西城區高三統一測試試卷數學2022.4第頁）西城區高三統一測試試卷數學2022.4本試卷共?7?頁，?150?分。考試時長?120?分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共?40?分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知集合，，則（A） （B）（C） （D）（2）復數的共軛復數（A） （B）（C） （D）（3）設，，，則（A） （B）（C） （D）（4）在的展開式中，常數項為（A） （B） （C） （D）（5）若雙曲線的焦點到其漸近線的距離為，則雙曲線的方程為（A） （B）（C） （D）（6）已知向量滿足，，.則（A） （B） （C） （D）（7）已知點為圓上一點，點，當m變化時，線段長度的最小值為（A） （B） （C） （D）（8）將函數的圖象向右平移個單位所得函數圖象關于原點對稱，向左平移個單位所得函數圖象關于軸對稱，其中，，則（A） （B） （C） （D）（9）在無窮等差數列中，公差為，則“存在，使得”是“（）”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（10）如圖，曲線為函數的圖象，甲粒子沿曲線從點向目的地點運動，乙粒子沿曲線從點向目的地點運動.兩個粒子同時出發，且乙的水平速率為甲的倍，當其中一個粒子先到達目的地時，另一個粒子隨之停止運動.在運動過程中，設甲粒子的坐標為，乙粒子的坐標為，若記，則下列說法中正確的是（A）在區間上是增函數 （B）恰有個零點（C）的最小值為 （D）的圖象關于點中心對稱第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）若拋物線上任意一點到點的距離與到直線的距離相等，則_____.（12）已知數列滿足（，），為其前項和.若，則_____.（13）如圖，在棱長為的正方體中，點為棱的中點，點為底面內一點，給出下列三個論斷：①;②;③.以其中的一個論斷作為條件，另一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：_____.（14）調查顯示，垃圾分類投放可以帶來約元/千克的經濟效益.為激勵居民垃圾分類，某市準備給每個家庭發放一張積分卡，每分類投放積分分，若一個家庭一個月內垃圾分類投放總量不低于，則額外獎勵分（為正整數）.月底積分會按照元/分進行自動兌換.=1\*GB3①當時，若某家庭某月產生生活垃圾，該家庭該月積分卡能兌換___元；=2\*GB3②為了保證每個家庭每月積分卡兌換的金額均不超過當月垃圾分類投放帶來的收益的%，則的最大值為_____.（15）已知函數，給出下列四個結論：①若，則函數至少有一個零點；②存在實數，，使得函數無零點；③若，則不存在實數，使得函數有三個零點；④對任意實數，總存在實數使得函數有兩個零點.其中所有正確結論的序號是_____.三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）在△ABC中，．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得△ABC存在且唯一確定，求邊上高線的長.條件①：，；條件②：，；條件③：，.注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答給分.（17）（本小題14分）如圖，四邊形是矩形，平面，平面，，，點在棱上．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若點到平面的距離為，求線段的長.（18）（本小題13分）2021年是北京城市軌道交通新線開通的“大年”，開通線路的條、段數為歷年最多.12月31日首班車起，地鐵19號線一期開通試運營.地鐵19號線一期全長約22公里，共設10座車站，此次開通牡丹園、積水潭、牛街、草橋、新發地、新宮共6座車站.在試運營期間，地鐵公司隨機選取了乘坐19號線一期的名乘客，記錄了他們的乘車情況，得到下表（單位：人）：下車站上車站牡丹園積水潭牛街草橋新發地新宮合計牡丹園///5642724積水潭12///20137860牛街57///38124草橋1399///1638新發地410162///335新宮25543///19合計363656262125200（Ⅰ）在試運營期間，從在積水潭站上車的乘客中任選一人，估計該乘客在牛街站下車的概率；（Ⅱ）在試運營期間，從在積水潭站上車的所有乘客中隨機選取三人，設其中在牛街站下車的人數為，求隨機變量的分布列以及數學期望；（Ⅲ）為了研究各站客流量的相關情況，用表示所有在積水潭站上下車的乘客的上、下車情況，“”表示上車，“”表示下車.相應地，用，分別表示在牛街，草橋站上、下車情況，直接寫出方差，，大小關系.（19）（本小題15分）已知橢圓的離心率為，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形周長為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）直線與橢圓交于兩點，與軸交于點，線段的垂直平分線與交于點，與軸交于點，為坐標原點.如果成立，求的值.（20）（本小題15分）已知函數，.（Ⅰ）當時，=1\*GB3①求曲線在處的切線方程；=2\*GB3②求證：在上有唯一極大值點；（Ⅱ）若沒有零點，求的取值范圍.（21）（本小題15分）如果無窮數列是等差數列，且滿足：，，使得；，，使得，則稱數列是“數列”.（Ⅰ）下列無窮等差數列中，是“數列”的為____；（直接寫出結論）：，，，……：，，，……：，，，……：，，，……（Ⅱ）證明：若數列是“數列”，則且公差；（Ⅲ）若數列是“數列”且其公差為常數，求的所有通項公式.西城區高三統一測試試卷數學答案及評分參考2022.4一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分） （?1?）A （?2?）B （?3?）D （?4?）C （?5?）A （?6?）B （?7?）C （?8?）D （?9?）B （10）B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11） （12）（13）若，則；若，則. （14）=1\*GB3①=2\*GB3② （15）=1\*GB3①=2\*GB3②④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）在中，因為,所以由正弦定理可得因為，所以.所以.在中，， 所以，所以. ┄┄┄┄┄┄6分（Ⅱ）選條件①：因為在中，，所以.因為，所以.設邊上高線的長為，則. ┄┄┄┄┄┄13分選條件②：不唯一.選條件③：由余弦定理得，所以.所以為等腰三角形，.設邊上高線的長為，則. ┄┄┄┄┄┄13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）證明：在矩形中，.因為平面，平面，所以平面.因為平面，平面，所以因為平面，平面，所以平面.又因為平面，平面，.所以平面平面.因為平面，所以平面. ┄┄┄┄┄┄4分（Ⅱ）因為平面，平面，平面，所以，.又因為是矩形，，所以兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系，則，，，所以，.設平面的一個法向量為，則即令，則，.于是.取平面的法向量為.則.由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值是. ┄┄┄┄┄┄10分（Ⅲ）令線段的長為，則，.所以，因為點到平面的距離.所以，即.解得或（舍）.所以線段的長為. ┄┄┄┄┄┄14分

（18）（共13分）解：（Ⅰ）設選取的乘客在積水潭站上車、在牛街站下車為事件，由已知，在積水潭站上車的乘客有人，其中在牛街站下車的乘客有人，所以. ┄┄┄┄┄┄3分（Ⅱ）由題意可知，；；；.隨機變量的分布列為所以隨機變量的數學期望為. ┄┄┄┄┄┄10分（Ⅲ）. ┄┄┄┄┄┄13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由題設，，，解得，，所以橢圓的方程為. ┄┄┄┄┄┄4分（Ⅱ）由得，由，得.設，，則，.所以點的橫坐標，???縱坐標.所以直線的方程為.令，則點的縱坐標所以.因為，所以點、點在原點兩側.因為，所以，所以.又因為，，所以，解得，所以. ┄┄┄┄┄┄15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）若，則，.=1\*GB3①在處，，.所以曲線在處的切線方程為. ┄┄┄┄┄┄4分=2\*GB3②令，，在區間上，，則在區間上是減函數.又，所以在上有唯一零點.與的情況如下：＋－極大值所以在上有唯一極大值點. ┄┄┄┄┄┄9分（Ⅱ），令，則.①若，則，在上是增函數.因為，，所以恰有一個零點.令，得.代入，得，解得.所以當時，的唯一零點為0，此時無零點，符合題意.②若，此時的定義域為.當時，，在區間上是減函數；當時，，在區間上是增函數.所以.又，由題意，當，即時，無零點，符合題意.綜上，的取值范圍是. ┄┄┄┄┄┄15分（21）（共15分）解：（Ⅰ），. ┄┄┄┄┄┄5分（Ⅱ）若，則由①可知，所以或，且公差.以下設.由①，，兩式作差得，因為，所以.由①，，兩式作差得，因為，所以.因此，.若，則等差數列是遞減數列，由①為中的項，因此，，解得，由且公差，所以或，，，由①，為中的項，且，這與等差數列遞減矛盾，因此，不成立.綜上，且公差. ┄┄┄┄┄┄10分（Ⅲ）因為公差，所以，即是