學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE7-學必求其心得，業必貴于專精課時分層作業(七)二項式定理（建議用時:60分鐘)［基礎達標練］一、選擇題1．化簡多項式（2x＋1）5－5(2x＋1)4＋10（2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5（2x＋1)－1的結果是（）A．(2x＋2）5 B．2x5C．（2x－1)5 D．32x5D［原式＝[(2x＋1)－1］5＝（2x）5＝32x5.]2．已知eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f（1,x）))7的展開式的第4項等于5，則x等于(）A．eq\f(1,7） B．－eq\f(1，7）C．7 D．－7B[T4＝Ceq\o\al（3,7）x4eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1，x））)3＝5，則x＝－eq\f(1,7)。］3．在eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（x,2）－\f(1，\r(3,x)）))8的展開式中常數項是（）A．－28 B．－7C．7 D．28C［Tk＋1＝Ceq\o\al（k,8)·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（x，2））)8－k·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1，\r（3,x）))）k＝（－1）k·Ceq\o\al(k，8）·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2）))8－k·xeq\s\up8（8－eq\f(4，3）k），當8－eq\f(4,3)k＝0，即k＝6時，T7＝（－1）6·Ceq\o\al(6,8）·eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）))2＝7.]4．在eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r(x）,2)－\f（2，\r(x)）））6的二項展開式中，x2的系數為(）A．－eq\f（15，4) B．eq\f(15,4)C．－eq\f（3,8） D．eq\f（3,8)C［Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r（x)，2）)）6－k·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(2,\r(x)))）k＝(－1）k22k－6·Ceq\o\al（k,6)x3－k,令3－k＝2，則k＝1,所以x2的系數為（－1）1×2－4×Ceq\o\al（1,6）＝－eq\f(3，8），故選C。]5．（2019·全國卷Ⅲ)（1＋2x2)（1＋x)4的展開式中x3的系數為()A．12 B．16C．20 D．24A[展開式中含x3的項可以由“1與x3”和“2x2與x”的乘積組成，則x3的系數為Ceq\o\al（3，4)＋2Ceq\o\al（1,4）＝4＋8＝12。］二、填空題6．(1－i）10（i為虛數單位）的二項展開式中第7項為________．－210［由通項公式得T7＝Ceq\o\al(6,10）·（－i）6＝－Ceq\o\al（6，10)＝－210.］7．（1＋x)3＋（1＋x）4＋…＋（1＋x）10展開式中x3的系數為________．330[x3的系數為Ceq\o\al(3，3）＋Ceq\o\al（3，4）＋Ceq\o\al（3,5)＋…＋Ceq\o\al(3，10)＝Ceq\o\al（4,4）＋Ceq\o\al(3，4）＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,10）＝Ceq\o\al（4，11)＝330。］8．如果eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\r（3，x2）＋\f(1，x)))n的展開式中，x2項為第3項，則自然數n＝________.8[Tk＋1＝Ceq\o\al(k，n)(eq\r（3，x2)）n－keq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，x）))k＝Ceq\o\al(k,n）x,由題意知k＝2時，eq\f（2n－5k,3)＝2，所以n＝8。］三、解答題9．已知在eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(3,\r(3，x））)）n的展開式中，第6項為常數項．(1)求n；（2)求含x2項的系數；（3）求展開式中所有的有理項．[解]通項公式為:(1）∵第6項為常數項,∴r＝5時，有eq\f（n－2r,3)＝0，即n＝10。(2）令eq\f（10－2r,3)＝2，得r＝eq\f（1,2）（10－6）＝2,∴所求的系數為Ceq\o\al(2，10）(－3）2＝405。(3）由題意得，eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(10－2r，3）∈Z,，0≤r≤10，,r∈Z。））令eq\f(10－2r,3）＝k(k∈Z），則10－2r＝3k，即r＝5－eq\f(3,2）k。∵r∈Z，∴k應為偶數，k＝2,0，－2，即r＝2，5，8,∴第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為Ceq\o\al(2,10)(－3)2x2，Ceq\o\al（5，10)（－3）5，Ceq\o\al(8,10）(－3）8x－2。即405x2,－61236,295245x－2.10．記eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1，x)）)n的展開式中第m項的系數為bm。(1）求bm的表達式;(2)若n＝6，求展開式中的常數項；(3）若b3＝2b4，求n。［解］（1）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x＋\f（1,x）））n的展開式中第m項為Ceq\o\al（m－1,n）·（2x)n－m＋1·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,x)))m－1＝2n＋1－m·Ceq\o\al（m－1,n）·xn＋2－2m，所以bm＝2n＋1－m·Ceq\o\al（m－1,n)。（2)當n＝6時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（1,x))）n的展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al（k，6)·(2x）6－k·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，x））)k＝26－k·Ceq\o\al(k，6）·x6－2k。依題意，6－2k＝0，得k＝3，故展開式中的常數項為T4＝23·Ceq\o\al（3,6）＝160.(3）由(1）及已知b3＝2b4，得2n－2·Ceq\o\al(2,n)＝2·2n－3·Ceq\o\al（3,n),從而Ceq\o\al（2，n）＝Ceq\o\al(3,n),即n＝5.［能力提升練］1．（1－x)4(1－eq\r(x))3的展開式中x2的系數是(）A．－6 B．－3C．0 D．3A［∵(1－x)4(1－eq\r（x)）3＝（1－4x＋6x2－4x3＋x4）（1－3xeq\s\up8(eq\f(1，2））＋3x－xeq\s\up8（eq\f（3,2）))，∴x2的系數是－12＋6＝－6。]2．設a∈Z，且0≤a＜13，若512018＋a能被13整除,則a＝(）A．0 B．1C．11 D．12D[512018＋a＝（13×4－1）2018＋a，被13整除余1＋a，結合選項可得a＝12時，512018＋a能被13整除．］3．若eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(ax2＋\f(1，\r（x）））)5的展開式中x5的系數是－80，則實數a＝________。－2[Tk＋1＝Ceq\o\al（k,5）·(ax2）5－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,\r(x）)))k＝Ceq\o\al(k,5)·a5－kxeq\s\up12(10－eq\f（5,2)k.）令10－eq\f(5，2）k＝5,解得k＝2。又展開式中x5的系數為－80,則有Ceq\o\al(2，5）·a3＝－80,解得a＝－2。］4．對于二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,x）＋x3)）n（n∈N*),有以下四種判斷:①存在n∈N＊,展開式中有常數項；②對任意n∈N＊，展開式中沒有常數項；③對任意n∈N*，展開式中沒有x的一次項;④存在n∈N*,展開式中有x的一次項．其中正確的是________．(填序號）①④［二項式eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,x)＋x3）)n的展開式的通項公式為Tk＋1＝Ceq\o\al（k,n)x4k－n，由通項公式可知,當n＝4k（k∈N*）和n＝4k－1（k∈N*)時，展開式中分別存在常數項和一次項．]5．已知m，n∈N*，f(x)＝（1＋x)m＋（1＋x）n的展開式中x的系數為19,求x2的