第一章線性空間和線性變換§1線性空間§2線性變換及其矩陣表示§3內(nèi)積空間內(nèi)積空間定義§3內(nèi)積空間

設(shè)V為上的實線性空間，若，存在唯一實數(shù)與之對應(yīng)，且滿足：②對稱性：③可加性：①正定性：，且④齊次性：稱實數(shù)為與的內(nèi)積，稱為(實)內(nèi)積空間.內(nèi)積空間也稱為歐氏空間(Euclid空間).§3內(nèi)積空間常見的內(nèi)積空間例1，定義容易驗證是內(nèi)積，即是歐氏空間.例2容易驗證是內(nèi)積.給定正定矩陣，定義

可見同一線性空間可以定義多個不同的內(nèi)積§3內(nèi)積空間例3

，定義容易驗證是內(nèi)積，即為歐氏空間。§3內(nèi)積空間簡單性質(zhì)②①內(nèi)積空間的子空間仍是內(nèi)積空間；③④⑤§3內(nèi)積空間向量的長度定義

，稱為向量的長度.若，稱為單位向量.若，記，稱為的單位化向量問長度的本質(zhì)特征是什么？①正定性：②齊次性：③三角不等式：且§3內(nèi)積空間Cauchy-Schwartz不等式定理設(shè)為歐氏空間，有且線性相關(guān)。推論設(shè)為歐氏空間，有三角不等式§3內(nèi)積空間在中有Cauchy-Schwartz不等式的應(yīng)用：在中有§3內(nèi)積空間向量的正交定義則稱相互正交，記為.

設(shè)為歐氏空間，，若定理

(勾股定理)設(shè)V為歐氏空間，，若即與正交，則有§3內(nèi)積空間標準正交基定義若是正交向量組，則必線性無關(guān).若非零向量兩兩正交，則稱為正交向量組.均為單位向量，則稱為標準正交基.在歐氏空間Vn中，若=是正交向量組，

則稱為正交基；又若定理定義§3內(nèi)積空間

顯然在歐氏空間中=

是標準正交基稱為的度量矩陣.問

歐氏空間Vn中是否存在標準正交基？§3內(nèi)積空間Schmidt正交化定理歐氏空間必存在標準正交基.這種由普通基出發(fā)構(gòu)造標準正交基的方法稱為Schmidt標準正交化法.§3內(nèi)積空間Schmidt正交化過程基=§3內(nèi)積空間即標準正交基基ε=到基

=的變換矩陣是上三角矩陣.§3內(nèi)積空間例4設(shè)的基是=用Schmidt標準正交化方法求的標準正交基.§3內(nèi)積空間化簡坐標計算：ε

x①總結(jié)：設(shè)=

為Vn的基，用Schmidt正交化方法可求得標準正交基ε=.②=εR

，R為上三角陣

x

y§3內(nèi)積空間正交補空間定義有設(shè)W1，W2都是歐氏空間的子空間，若則稱W1，W2相互正交，記為，即§3內(nèi)積空間問題在中，兩平面相互垂直是否有？若直線垂直平面是否有？§3內(nèi)積空間定理若，則定義則稱互為正交補，記為設(shè)都是歐氏空間V的子空間，若稱為V的正交直和分解.定理歐氏空間Vn

的任一子空間W都有唯一的正交補.§3內(nèi)積空間正交變換定義設(shè)T是歐氏空間Vn的線性變換，若有則稱T為正交變換.§3內(nèi)積空間定理設(shè)T

是歐氏空間Vn的線性變換，則下列條件等價①T是正交變換②T保持向量長度不變，即③T將標準正交基映射為標準正交基④T

在標準正交基下的矩陣為正交陣§3內(nèi)積空間常用的正交變換定義設(shè)=是歐氏空間的標準正交基，若線性變換T在基下的矩陣為即T=，則稱T為初等旋轉(zhuǎn)變換.?

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§3內(nèi)積空間Householde變換

考慮平面直線，單位法向量試求關(guān)于的鏡像實際背景

長度一樣是正交變換§3內(nèi)積空間定義設(shè)

是單位向量，記.定義線性變換T

:稱矩陣為Householder

矩陣；

線性變換T為Householder變換.例4在中，取，.試求.§3內(nèi)積空間Householde矩陣的性質(zhì)：(Hermite陣)(酉矩陣)設(shè)T是歐氏空間Vn的線