§4.1中值定理一、羅爾定理三、柯西中值定理二、拉格朗日中值定理§4.1中值定理一、羅爾定理三、柯西中值定理二、拉格朗一、羅爾定理設連續光滑的曲線yf(x)在端點A、B處的縱坐標相等

f

()?觀察與思考

提示

f

()0函數yf(x)滿足條件

(1)在閉區間[a

b]上連續

(2)在開區間(a

b)內可導

(3)f(a)f(b)

則至少存在一點(a

b)

使得f

()0

一、羅爾定理設連續光滑的曲線yf(x)在端點A費馬(fermat)引理且存在證:

設則證畢費馬(fermat)引理且存在證:設則證畢羅爾（Rolle）定理滿足:(1)在區間[a,b]上連續(2)在區間(a,b)內可導(3)

f(a)=f(b)使證:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=

m,則因此在(a,b)內至少存在一點羅爾（Rolle）定理滿足:(1)在區間[a,b若M>m,則M和m中至少有一個與端點值不等,不妨設則至少存在一點使注意:1)定理條件條件不全具備,結論不一定成立.例如,則由費馬引理得若M>m,則M和m中至少有一個與端點值不等

解

因此在(1,2)內至少存在一點1

使f

(1)0

1是f

(x)的一個實根

在(2,3)內至少存在一點2

使f

(2)0

2也是f

(x)的一個實根

f

(x)是二次多項式只能有兩個實根分別在區間(1,2)及(2,3)內

例2

不求導數判斷函數f(x)(x1)(x2)(x3)的導數有幾個實根以及其所在范圍

f(1)f(2)f(3)0

所以f(x)在[1,2][2,3]上滿足羅爾定理的三個條件

因為f(x)是連續且可導的函數并且解因此在(1,2)內至二、拉格朗日中值定理觀察與思考設連續光滑的曲線yf(x)在端點A、B處的縱坐標不相等

直線AB的斜率k?

f

()?提示

直線AB的斜率二、拉格朗日中值定理觀察與思考直線AB的斜率k?二、拉格朗日中值定理(1)在區間[a,b]上連續滿足:(2)在區間(a,b)內可導至少存在一點使思路:利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數作輔助函數顯然,在[a,b]上連續,在(a,b)內可導,且證:問題轉化為證由羅爾定理知至少存在一點即定理結論成立.證畢二、拉格朗日中值定理(1)在區間[a,b]上連拉格朗日中值定理如果函數f(x)滿足條件

(1)在閉區間[a

b]上連續

(2)在開區間(a

b)內可導則至少存在一點(a

b)內使得或f(b)f(a)f

()(ba)

拉格朗日公式

因為介于a與b之間所以可表示成

a(ba)(01)

從而拉格朗日公式也可改寫成

f(b)f(a)f

[a(ba)](ba)(01)

拉格朗日中值定理或f(b)

證

例3

證明不等式

arctanx2arctanx1x2x1(x1x2)

設f(x)arctanx

f(x)在[x1,x2]上滿足拉格朗日定理的條件因此有arctanx2arctanx1x2x1

證例3證明不等式例4.證明不等式證:

設中值定理條件,即因為故因此應有例4.證明不等式證:設中值定理條件,即因為故因此應有推論1如果函數f(x)在區間(a,b)內任意一點的導數f

(x)都為零那么f(x)在區間(a,b)內是一個常數

這是因為對于任意x(a

b)及定點x0(a

b)

有其中介于x與x0之間

f(x)f(x0)f

()(xx0)f(x0)

f(x)0推論1這是因為對于任意x(a推論1如果函數f(x)在區間(a,b)內任意一點的導數f

(x)都為零那么f(x)在區間(a,b)內是一個常數

推論2

如果函數f(x)與g(x)在區間(a,b)內每一點的導數f

(x)與g(x)都相等則這兩個函數在區間(a,b)內至多相差一個常數

這是因為在區間(a,b)內任意一點有

[f(x)g(x)]f

(x)g(x)0

根據推論1

函數f(x)g(x)在區間(a,b)內是一個常數

f(x)g(x)c或f(x)g(x)c其中c為某一常數推論1推論2這是因為在區間(a,b例5.證明等式證:

設由推論可知

(常數)令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.自證:經驗:欲證時只需證在

I

上例5.證明等式證:設由推論可知(常數)令x=三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區間[a,b]上連續(2)在開區間(a,b)內可導(3)在開區間(a,b)內至少存在一點使滿足:要證三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區間[證:

作輔助函數且使即由羅爾定理知,至少存在一點思考:

柯西定理的下述證法對嗎?兩個

不一定相同錯!上面兩式相比即得結論.證:作輔助函數且使即由羅爾定理知,至少存在一點思考:柯柯西定理的幾何意義:注意:弦的斜率切線斜率柯西定理的幾何意義:注意:弦的斜率切線斜率§4.1中值定理一、羅爾定理三、柯西中值定理二、拉格朗日中值定理§4.1中值定理一、羅爾定理三、柯西中值定理二、拉格朗一、羅爾定理設連續光滑的曲線yf(x)在端點A、B處的縱坐標相等

f

()?觀察與思考

提示

f

()0函數yf(x)滿足條件

(1)在閉區間[a

b]上連續

(2)在開區間(a

b)內可導

(3)f(a)f(b)

則至少存在一點(a

b)

使得f

()0

一、羅爾定理設連續光滑的曲線yf(x)在端點A費馬(fermat)引理且存在證:

設則證畢費馬(fermat)引理且存在證:設則證畢羅爾（Rolle）定理滿足:(1)在區間[a,b]上連續(2)在區間(a,b)內可導(3)

f(a)=f(b)使證:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=

m,則因此在(a,b)內至少存在一點羅爾（Rolle）定理滿足:(1)在區間[a,b若M>m,則M和m中至少有一個與端點值不等,不妨設則至少存在一點使注意:1)定理條件條件不全具備,結論不一定成立.例如,則由費馬引理得若M>m,則M和m中至少有一個與端點值不等

解

因此在(1,2)內至少存在一點1

使f

(1)0

1是f

(x)的一個實根

在(2,3)內至少存在一點2

使f

(2)0

2也是f

(x)的一個實根

f

(x)是二次多項式只能有兩個實根分別在區間(1,2)及(2,3)內

例2

不求導數判斷函數f(x)(x1)(x2)(x3)的導數有幾個實根以及其所在范圍

f(1)f(2)f(3)0

所以f(x)在[1,2][2,3]上滿足羅爾定理的三個條件

因為f(x)是連續且可導的函數并且解因此在(1,2)內至二、拉格朗日中值定理觀察與思考設連續光滑的曲線yf(x)在端點A、B處的縱坐標不相等

直線AB的斜率k?

f

()?提示

直線AB的斜率二、拉格朗日中值定理觀察與思考直線AB的斜率k?二、拉格朗日中值定理(1)在區間[a,b]上連續滿足:(2)在區間(a,b)內可導至少存在一點使思路:利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數作輔助函數顯然,在[a,b]上連續,在(a,b)內可導,且證:問題轉化為證由羅爾定理知至少存在一點即定理結論成立.證畢二、拉格朗日中值定理(1)在區間[a,b]上連拉格朗日中值定理如果函數f(x)滿足條件

(1)在閉區間[a

b]上連續

(2)在開區間(a

b)內可導則至少存在一點(a

b)內使得或f(b)f(a)f

()(ba)

拉格朗日公式

因為介于a與b之間所以可表示成

a(ba)(01)

從而拉格朗日公式也可改寫成

f(b)f(a)f

[a(ba)](ba)(01)

拉格朗日中值定理或f(b)

證

例3

證明不等式

arctanx2arctanx1x2x1(x1x2)

設f(x)arctanx

f(x)在[x1,x2]上滿足拉格朗日定理的條件因此有arctanx2arctanx1x2x1

證例3證明不等式例4.證明不等式證:

設中值定理條件,即因為故因此應有例4.證明不等式證:設中值定理條件,即因為故因此應有推論1如果函數f(x)在區間(a,b)內任意一點的導數f

(x)都為零那么f(x)在區間(a,b)內是一個常數

這是因為對于任意x(a

b)及定點x0(a

b)

有其中介于x與x0之間

f(x)f(x0)f

()(xx0)f(x0)

f(x)0推論1這是因為對于任意x(a推論1如果函數f(x)在區間(a,b)內任意一點的導數f

(x)都為零那么f(x)在區間(a,b)內是一個常數

推論2

如果函數f(x)與g(x)在區間(a,b)內每一點的導數f

(x)與g(x)都相等則這兩個函數在區間(a,b)內至多相差一個常數