函數的極值與最大值最小值

上頁下頁鈴結束返回首頁一、函數的極值及其求法二、最大值最小值問題精選ppt提問：

f(a)和f(b)是極值嗎？函數的極值下頁一、函數的極值及其求法設函數f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內有定義如果對于任意xU(x0)有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))

則稱f(x0)是函數f(x)的一個極大值(或極小值)。x1x2x3x4x5函數的極大值與極小值統稱為函數的極值,使函數取得極值的點稱為極值點.

觀察與思考：

觀察極值與切線的關系.精選ppt設函數f(x)在點x0處可導,且在x0處取得極值,那么f

(x0)0.駐點

使導數f

(x)為零的點(方程f

(x)0的實根)稱為函數f(x)的駐點.定理1(必要條件)下頁>>>討論：極值點是否一定是駐點？駐點是否一定是極值點？考察x=0是否是函數y=x3的駐點,是否是函數的極值點.x1x2x3x4x5精選ppt設函數f(x)在點x0處可導,且在x0處取得極值,那么f

(x0)0.駐點

使導數f

(x)為零的點(方程f

(x)0的實根)稱為函數f(x)的駐點.定理1(必要條件)下頁觀察與思考：(1)觀察曲線的升降與極值之間的關系.(2)觀察曲線的凹凸性與極值之間的關系.x1x2x3x4x5精選ppt設函數f(x)在x0處連續且在(a

x0)(x0

b)內可導

(1)如果在(a

x0)內f

(x)0在(x0

b)內f

(x)0那么函數f(x)在x0處取得極大值

(2)如果在(a

x0)內f

(x)<0在(x0

b)內f

(x)>0那么函數f(x)在x0處取得極小值

(3)如果在(a

x0)及(x0

b)內f

(x)的符號相同那么函數f(x)在x0處沒有極值

下頁定理2(第一充分條件)

x1x2x3x4x5精選ppt確定極值點和極值的步驟(1)求出導數f

(x);(2)求出f(x)的全部駐點和不可導點;(3)考察在每個駐點和不可導點的左右鄰近f

(x)的符號;

(4)確定出函數的所有極值點和極值.下頁設函數f(x)在x0處連續且在(a

x0)(x0

b)內可導

(1)如果在(a

x0)內f

(x)0在(x0

b)內f

(x)0那么函數f(x)在x0處取得極大值

(2)如果在(a

x0)內f

(x)<0在(x0

b)內f

(x)>0那么函數f(x)在x0處取得極小值

(3)如果在(a

x0)及(x0

b)內f

(x)的符號相同那么函數f(x)在x0處沒有極值

定理2(第一充分條件)

精選ppt下頁

例1

(1)f(x)在(

)內連續除x1外處處可導且

解

(3)列表判斷x1為f(x)的不可導點得駐點x1(2)令f

(x)0(

1)1(11)1(1

)不可導0xf

(x)f(x)↗0↘↗精選ppt定理3(第二充分條件)設函數f(x)在點x0處具有二階導數且f(x0)0

f

(x0)0

那么(1)當f

(x0)0時函數f(x)在x0處取得極大值(2)當f

(x0)0時函數f(x)在x0處取得極小值.

應注意的問題：

如果f(x0)0

f

(x0)0則定理3不能應用但不能由此說明f(x0)不是f(x)的極值。討論：

函數f(x)x4

g(x)x3在點x0是否有極值？下頁>>>>>>

精選ppt

例2求函數f(x)(x21)31的極值

解f

(x)6x(x21)2

令f

(x)0求得駐點x11

x20

x31

f

(x)6(x21)(5x21)

因為f

(0)60所以f(x)在x0處取得極小值極小值為f(0)0

因為f

(1)f

(1)0所以用定理3無法判別因為在1的左右鄰域內f

(x)0所以f(x)在1處沒有極值同理

f(x)在1處也沒有極值

首頁精選ppt二、最大值最小值問題

觀察與思考：

觀察哪些點有可能成為函數的最大值或最小值點,

怎樣求函數的最大值和最小值.

x1x2x3x4x5Mm下頁精選ppt

閉區間上的連續函數其最大值和最小值只可能在區間的端點及區間內的極值點處取得.

函數在閉區間[a

b]上的最大值一定是函數的所有極大值和函數在區間端點的函數值中的最大者;其最小值一定是函數的所有極小值和函數在區間端點的函數值中的最小者

極值與最值的關系下頁x1x2x3x4x5Mm精選ppt最大值和最小值的求法(1)求出函數f(x)在(a

b)內的駐點和不可導點設這此點為x1

x2

xn;

(2)計算函數值f(a)

f(x1)

f(xn)

f(b);(3)判斷:最大者是函數f(x)在[a

b]上的最大值最小者是函數f(x)在[a

b]上的最小值

下頁x1x2x3x4x5Mm精選ppt下頁

例3討論函數的極值。

解精選ppt

例4

工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km

A點到火車站B的距離為100km欲修一條從工廠到鐵路的公路CD已知鐵路與公路每公里運費之比為3:5為了使火車站B與工廠C間的運費最省問D點應選在何處？DC20kmAB100km

解

x

下頁設ADx(km)y5kCD3kDB(k是某個正數)

B與C間的運費為y則DB=100x

精選ppt其中以y|x15380k為最小因此當AD15km時運費最省

下頁由于y|x0400k

y|x15380k

例4

工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km

A點到火車站B的距離為100km欲修一條從工廠到鐵路的公路CD已知鐵路與公路每公里運費之比為3:5為了使火車站B與工廠C間的運費最省問D點應選在何處？y5kCD3kDB(k是某個正數)

解

設ADx(km)B與C間的運費為y則精選ppt特殊情況下的最大值與最小值

如果f(x)在一個區間(有限或無限開或閉)內可導且只有一個駐點x0那么當f(x0)是極大值時

f(x0)就是f(x)在該區間上的最大值

當f(x0)是極小值時