊界條件）；

分離變量，將一個(gè)偏微分方程，分離成幾個(gè)常微分方程；

解常微分方程，并疊加各特解得到通解；

利用給定的邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。§3.2直角坐標(biāo)系中的分離變量法分離變量法是一種最經(jīng)59直角坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程:設(shè)，則方程變?yōu)椋荷鲜匠闪⒌奈ㄒ粭l件是三項(xiàng)中每一項(xiàng)都是常數(shù)，故可分解為下列三個(gè)方程：其中直角坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程:設(shè)，則方程變?yōu)椋荷鲜匠闪⒌奈ㄒ?0以常微分方程

為例，其解的形式為：

常微分方程的解：若

為零，則

若為實(shí)數(shù)，則

若為虛數(shù)，設(shè)則

如右圖雙曲正弦曲線，通過原點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱，雙曲余弦曲線，不通過原點(diǎn)，對(duì)Y軸對(duì)稱，頂點(diǎn)（同極小點(diǎn)）：A(0,1)

以常微分方程為例，其解的形式為：61

例3.2

圖示一無限長(zhǎng)金屬槽，其三壁接地，另一壁與三壁絕緣且保持電位為，金屬槽截面為正方形（邊長(zhǎng)為a），試求金屬槽內(nèi)電位的分布。解：選定直角坐標(biāo)系（D域內(nèi)）（1）（2）（3）（4）(5）邊值問題圖接地金屬槽的截面例3.2圖示一無限長(zhǎng)金屬槽，其三壁接地，另一壁與622)分離變量代入式（1）有根據(jù)可能的取值，可有6個(gè)常微分方程：設(shè)稱為分離常數(shù),可以取值2)分離變量代入式（1）有根據(jù)可能的取值，可有6個(gè)常633）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。4）利用給定邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。

圖雙曲函數(shù)3）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。4）利用給定邊界條64d）比較系數(shù)法：當(dāng)時(shí)，（D域內(nèi)）當(dāng)時(shí)，

滿足拉普拉斯方程的通解有無數(shù)個(gè)，但滿足給定邊界條件的解是唯一的。d）比較系數(shù)法：當(dāng)時(shí)，（D域內(nèi)）當(dāng)65

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)也可定性判斷通解中能否舍去或項(xiàng)。

若，

利用sin函數(shù)的正交性來確定。等式兩端同乘，然后從

0到

a對(duì)

x積分圖接地金屬槽內(nèi)的等位線分布根據(jù)經(jīng)驗(yàn)也可定性判斷通解中能否舍去66例3.3求如圖長(zhǎng)方體積中的電位函數(shù)。邊界條件為除z＝c面電位不為零外，其他各表面的電位都為零。Z＝c表面上給定的電位函數(shù)為U（x，y）。

解：分離變量，令(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)有二個(gè)獨(dú)立的本征值。邊界條件可分解為：

X(0)=X(a)=0Y(0)=Y(b)=0

例3.3求如圖長(zhǎng)方體積中的電位函數(shù)。邊界條件為除z＝c面電位67利用齊次邊界條件求出本征值和本征函數(shù)。是待定常數(shù)，要解出使方程有非零解的值和此非零解X(x)。該邊值問題稱為常微分方程在此邊值條件下的固有值（特征值）問題。稱為該問題的固有值（特征值），X(x)稱為該問題的固有（特征）函數(shù)。利用齊次邊界條件求出本征值和本征函數(shù)。是待定常數(shù)，要解出68分三種情況討論。（1）設(shè)<0，常微分方程的通解為根據(jù)邊界條件

A＝B＝0，X(x)無非零解。不能小于零。

（2）設(shè)＝0，常微分方程的通解為代入邊界條件同樣得：A＝B＝0。X(x)無非零解。不能等于零.。（3）設(shè)>0，令＝2，常微分方程的通解為代入邊界條件,A＝0，Bsina＝0，B不能為零，否則只有零解。所以sina＝0，

分三種情況討論。（1）設(shè)<0，常微分方程的通解為根據(jù)邊界條69其中m＝1，2，……。n=1,2,………。所以固有值和固有函數(shù)分別為:所以兩方程組的解分別為:其中m＝1，2，……。n=1,2,………。所以固有值和固有70滿足部分齊次邊界條件的偏微分方程的一組特解為滿足部分齊次邊界條件的偏微分方程的一組特解為71為使解滿足所有的邊界條件，將所有特解疊加。

從已知邊界條件

根據(jù)線性齊次方程的疊加原理，通過調(diào)整系數(shù)可使(x,y,z)滿足所有邊界條件。為使解滿足所有的邊界條件，將所有特解疊加。從已知邊界條件72將U（x，y）展開成雙重傅立葉級(jí)數(shù)比較系數(shù)可得

原定解問題的解是

將U（x，y）展開成雙重傅立葉級(jí)數(shù)比較系數(shù)可得原定解問題73§3.3圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法圓柱坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程：§3.3圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法圓柱坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程：74[工學(xué)]電磁場(chǎng)與電磁波課件高教版第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問題的解法75[工學(xué)]電磁場(chǎng)與電磁波課件高教版第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問題的解法761）選定圓柱坐標(biāo),列出邊值問題（1）（2）（3）（4）(5）（6）

例3.4在均勻電場(chǎng)中，放置一根半徑為a，介電常數(shù)為的無限長(zhǎng)均勻介質(zhì)圓柱棒，它的軸線與垂直。柱外是自由空間。試求圓柱內(nèi)外電位函數(shù)和電場(chǎng)強(qiáng)度的分布。根據(jù)場(chǎng)分布的對(duì)稱性圖均勻電場(chǎng)中的介質(zhì)圓柱棒1）選定圓柱坐標(biāo),列出邊值問題（1）（2）（3）（4）(5）773）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，2）分離變量,設(shè)代入式（1）得或3）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。當(dāng)時(shí)78根據(jù)根據(jù)，比較系數(shù)得當(dāng)時(shí)，4）利用給定邊界條件確定積分常數(shù)。根據(jù)場(chǎng)分布對(duì)稱性當(dāng)時(shí)，通解中不含的奇函數(shù)項(xiàng)，根據(jù)根據(jù)，比較系數(shù)得79解之，得比較系數(shù)法：當(dāng)時(shí)，得當(dāng)時(shí)，，則最終解c）由分界面的銜接條件，得解之，得比較系數(shù)法：當(dāng)時(shí)，得當(dāng)時(shí)80

介質(zhì)柱內(nèi)的電場(chǎng)是均勻的，且與外加電場(chǎng)E0平行。因，，所以。

介質(zhì)柱外的電場(chǎng)非均勻變化，但遠(yuǎn)離介質(zhì)柱的區(qū)域，其電場(chǎng)趨近于均勻電場(chǎng)。

圖均勻外電場(chǎng)中介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電場(chǎng)介質(zhì)柱內(nèi)的電場(chǎng)是均勻的，且與外加電場(chǎng)E0平行。81§3.5鏡像法思路:

用假想的鏡像電荷代替邊界上的感應(yīng)電荷。保持求解區(qū)域中場(chǎng)方程和邊界條件不變。使用范圍：界面幾何形狀較規(guī)范，電荷個(gè)數(shù)有限，且離散分布于有限區(qū)域。步驟:確定鏡像電荷的大小和位置。去掉界面，按原電荷和鏡像電荷求解所求區(qū)域場(chǎng)。求解邊界上的感應(yīng)電荷。求解電場(chǎng)力。§3.5鏡像法思路:821、點(diǎn)電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像當(dāng)電荷附近存在著導(dǎo)體面或介質(zhì)面時(shí),利用分離變量法直接求解拉普拉斯或泊松方程比較困難,當(dāng)導(dǎo)體面或介質(zhì)面的形狀比較特殊時(shí),往往可以將導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷或介質(zhì)面上的極化電荷用假想的電荷(鏡像電荷)來代替并用來計(jì)算電位分布.關(guān)鍵是要確定鏡像電荷的位置、大小和符號(hào)，使場(chǎng)量原來所滿足的方程及及其邊界條件保持不變。若能做到這一點(diǎn)，則根據(jù)靜電場(chǎng)唯一性定理，用鏡像法求出的解就成為所要求的場(chǎng)的唯一解。我們無法對(duì)任何形狀的導(dǎo)體面或介質(zhì)面,找出其鏡像電荷,事實(shí)上只能一些特殊幾何形狀的導(dǎo)體面或介質(zhì)面才能做到這一點(diǎn)。1、點(diǎn)電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像當(dāng)電荷附近存在著導(dǎo)體面或介83如右圖,在無限大接地導(dǎo)體平面（YOZ平面）上方有一點(diǎn)電荷q，距離導(dǎo)體平面的高度為h。用鏡像電荷-q代替導(dǎo)體平面上方的感應(yīng)電荷無限大接地導(dǎo)體平面上方有點(diǎn)電荷q

分析:用位于導(dǎo)體平面下方h處的鏡像電荷-q代替導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷，邊界條件維持不變，即YOZ平面為零電位面。去掉導(dǎo)體平面，用原電荷和鏡像電荷求解導(dǎo)體上方區(qū)域場(chǎng)，注意不能用原電荷和鏡像電荷求解導(dǎo)體下方區(qū)域場(chǎng)。如右圖,在無限大接地導(dǎo)體平面（YOZ平面）上方有一點(diǎn)電荷q，84[工學(xué)]電磁場(chǎng)與電磁波課件高教版第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問題的解法852.點(diǎn)電荷關(guān)于導(dǎo)體球面鏡像設(shè)在點(diǎn)電荷附近有一接地導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球外空間的電位及電場(chǎng)分布。1)邊值問題：（除q點(diǎn)外的導(dǎo)體球外空間)圖1.7.3點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像2.點(diǎn)電荷關(guān)于導(dǎo)體球面鏡像設(shè)在點(diǎn)電荷附近有一接地導(dǎo)體球，86由疊加原理，接地導(dǎo)體球外任一點(diǎn)P的電位與電場(chǎng)分別為圖點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖

鏡像電荷不能放在當(dāng)前求解的場(chǎng)域內(nèi)。鏡像電荷等于負(fù)的感應(yīng)電荷圖1.7.4接地導(dǎo)體球外的電場(chǎng)計(jì)算由疊加原理，接地導(dǎo)體球外任一點(diǎn)P的電位與電場(chǎng)分別為圖點(diǎn)87例設(shè)有一點(diǎn)電荷q置于相交成直角的兩個(gè)半無限大導(dǎo)電平板之前，試分析如何求解這一電場(chǎng)。解：設(shè)想將導(dǎo)電板撤出，使整個(gè)空間充滿介電常數(shù)為的介質(zhì)。在如圖所示的位置上，放入三個(gè)鏡像電荷。這樣能保證原電場(chǎng)的邊界條件不變。

3、點(diǎn)電荷關(guān)于無限大相交導(dǎo)體平面的鏡像例設(shè)有一點(diǎn)電荷q置于相交成直角的兩個(gè)半無限大導(dǎo)電平板之前，88原問題中的電場(chǎng)可看成由此四個(gè)電荷產(chǎn)生。注意：這種方法只能用來求第一象限的電場(chǎng)。。

對(duì)于夾角為的兩個(gè)相連無限大導(dǎo)電平板間置有點(diǎn)電荷的問題，只要n為整數(shù)，在區(qū)域內(nèi)，可用鏡像法解決。原問題中的電場(chǎng)可看成由此四個(gè)電荷產(chǎn)生。注意：這種方法只能用來894.點(diǎn)電荷關(guān)于無限大介質(zhì)分平面的鏡像邊值問題：(下半空間)(除q點(diǎn)外的上半空間)圖點(diǎn)電荷對(duì)無限大介質(zhì)分界面的鏡像和4.點(diǎn)電荷關(guān)于無限大介質(zhì)分平面的鏡像邊值問題：(下半空間)90解：

（1）線電荷l1在空間產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)任取Q點(diǎn)作為參考點(diǎn)，則線電荷l1在空間一點(diǎn)電位例:半徑為a的接地導(dǎo)體圓柱外由一條和它平行的線電荷，密度為l1，與圓柱相距為d1。求空間電位函數(shù)。

5.線電荷關(guān)于無限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體的鏡像例:半徑為a的接地導(dǎo)體圓柱外由一條和它平行的線電荷，密度為91（2）設(shè)l1的鏡像電荷l2在原點(diǎn)與l1的垂直連線上，與圓柱軸線距離的d2＝a2/d1

圓柱接地，在通過P2的直徑與圓周的兩交點(diǎn)上的電位為零。

代入d2＝a2/d1

可得（2）設(shè)l1的鏡像電荷l2在原點(diǎn)與l1的垂直連線上，92鏡像電荷與原像電荷線密度大小相等，型號(hào)相反。

空間一點(diǎn)的電位

鏡像電荷與原像電荷線密度大小相等，型號(hào)相反。空間一點(diǎn)的電位93（3）如果圓柱不接地，則應(yīng)在軸線上加＋pl1，以保持原邊界條件（圓柱上凈電荷為零，圓柱面為等位面）。

（4）如果圓柱不接地且線電荷密度為－pl1，此時(shí)相當(dāng)于在（3）的基礎(chǔ)上，再在軸線上加線電荷密度為－pl1，與（2）情況相同。

（3）如果圓柱不接地，則應(yīng)在軸線上加＋pl1，以保持原邊界條94當(dāng)r1/r2＝k為常數(shù)時(shí)，為常數(shù)，等位面是偏心圓柱面族。圖表示線電荷pl1和其鏡像pl2形成的電力線和等位面圖當(dāng)r1/r2＝k為常數(shù)時(shí)，為常數(shù)，等位面是偏心圓柱面族。95如果取k＝1的面為零電位面，則圓柱面是等位面中的一個(gè)。在圓柱之外此圖描述了帶單位長(zhǎng)度電荷－pl1的導(dǎo)電圓柱和線電荷pl1共同形成的電場(chǎng)。鏡像線電荷可看成是導(dǎo)體圓柱上電荷的對(duì)外作用中心線，稱為等效電軸。同理將圖中右側(cè)的某一等位面用導(dǎo)體圓柱代替，不會(huì)影響柱外的電位和電場(chǎng)分布，只要導(dǎo)體圓柱帶有單位長(zhǎng)度電荷pl1。原來線電荷pl1的位置可看成是該導(dǎo)體圓柱的電軸。

如果取k＝1的面為零電位面，則96當(dāng)場(chǎng)域邊界的幾何形狀比較復(fù)雜時(shí)，很難用解析法進(jìn)行分析。應(yīng)采用數(shù)值計(jì)算法。有限差分法將連續(xù)場(chǎng)域內(nèi)的問題轉(zhuǎn)化為離散系統(tǒng)的問題，通過離散化模型上各離散點(diǎn)的數(shù)值解來逼近連續(xù)場(chǎng)域內(nèi)的真實(shí)解。1．差分原理設(shè)有一函數(shù)f(x)，當(dāng)獨(dú)立變量x有一微小增量x＝h，相應(yīng)f(x)的增量為：f(x)=f(x+h)-f(x),稱為函數(shù)f(x)的差分。不同于增量為無限小的微分，差分被稱為有限差分。當(dāng)h很小時(shí)，f(x)df(x).§3.5有限差分法當(dāng)場(chǎng)域邊界的幾何形狀比較復(fù)雜時(shí)，很難用解析法進(jìn)行分析。應(yīng)采用97中心差分f(x)=f(x+h/2)-f(x-h/2)一階差商：二階差商偏導(dǎo)數(shù)也可用差商近似表示。因而偏微分方程可表示為差分方程（代數(shù)方程）。

中心差分f(x)=f(x+h/2)-f(x-h/2)一階差982．以二維場(chǎng)為例，將邊值問題轉(zhuǎn)化為一組差分方程組（代數(shù)方程組）。設(shè)邊值問題是(1)決定離散點(diǎn)的分布方式。按正