高階線性微分方程第六節二、線性齊次方程解的結構三、線性非齊次方程解的結構

一、二階線性微分方程舉例第七章高數76高階線性微分方程共18頁，您現在瀏覽的是第1頁!一、二階線性微分方程舉例當重力與彈性力抵消時,物體處于平衡狀態,例1.質量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復運動,解:阻力的大小與運動速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈性力與阻取平衡時物體的位置為坐標原點,建立坐標系如圖.設時刻t物位移為x(t).(1)自由振動情況.彈性恢復力物體所受的力有:(庫克定律)成正比,方向相反.建立位移滿足的微分方程.高數76高階線性微分方程共18頁，您現在瀏覽的是第2頁!據牛頓第二定律得則得有阻尼自由振動方程:阻力(2)強迫振動情況.若物體在運動過程中還受鉛直外力則得強迫振動方程:高數76高階線性微分方程共18頁，您現在瀏覽的是第3頁!串聯電路的振蕩方程:化為關于的方程:故有‖~如果電容器充電后撤去電源(E=0),則得高數76高階線性微分方程共18頁，您現在瀏覽的是第4頁!證畢二、線性齊次方程解的結構是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得(疊加原理)

定理1.高數76高階線性微分方程共18頁，您現在瀏覽的是第5頁!定義:是定義在區間I上的

n個函數,使得則稱這n個函數在I

上線性相關,否則稱為線性無關.例如，

在(,)上都有故它們在任何區間I上都線性相關;又如，若在某區間I上則根據二次多項式至多只有兩個零點,必需全為0,可見在任何區間I上都線性無關.若存在不全為

0的常數高數76高階線性微分方程共18頁，您現在瀏覽的是第6頁!定理2.是二階線性齊次方程的兩個線性無關特解,數)是該方程的通解.例如,方程有特解且常數,故方程的通解為(自證)

推論.是n階齊次方程的n個線性無關解,則方程的通解為則高數76高階線性微分方程共18頁，您現在瀏覽的是第7頁!是非齊次方程的解,又Y中含有兩個獨立任意常數,例如,方程有特解對應齊次方程有通解因此該方程的通解為證畢因而②也是通解.高數76高階線性微分方程共18頁，您現在瀏覽的是第8頁!定理5.是對應齊次方程的n個線性無關特解,給定n階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解高數76高階線性微分方程共18頁，您現在瀏覽的是第9頁!例4.

已知微分方程個解求此方程滿足初始條件的特解.解:是對應齊次方程的解,且常數因而線性無關,故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三高數76高階線性微分方程共18頁，您現在瀏覽的是第10頁!求電容器兩兩極板間電壓例2.

聯組成的電路,所滿足的微分方程.解:設電路中電流為i(t),的電量為q(t),自感電動勢為由電學知根據回路電壓定律:設有一個電阻R,自感L,電容C和電源E串極板上在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0‖~其中R,L,C為常數,高數76高階線性微分方程共18頁，您現在瀏覽的是第11頁!n階線性微分方程的一般形式為方程的共性

(二階線性微分方程)例1例2—可歸結為同一形式:時,稱為非齊次方程;時,稱為齊次方程.復習:一階線性方程通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y高數76高階線性微分方程共18頁，您現在瀏覽的是第12頁!說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數的線性相關與線性無關概念.高數76高階線性微分方程共18頁，您現在瀏覽的是第13頁!兩個函數在區間I上線性相關與線性無關的充要條件:線性相關存在不全為0的使(無妨設線性無關常數思考:中有一個恒為0,則必線性相關(證明略)線性無關高數76高階線性微分方程共18頁，您現在瀏覽的是第14頁!三、線性非齊次方程解的結構

是二階非齊次方程的一個特解,Y(x)是相應齊次方程的通解,定理3.則是非齊次方程的通解.證:將代入方程①左端,得②①高數76高階線性微分方程共18頁，您現在瀏覽的是第15頁!定理4.分別是方程的特解,是方程的特解.(非齊次方程之解的疊加原理)定理3,定理4均可推廣到n階線性非齊次方程.高數76高階線性微分方程共18頁，您現在瀏覽的是第16頁!常數,則該方程的通解是().設線性無關函數都是二階非齊次線性方程的解,是任意例3.提示:都是對應齊次方程的解