第十一章

典型相關(guān)分析典型相關(guān)分析是進(jìn)行兩組變量之間相關(guān)的分析技術(shù)，因而是一種更一般性的方法，具有較強(qiáng)的分析能力。相比之下，簡單相關(guān)反映兩個變量之間的相關(guān)，多元相關(guān)則反映一個變量與一組（多個）變量之間的相關(guān)，而典型相關(guān)分析則是要反映兩組變量之間的相關(guān)，而這兩組變量都包括不止一個變量。所以，典型相關(guān)模型將更為復(fù)雜。換一個角度來說，多元相關(guān)分析是典型相關(guān)分析的一種特例，而簡單相關(guān)分析又是多元相關(guān)分析的一種特例。典型相關(guān)分析的用途很廣。當(dāng)研究人員希望研究兩組變量之間的關(guān)系時，就可能用到典型相關(guān)分析。這里所要強(qiáng)調(diào)的是，典型相關(guān)分析不是分別對其中一個變量組的每個變量做與另一組的多個變量之間的多元相關(guān)或多元回歸，這樣做其實(shí)不能得到兩個變量組之間的整體相關(guān)的信息，因?yàn)橥M每一個變量之間也存在著相關(guān)，多個多元相關(guān)或回歸的結(jié)果是不能簡單迭加在一起的。而典型相關(guān)分析則是將各組變量都作為整體來對待，因此它所描述的是兩個變量組之間的整體的相關(guān)形式，而不是關(guān)于兩個變量組中變量的相關(guān)。實(shí)際研究當(dāng)中，注重變量組之間關(guān)系的情況是很多的。比如，研究個人及其家庭的社會經(jīng)濟(jì)狀況與本人在某些方面的表現(xiàn)之間的聯(lián)系，其中社會經(jīng)濟(jì)狀況可以是多方面的，本人的表現(xiàn)也可以從多個方面來測量。又比如，在有關(guān)專題的ＫＡＰ調(diào)查（即關(guān)于知識、態(tài)度和實(shí)際行動的調(diào)查）以后，我們可能將知識和態(tài)度變量作為一組變量，將實(shí)際行動作為另一組變量，研究知識和態(tài)度與實(shí)際行動之間的聯(lián)系。再比如，典型相關(guān)分析還可以用來分析試驗(yàn)研究中產(chǎn)生的兩組變量，即試驗(yàn)前各方面的測量記錄與試驗(yàn)后各方面的測量記錄之間的聯(lián)系。還有，典型相關(guān)分析還可以用于對應(yīng)關(guān)系研究，如夫妻之間、代代之間、干群之間、供求之間所存在著的兩組多變量之間關(guān)系的研究。一、典型相關(guān)分析思路的簡介本章的主旨是介紹利用ＳＰＳＳ軟件來進(jìn)行典型相關(guān)分析，不再詳細(xì)介紹它的數(shù)學(xué)證明及其計(jì)算過程，而是注重介紹它的分析思路以及有關(guān)主要概念、指標(biāo)的理解和應(yīng)用。典型變量都是成對構(gòu)建的，一對典型變量構(gòu)成典型相關(guān)分析的一個維度。一對典型變量之間的簡單相關(guān)系數(shù)就是典型相關(guān)系數(shù)。請注意，典型相關(guān)表達(dá)的不是原來兩組中任何具體觀測變量之間的相關(guān)，而是根據(jù)兩組所有觀測變量的信息相應(yīng)構(gòu)建的成對工具變量之間的相關(guān)，因此表達(dá)了兩組變量整體關(guān)系的一部分。并且，兩個觀測變量組之間的典型相關(guān)往往存在多個維度，其維度的多少由兩個變量組中較小一組的變量數(shù)決定。因此，兩個變量組之間的整體關(guān)聯(lián)最終被分解到不同的獨(dú)立維度上，由該維上的成對典型變量來代表，而該維關(guān)聯(lián)程度則由這一維的典型相關(guān)系數(shù)來計(jì)量。圖中只給出了典型變式的通項(xiàng)表達(dá)，實(shí)際上有多維典型變式，而每一維典型變式中的系數(shù)都不相同。典型相關(guān)分析建立第一對典型變量的原則是盡量使所建的兩個典型變量之間的相關(guān)系數(shù)最大化。換句話說，就是在兩個變量組各自的總變異中先尋求它們之間最大的一部分協(xié)變關(guān)系，并用一對典型變式（量）所描述。于是，第一維度上的典型相關(guān)系數(shù)也隨之求得。同時，這還意味著上述的協(xié)變差異部分已經(jīng)從兩組各自總變異中被剝離出去了。然后，在兩組變量剩余的變異中繼續(xù)尋找第二個最大的協(xié)變部分，形成第二對典型變式（量），并解出第二維度上的典型相關(guān)。這樣的過程不斷繼續(xù)，直至所有協(xié)變差異最終被剝離完畢。因此，兩組觀測變量之間的關(guān)聯(lián)可以由若干對典型變量來代表。各對典型變量之間的典型相關(guān)程度依序次逐步下降。由于每一維上成對典型變式都是根據(jù)兩組觀測變量之間的協(xié)變差異構(gòu)建的，因此實(shí)際上能夠得到典型相關(guān)維度數(shù)目的上限為兩組中變量較少一組的變量個數(shù)。二、典型相關(guān)模型的基本假設(shè)和數(shù)據(jù)要求典型相關(guān)模型的基本關(guān)系假設(shè)是兩組變量之間為線性關(guān)系，即每對典型變量之間為線性關(guān)系。并且，每個典型變量與本組所有觀測變量的關(guān)系也是線性關(guān)系。如果理論和經(jīng)驗(yàn)說明，兩組變量之間并不是線性關(guān)系，就需要采取一些方法來改造原來的觀測變量。一些在多元回歸中常用的變量改造方法都可以用在這里，比如取對數(shù)、取倒數(shù)、取平方值等等。為了檢驗(yàn)兩組之間觀測變量是否為線性關(guān)系，可以審閱其簡單相關(guān)矩陣。當(dāng)理論和經(jīng)驗(yàn)說明應(yīng)存在較強(qiáng)聯(lián)系的變量之間相關(guān)程度很低時，就應(yīng)考慮它們的關(guān)聯(lián)可能實(shí)際上不是線性關(guān)系，并尋找將其轉(zhuǎn)換為線性關(guān)系的方法。另外，檢驗(yàn)所有觀測變量的分布也是常用的手段。如果一個變量的分布呈嚴(yán)重偏態(tài)，便會影響它與其他正態(tài)分布的變量之間的簡單相關(guān)程度。三、使用ＳＰＳＳ軟件進(jìn)行典型相關(guān)分析非常遺憾的是，ＳＰＳＳ軟件對別的分析模塊越做越好，只有典型相關(guān)分析是個例外，現(xiàn)在已經(jīng)不能通過菜單來操作典型相關(guān)分析了。但是，在ＳＰＳＳ的程序窗口仍可以調(diào)入或直接寫入命令的方式來完成典型相關(guān)分析工作。ＳＰＳＳ有兩種不同命令方法都可以完成對數(shù)據(jù)的典型相關(guān)分析。第一種，ＣＡＮＣＯＲＲ宏程序方法第二種，ＭＡＮＯＶＡ宏程序方法（一）使用spss附帶的典型相關(guān)分析命令程序進(jìn)行分析１．準(zhǔn)備工作２．調(diào)用或鍵入運(yùn)行典型相關(guān)分析的命令３．第一種方法：ＣＡＮＣＯＲＲ命令的說明與運(yùn)行４．第二種方法：ＭＡＮＯＶＡ命令的說明及運(yùn)行（二）關(guān)于兩種操作方法可能取得某些統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的不同結(jié)果的討論需要提示的是，ＳＰＳＳ的兩種方法所得到對應(yīng)典型系數(shù)、負(fù)載經(jīng)常出現(xiàn)數(shù)值相等而符號相反的情況。這種不一致并不是程序設(shè)計(jì)錯誤，而是因?yàn)閮煞N方法對典型變量定義不同所造成的。如果初始構(gòu)建的一對典型變量之間計(jì)算的典型相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù)，為了能保持輸出正的典型相關(guān)系數(shù)的常規(guī)，就需要改變其中一個典型變量值的符號。這種形式上的改變其實(shí)完全不影響該維度的相關(guān)程度。但是，不同軟件或模塊的程序在決定對哪一個典型變量改變符號時有任意性，而上述兩種計(jì)算程序里出現(xiàn)了相反的選擇。與此對應(yīng)，其他一些與改變符號的典型變量相聯(lián)系的指標(biāo)也要改變符號。所以，這兩種方法輸出的典型相關(guān)系數(shù)雖然完全相同（都是正數(shù)），但由于改變符號的典型變量不同，因此會出現(xiàn)兩種方法得到的一部分典型系數(shù)、負(fù)載等出現(xiàn)數(shù)值相等、符號相反的情況。其實(shí)，這種表面上的不一致并沒有改變兩種方法的統(tǒng)計(jì)結(jié)果本質(zhì)上的一致性。了解這種表面不一致的原因以后，研究人員也就用不著再感到奇怪了。四、典型相關(guān)分析的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)在后面各統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的介紹中，我們將同時注明ＳＰＳＳ提供的兩種方法能否提供每項(xiàng)指標(biāo)，以及如何提供這些指標(biāo)。我們將不再討論這些統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的公式和計(jì)算過程，只對某些可以再做一些簡單計(jì)算便能得到的重要信息才給出計(jì)算公式。介紹和討論將集中于典型相關(guān)分析中所涉及統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的意義，以及如何應(yīng)用這些指標(biāo)來展開后續(xù)分析工作和結(jié)論的闡述。（一）典型相關(guān)系數(shù)兩種ＳＰＳＳ方法都能夠產(chǎn)生典型相關(guān)系數(shù)。并且這一部分結(jié)果的輸出部分實(shí)際上是排在統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的前后。我們?yōu)榱藬⑹龇奖銓⑵渥鳛榈谝粋€指標(biāo)來介紹。（二）典型相關(guān)系數(shù)的平方典型相關(guān)系數(shù)的平方值本身構(gòu)成一個重要指標(biāo)，亦可簡稱為典型相關(guān)平方。在使用ＣＡＮＣＯＲＲ方法時，此項(xiàng)指標(biāo)必須由研究人員自己來進(jìn)行計(jì)算。比如，本章例題的第一個典型相關(guān)系數(shù)為0.578，那么相應(yīng)的典型相關(guān)平方為0.334。（三）特征值及其他有關(guān)指標(biāo)（四）檢驗(yàn)典型相關(guān)系數(shù)典型相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)有兩種，一種是整體檢驗(yàn)，一種是維度遞減檢驗(yàn)。１．整體檢驗(yàn)整體檢驗(yàn)（ｏｖｅｒａｌｌｔｅｓｔ）是同時檢驗(yàn)所有的典型相關(guān)系數(shù)，看是否有一個是顯著的，即對總體的典型相關(guān)程度有推斷意義。２．維度遞減檢驗(yàn)維度遞減檢驗(yàn)是典型相關(guān)分析必要輸出，因此ＳＰＳＳ的兩種方法都提供這種檢驗(yàn)。（五）典型系數(shù)典型系數(shù)是觀測變量轉(zhuǎn)換為典型變量的權(quán)數(shù)，相當(dāng)于回歸系數(shù)。因?yàn)榈湫妥兞坑腥舾蓚€，所以相應(yīng)有多套典型系數(shù)，一套對應(yīng)一個典型變式。同時因?yàn)橛袃山M變量，因此共有２×ｍｉｎ（k1,k2）套典型系數(shù)。（六）典型負(fù)載系數(shù)典型負(fù)載在有些文獻(xiàn)中也被稱為結(jié)構(gòu)相關(guān)系數(shù)或結(jié)構(gòu)系數(shù)。典型負(fù)載是典型變量與同組觀測變量之間的兩兩簡單相關(guān)系數(shù)。（七）交叉負(fù)載交叉負(fù)載即某組的典型變量與另一組的觀測變量之間的兩兩簡單相關(guān)。比如，下列第二個相關(guān)矩陣中的第二行第一列元素值０．４７４，是第二組觀測變量狓４與另一組（即第一組）的第一個典型變量之間的簡單相關(guān)系數(shù)。設(shè)立交叉負(fù)載這個指標(biāo)本來是為了直接將典型變量與觀測變量在組間交叉聯(lián)系在一起，但是由于其相關(guān)系數(shù)形式的缺陷，現(xiàn)在人們更愿意采用它的平方即后面介紹的一組的典型變量與另一組觀測變量的交叉共享方差百分比的形式。（八）典型變量對本組觀測變量總方差的代表比例典型變量被構(gòu)建出來是為了作為本組觀測變量總方差中某一特征部分的代表，同一組不同的典型變量則分別代表了本組觀測總方差中完全不同的特征部分。于是，一個典型變量所代表的本組觀測總方差中的比例便反映了這個典型變量的代表能力。這一指標(biāo)也可以采用被動式來表達(dá)，即本組所有觀測總方差中由本組各典型變量所分別代表的比例。為了敘述方便，后面有時將簡稱其為組內(nèi)代表比例或代表比例。這一代表比例用百分比來測量顯然便利于同組的各典型變量代表性的比較。（九）冗余指數(shù)冗余指數(shù)也是一組觀測總方差中與一個典型變量所共享的比例，不過它不是某組的典型變量與同組觀測變量總方差的共享比例，而是某組的典型變量與另外一組的觀測變量總方差的共享比例，因此是一種組間交叉的協(xié)變差異比例。這一比例在研究模型中有因果關(guān)系假設(shè)時尤其重要，因?yàn)樗軌蚍从匙宰兞拷M各典型變量對于因變量組所有觀測變量總方差的解釋能力。為了敘述方便，后面有時將根據(jù)行文具體情況將冗余指數(shù)稱為（一個典型變量的）解釋比例或（某組總方差的）被解釋比例。五、關(guān)于典型冗余分析的介紹冗余這個概念可能對于大多數(shù)讀者十分陌生，然而它不僅對于典型相關(guān)分析十分重要，而且對于整個統(tǒng)計(jì)分析也很重要。就詞意理解，冗余有冗長、多余、重復(fù)、過剩的意思。與相關(guān)分析類似，冗余是就方差量而言的關(guān)聯(lián)程度分析。如果一個變量中的部分方差與另一個變量的部分方差有協(xié)變關(guān)系，就說這個方差部分與另一變量方差相冗余，也就是說它可以由另一個變量來預(yù)測或解釋。其實(shí)，相關(guān)分析是同一關(guān)聯(lián)的另一種表達(dá)，但相關(guān)系數(shù)的數(shù)量含義并不確切。而相關(guān)系數(shù)的平方（如回歸中的確定系數(shù)）就屬于冗余指標(biāo)的范圍，表達(dá)了解釋方差的百分比。所以，冗余比相關(guān)更具有明確的定量含義，更方便實(shí)際應(yīng)用。六、例題分析借用第三章例題數(shù)據(jù)（文件名為ＦＰ＿ＳＥ．ｓａｖ）。數(shù)據(jù)中共有３０個案例和５個變量，變量名為x1,x2,x3,x4,x5，分別代表多孩率、綜合節(jié)育率、初中及以上受教育程度的人口比例、人均國民收入和城鎮(zhèn)人口比例。按變量性質(zhì)將其分為兩個變量組，即前兩個變量組成計(jì)劃生育變量組，后三個變量組成社會經(jīng)濟(jì)變量組。研究目的是通過典型相關(guān)分析揭示社會經(jīng)濟(jì)變化對計(jì)劃生育工作的影響。所以，計(jì)劃生育變量組作為因變量組，而社會經(jīng)濟(jì)變量組作為自變量組。下面，我們根據(jù)ＭＡＮＯＶＡ方法取得的典型相關(guān)分析結(jié)果來進(jìn)行簡要的闡釋。本例題中自變量組解釋能力較差主要是由于典型相關(guān)平方不太高。但有的時候并不是這樣，可能會出現(xiàn)典型相關(guān)平方的值很高而代表比例很低而導(dǎo)致解釋比例低的情況。這時，典型相關(guān)系數(shù)值則會顯得更高。但是，千萬不要被很高的典型相關(guān)系數(shù)所迷惑，以為典型相關(guān)程度高便一定意味著兩個變量組之間有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)，其實(shí)典型相關(guān)程度高只是說明構(gòu)建的一對典型變量之間關(guān)聯(lián)緊密，其中一個典型變量對另一側(cè)變量總方差的解釋能力還要依賴于另一側(cè)對應(yīng)的典型變量的代表能力有多高，而兩個變量組的總方差關(guān)聯(lián)程度高不高則同時依賴于這一對典型變量對各自本組總方差的代表能力強(qiáng)不強(qiáng)。此外，根據(jù)前面對于本例題結(jié)果統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)不顯著的分析，一個有效的措施是刪除那些不太重要的“重復(fù)”變量。比如狓５與本組其他變量相關(guān)程度很高，而其標(biāo)準(zhǔn)化典型系數(shù)和典型負(fù)載又較低。如果將其從模型中刪除后重新進(jìn)行分析，那么第一維度便可以得到α＝０．０３１的顯著水平。并且第一維度的典型相關(guān)仍高達(dá)０．５７５，而且第一維度的冗余指數(shù)也并沒有明顯的損失。讀者可以自行操作，從實(shí)踐中得到一些經(jīng)驗(yàn)。基本概念典型變式典型變量預(yù)測變量標(biāo)準(zhǔn)變量典型函數(shù)多元檢驗(yàn)多元正態(tài)分布假定方差齊性假定典型相關(guān)系數(shù)典型相關(guān)系數(shù)的平方特征值整體檢驗(yàn)維度遞減檢驗(yàn)典型系數(shù)粗典型系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)典型負(fù)載結(jié)構(gòu)相關(guān)系數(shù)交叉負(fù)載組內(nèi)代表比例冗余指數(shù)共享方差百分比總?cè)哂嘀笖?shù)本章要點(diǎn)１．典型相關(guān)分析用于描述兩組變量之間所存在的相關(guān)關(guān)系。它將每組變量作為一個整體來對待。２．通過相關(guān)系數(shù)最大化原則，依次建立若干成對的典型變量，并計(jì)算出它們之間的相關(guān)系數(shù)（即典型相關(guān)系數(shù)），代表兩組變量之間在不同維度上的共變關(guān)系。３．對于各維度上的典型相關(guān)進(jìn)行檢驗(yàn)，精簡不顯著的維度，以便將分析集中于那些存在顯著相關(guān)性的維度。４．典型相關(guān)分析不能局限于典型變量之間的相關(guān)。因?yàn)榧词乖诘湫妥兞颗c原