第二章陣與矩陣的Jordan矩陣的基本概定義：設(shè)aij()(i1為數(shù)域F上的多項(xiàng)式，則

()

a1n() ()

()

()A

2n aa

()

am

()

()為多項(xiàng)式矩陣或矩陣定義A()中有一個(gè)

(r

r1

階子式(如果有的話

A()

的秩為

n

個(gè)n階

B()

A()B()B()A()EnB()稱為A()逆矩陣，記為A1()定理一個(gè)n階

定義

c乘矩陣的某一行(列 對(duì)單位述三種類型的初等變換便得相 矩陣的初等矩P(i,j),P(i(c)),P(i,j(定理

的矩陣

相當(dāng)于用相應(yīng) 初等矩陣左

() A()

n乘A() 定義如果A()經(jīng)過(guò)有限次的初等變換之后變成B()

A()

B()等價(jià)，記之B()B()定理

與B()等價(jià)的充要條件是存在兩個(gè)可矩陣P()

Q()

B()P()矩陣Smith標(biāo)準(zhǔn)形的存定理md1()

d ()d A()

dr() 其中

1,di()是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式di()di1()稱這種形式的矩陣為A()的Smith標(biāo)形d1(d2(), dr()稱

A()的不變因子例 1 A() 2將其化成Smith標(biāo)準(zhǔn)形解1

2 0A() 2 233232

0 0

3

2

3

2323

43

2 00 (A()

(

(1)2A()

(

(1)2(

(

(1)2 ( 1(

3

22 (

( (

(1)2例 3

2

2

A()423 234

A()

322 2 22 23 3 2345272 23 2 420 423 0 2 23 423000 2 320001 320001 (1)(1)2例 A()

a 將其化為Smith標(biāo)準(zhǔn)形00 00000 A() a 000(a)20000 a 000(000(a)20000 a (a)2 1 a (a)2 (a)3 1 a (a)3 1 a 000100001000 (00 a)3 01000000100(a)4A()矩陣的左上角元素a11(0A()有一個(gè)元素不能被它整除，則有B()與等價(jià)A()a11()

ai1()

g(

得B()

b11()r()a1j()

ai1()

a

aij

aij

ai1

矩陣Smith標(biāo)準(zhǔn)形的存定理md1()

d ()d A()

dr() 其中

1,di()是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式di()di1()

0次數(shù)低于1

）不能整除的所有元,有矩陣

）次數(shù)低于

得，bk可以整除的所有元bk

0

() 矩陣標(biāo)準(zhǔn)形的唯一定義

為一個(gè)

矩陣

rankA())r于任意的正整數(shù)

r

必有非零的階子式

的全部k階子式的最大

()稱為A()的

階行列式因子

rank(A())

，則行列式因子一共有rDk()

()

階子

()

Dk

1

1,Dk2

1,

1

Dk()1

Dk()1Dn()

A()例 1 A() 2

，所以D1(11 2

(21)

f() 1

3(

g()2 顯然f(g())

子式也都包含作為公因子，所另A()

3

2

()

3

D1(),D2(),

三者之間的定理：等價(jià)（相抵

矩陣有相同的各階行式因子從而有相同的秩

A()

的Smith標(biāo)準(zhǔn)形d1()

d2() A()

dr() 容易計(jì)算上面的標(biāo)準(zhǔn)形的各階行列式因子()()

d1()d1()d2()dr()d1()dr()顯然有

d1()

()2d()2

()()rd()r

()

()由于A()與上面的Smith標(biāo)準(zhǔn)形具有相各階行列式因子，所以A()子

的各階行列式D1(而,dr()d1(,dr()

A()

的Smith標(biāo)準(zhǔn)形是唯一例 求下

矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形 2 2 0 ( 0 (2) 2 解：（1）容易計(jì)算D1() D()2(1)2,

() d()1,d()(

d3()

(

1),d4()

2(

A()

(

(

2(1)2 （2）首先觀察此矩陣的元素排列規(guī)律，顯()

a)n下面

n

階行列式因子。有一

n階子式要注意，

容易計(jì)算

1從D1()

D2()

Dn1()d1()

1,d2()

,dn1()

dn()

a)n (a)n

2)4 定理

矩陣A()

B()

等價(jià)的充要條件對(duì)于任

，它們的

階行列式因子相同定 矩 等價(jià)的充要條件A()

B(B()

變因子與一般的數(shù)字矩陣一樣，我們有下面的推推

矩陣

可逆的充要條件

A()與單位矩陣等價(jià)推

矩陣

可逆的充要條件

A()可以表示成一系列初等矩陣的乘積2、初等因子和矩陣的相矩

A()

的不變因子,dr()d1(,dr()在復(fù)數(shù)域內(nèi)將它們分解成一次因式的冪的乘積d

(

)e11(

(

d

(

)e21(

(

)e2 d

(

)er1(

)er

(

其中

是互異的復(fù)數(shù)

是非負(fù)整數(shù)。為

|

，所以滿足如下關(guān),r0,r00

e2

er 定 在上式中，所以指數(shù)大于零的因(

)eij,e0,i,r,,r,j,稱為

A()

的初等因如果

矩陣

的不變因子d2d3(d4(1)

1)3(則

的初等因子

,,2,(1)2,(

1)3,(

1)2,(

1)3,(

56

矩陣A()的秩為4，其初等子為2

1)2,(

1)3,(

i)3(

的Smith標(biāo)準(zhǔn)形解：首先求

A()

的不變因d4(1)

i)3(

i)3d3

(

d2(d1從而A()的Smith標(biāo)準(zhǔn)形10001000000(000000(0000002(1)3(200000000 A() 定理n階

矩陣A()

B()等價(jià)的充條件是它們有相同的秩且有相同的初等因子定 設(shè)矩A()

B()

C() 為準(zhǔn)對(duì)角形矩陣

B()

C()

的初等子的全體

A()

的全部初等因子此定理也可推廣成如下形式定 若

矩1()

A() A()

()

At()各個(gè)初等因子的全就是

的全部初等因子例 求矩2 A() ( 12 2 的初等因子，不變因子與標(biāo)準(zhǔn)形解

A()2,

()

, (

1A3()

2 那 A() A() 2

，其初等因子為由上面的定理可

A()

的初等因子,,,

1,

A()

的秩為4

A()

的不變因子d4d2

,

因A()

A()

的Smith標(biāo)準(zhǔn)形

00000(000 ( 例 判斷下面兩個(gè)

矩陣是否等價(jià) 3 41A() 12 2 22

2

2B() 2 22 3 41A() 12 2 221

41

1

411

2

1

2

1

1 例 求下面

矩陣不變因00000043 2 例 求下列

矩陣的行列式因子與不變因 1

2 a1數(shù)字矩陣的相似與

矩陣的等定理AB是兩個(gè)n階的數(shù)字矩陣，那A與B相似的充分必要條件為它們的特征矩與等價(jià)

II定義：對(duì)于數(shù)字矩

A，我們

IA的變因子

A的不變因子

I

的初等子為

的初等因子對(duì)于任何一個(gè)數(shù)字矩陣

IA

rank(I

，于是可得下面定理：兩個(gè)同階的方

相似的充分必條件是它們有相同的初等因子定理：兩個(gè)同階的方

相似的充分必 設(shè)

，證明

n階矩aa1 Aaa B 相似（2）

階矩aa1 A與a1a1B 不相似矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)定義：

階矩 11Ji

ai為Jordan塊。設(shè)J1,J2準(zhǔn)對(duì)角形矩

,Js為Jordan塊,JsJ1 JsJJsi(ai，從而Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的初等因子,((a)n1,(a)n,( 于是可以得到下面的定定理

ACnn

A的初等因子(

)n1,(

)n2

)ns,,(，這

JAJJ1 JJsJJ 其 11Ji

ai,(i

,s),s)我們稱

是矩

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。別地，我們AA定理 可以對(duì)角化的充分必要條件AA的初等因子都是一次因式例 求矩A

1 0 4 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

解：先求A的初等因子。對(duì)I運(yùn)用初等變換可以得 I

A

(1)2(A的初等因子(1)2 A的標(biāo)準(zhǔn)形 0 J 或2 J0 例 求矩

1A3

2 6 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

解：先求出A的初等因子。對(duì)I 用初等變換可以得 I

A 6

(

的初等因子,,A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形 0 J 或 J 求Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的另法：特征矩陣秩具體操作步驟先求出該矩陣的特征多項(xiàng)式及其值其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的主對(duì)角線上都是A特征值，并且特征值i在主對(duì)角線上出的次數(shù)等于i作為特征根的重?cái)?shù)。對(duì)于每特征值 ，求出以它為主對(duì)角元的各Jordan塊的數(shù)

，首先求rank(AiI那么以為主對(duì)角元的Jordan塊的總數(shù)

n這里

Jordan塊的數(shù)目是

i為主對(duì)N(t;)rank(A

I)t1 rank(A

I

2rank(A

I)t ,N(t;,N(t;i直至滿足條

N(2;i N(i)為止

N(2;i)

N(t;i根據(jù)第二步求出的各級(jí)Jordan塊的數(shù)目就可以寫(xiě)出A的一個(gè)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形 23 23

rank(A

rank(A

I)4 rank(AI)l rank(AI)l1

塊，階數(shù)

s2階數(shù)

例 A

2 2 的Jordan解：先求

A的特征多項(xiàng)式及其特征值f()I

對(duì)于特征值1

，它

f()

的1重根現(xiàn)一次，因此J中主對(duì)角元為1的Jordan塊有一個(gè)且它為一階的對(duì)于特征值

3，先

rank(A

3I 所以rank(A 從

n

3特征值2

f()

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J的主對(duì)角線上出現(xiàn)次，因此J中主對(duì)角元3的Jordan塊只有個(gè)且它為二階的。故A的標(biāo)準(zhǔn)形 J 或3 J 例 用矩陣秩的方法求出矩 4 A 2 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形解：首先求出其特征值，顯然其特征多項(xiàng)f()

I

所以1f(的4重根，從而

AJordan標(biāo)準(zhǔn)J的主對(duì)角線上出現(xiàn)四次，面計(jì)算J中主對(duì)角元為1的Jordan塊的數(shù)目先計(jì)算rankAI)易得rank(那么中主對(duì)角元

的Jordan塊數(shù)N()

n

rank(AI

43由此立即可得其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形 A 1 例 13且有rank(2E－A)=7,rank(2E－A)2rank(2E－A)3rank(E－A)=8,rank(E－A)2=7，rank(E－A)3且有rank(2E－A)=7,rank(2E－A)2rank(2E－A)3rank(E－A)=8,rank(E－A)2=7，rank(E－A)3對(duì)

2：共3塊，階

2塊；階

3階=2的，2塊；階=3的,1對(duì)1：共2塊，階

2的,1塊；階

3階＝2的,1塊；階 J 如何求相似變換矩陣？ 設(shè)n階方陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為 ,存在可逆矩陣P使P1AP

為相似變換矩陣。對(duì)于相似變換的一般理論我們不作過(guò)多的討論，只通過(guò)體的例題說(shuō)明

P的方法例 求方 8A 6 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及其相似變換矩陣P解：首先用初等變換法求其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形I

A (A的初等因子1,(

的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形 0J 1 設(shè)所求矩陣

P1AP

，對(duì)于按列分塊記

PX1,

X2

X3于是AP

AX1,

X2

X3

AX1,

AX2

AX31 0

X1,

X2

X3 1 X1,X2,X2X3從而可

AX2

X2

AX3

X2X3整理以后可得三個(gè)線性方程(I(I(I

A)XA)X3X 0T, 可以取X1 ，但是不能簡(jiǎn)單地取X2，這是因?yàn)槿绻鸛2選取不當(dāng)會(huì)使得第三非齊次線性方程組無(wú)解。由

1,2X2

1的秩也為1

I

X2 2k2I

X2 1 1 容易看出只需令k1

就會(huì)使得述矩陣的秩為1，于 32

再由第三個(gè) 一個(gè)特解X3

，那么所求相似變換矩陣 1 PX1,X2,X3 例 求方

1 6 A1 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及其相似變換矩陣解：首先用初等變換法求其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形I

A 0 0 (A的初等因子1,(

的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形 J 再求相似變換矩陣設(shè)所求矩陣

P

P1AP

J，對(duì)按列分塊記

PX1,

X2

X3于是AP

AX1,

X2

X3

AX1,

AX2

AX3PJX1,

X2

X30 X1,

X2,X2

X3從而可AX1

X1,

AX2

X2

AX3

X2X3整理以后可得三個(gè)線性方程(I(I(I

0T, 可以取X1 ，但是不能簡(jiǎn)單地取X2，這是因?yàn)槿绻鸛2選取不當(dāng)會(huì)使得第三個(gè)齊次線性方程組無(wú)解。由

1,2應(yīng)該取X2

使得第三個(gè)非齊次方程有解，即其系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同地秩，容易計(jì)算出其系數(shù)矩陣1的秩也為1

I

X22

I

X2

1 容易看只

k1

就會(huì)使得上述增廣陣的秩為1

k1

1，于 再由第三個(gè) 一個(gè)特解X3

，那么所求相似變換矩陣 2PX1,X2,X3 0 從而

P1AP

ACnn

，則存在

階可逆矩P1AP

J1 JtJt,,tJi

為Jordan塊Cnni

2那么

2

t

2J2

tJt

iJi

i1, ,

Xi1,

Xi2

，又可,,i

Xi1AXi

Xi1

XiAXin

Xin

Xin

Xi1

是矩

的對(duì)應(yīng)于特征

i的征向量，特征向量Xi1的選取應(yīng)該保證特征量Xi2可以求出，同樣特征向

Xi

的選取

Xi3

可以求出，依此類推，線性無(wú)關(guān)

Xi1,

Xi例1對(duì)于方陣1 6 A1 求

解：首先用初等變換法求其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形 0 0 (A的初等因子1,(

的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形 J 再求相似變換矩陣

P1AP

，那A10PJ10按照前面例題的方式，容易計(jì)算1 2P 0 從

PJ10

1 2 2 3例 求解常系數(shù)線性微分方程

8x

3x

8x

2x

5x3

x

dx1dt

dx2A 6,Xx2

22

x

dt

3 3那么此方程組可表示

dtdXAX由前面的例題可知存 1 P