學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE12-學必求其心得，業必貴于專精課時分層作業(二十三）實際問題的函數建模（建議用時：60分鐘)［合格基礎練]一、選擇題1．甲乙兩人在一次賽跑中，路程s與時間t的函數關系如圖所示，則下列說法正確的是（）A．甲比乙先出發B．乙比甲跑得路程更多C．甲、乙兩人的速度相同D．甲先到達終點D［由圖可知，甲比乙跑的要快，比乙先到達終點，兩人跑的路程相同,故選D。］2．某公司市場營銷人員的個人月收入與其每月的銷售量成一次函數關系，其圖像如圖所示，由圖中給出的信息可知，營銷人員沒有銷售量時的收入是（)A．310元B．300元C．290元 D．280元B[令y＝kx＋b，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(k＋b＝800,，2k＋b＝1300，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（k＝500，,b＝300，））所以y＝500x＋300，令x＝0，y＝300。故營銷人員沒有銷售量時的收入是300元．］3．某機器總成本y(萬元）與產量x（臺）之間的函數關系式是y＝x2－75x,若每臺機器售價為25萬元，則該廠獲利潤最大時應生產的機器臺數為(）A．30B．40C．50 D．60C［設安排生產x臺，則獲得利潤f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2500。故當x＝50臺時，獲利潤最大．故選C.]4．某企業產值連續三年持續增長，這三年年增長率分別為P1，P2，P3，則這三年的年平均增長率為（)A。eq\f（1,3）（P1＋P2＋P3）B.eq\r(3,P1P2P3）C.eq\r(3,1＋P11＋P21＋P3)－1D．1＋eq\f（1，3）(P1＋P2＋P3）C[設這三年的年平均增長率為x，企業產值的基數為a，則a(1＋x）3＝a（1＋P1）（1＋P2)（1＋P3)．所以x＝eq\r(3,1＋P11＋P21＋P3)－1。]5。如圖所示，開始時桶（1)中有a升水，t分鐘后剩余的水符合指數衰減曲線y1＝ae－nt，那么桶（2)中水就是y2＝a－ae－nt，假設過5分鐘時桶(1)和桶（2)中的水相等，則再過多少分鐘桶(1）中的水只有eq\f(a，8）()A．7分鐘B．8分鐘C．9分鐘 D．10分鐘D[由題意得ae－5n＝a－ae－5n，e－n＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2））)eq\f（1，5)。設再經過t分鐘，桶(1)中的水只有eq\f(a,8)，得ae－n（t＋5)＝eq\f(a，8），則eq\f(t＋5,5）＝3，解得t＝10.］二、填空題6．經市場調查，某商品的日銷售量（單位：件）和價格(單位:元/件)均為時間t（單位：天)的函數．日銷售量為f（t)＝2t＋100，價格為g(t）＝t＋4，則該種商品的日銷售額S(單位：元)與時間t的函數關系式為S(t)＝________。2t2＋108t＋400［日銷售額S＝f（t)·g(t）＝（2t＋100)·(t＋4）＝2t2＋108t＋400。]7．甲同學家到乙同學家的途中有一公園,甲同學家到公園的距離與乙同學家到公園的距離都是2km。如圖表示甲同學從家出發到乙同學家經過的路程y(km）與時間x（min）的關系，其中甲在公園休息的時間是10min，那么y＝f（x）的解析式為________．y＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(1,15)x0≤x≤30,，230＜x＜40，，\f（1,10）x－240≤x≤60)）[由題圖知所求函數是一個分段函數,且各段均是直線，可用待定系數法求得：y＝f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1，15）x0≤x≤30,,230＜x＜40，,\f（1，10）x－240≤x≤60。）)]8。某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料,如圖,為降低消耗，開源節流,現要從這些邊角料上截取矩形鐵皮（如圖中陰影部分)備用．當截取的矩形面積最大時，矩形的兩邊長x，y分別為________．15，12[由三角形相似，即eq\f（24－y,24－8)＝eq\f(x,20)，得x＝eq\f（5,4)×（24－y)，所以S＝xy＝－eq\f(5，4）（y－12）2＋180,故當y＝12時，S有最大值，此時x＝15。]三、解答題9．為了保護學生的視力，課桌椅的高度都是按一定的關系配套設計的．研究表明：假設課桌的高度為ycm，椅子的高度為xcm，則y應是x的一次函數,下表列出了兩套符合條件的課桌椅的高度：第一套第二套椅子高度x（cm)40.037。0桌子高度y（cm）75。070。2（1）請你確定y與x的函數解析式(不必寫出x的取值范圍)；（2）現有一把高42。0cm的椅子和一張高78。2cm的課桌，它們是否配套？為什么？［解］(1)根據題意，課桌高度y是椅子高度x的一次函數，故可設函數解析式為y＝kx＋b（k≠0)．將符合條件的兩套課桌椅的高度代入上述函數解析式，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(40k＋b＝75，，37k＋b＝70.2，））所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（k＝1.6,，b＝11，))所以y與x的函數解析式是y＝1.6x＋11.（2)把x＝42代入（1）中所求的函數解析式中,有y＝1.6×42＋11＝78。2.所以給出的這套桌椅是配套的．10．一片森林原來面積為a,計劃每年砍伐一些樹,且每年砍伐面積的百分比相等，當砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護生態環境,森林面積至少要保留原面積的eq\f(1,4)，已知到今年為止,森林剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2).（1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？（3）今后最多還能砍伐多少年?［解］(1)設每年砍伐面積的百分比為x（0＜x＜1），則a（1－x）10＝eq\f(1，2)a，即(1－x)10＝eq\f（1,2），解得x＝1－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2）））eq\s\up20（\f（1,10））.故每年砍伐面積的百分比為1－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)））eq\s\up20（\f(1,10)）.（2）設經過m年剩余面積為原來的eq\f（\r（2)，2），則a(1－x）m＝eq\f(\r（2),2）a，即eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）））eq\s\up20(\f（m,10））＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2）))eq\s\up20（\f(1,2)），eq\f（m,10）＝eq\f(1,2)，解得m＝5。故到今年為止，已砍伐了5年．(3)設從今年開始，以后砍伐了n年，則n年后剩余面積為eq\f(\r（2)，2）a（1－x)n。令eq\f（\r（2）,2）a(1－x)n≥eq\f（1，4）a，即(1－x)n≥eq\f(\r（2）,4），eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2））)eq\s\up20（\f（n，10）)≥eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))）eq\s\up20（\f（3，2）),eq\f(n,10）≤eq\f（3,2)，解得n≤15.故今后最多還能砍伐15年．［等級過關練]1．把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是T1(℃),空氣的溫度是T0（℃)，經過t分鐘后物體的溫度T（℃）可由公式T＝T0＋(T1－T0）e－0。25t求得．把溫度是90℃的物體，放在10℃的空氣中冷卻t分鐘后，物體的溫度是50℃,那么t的值約等于（參考數據：ln3≈1。099,ln2≈0.693）A．1。78 B．2.77C．2。89 D．4.40B[由題意可知50＝10＋(90－10）·e－0。25t，整理得e－0.25t＝eq\f（1,2)，即－0.25t＝lneq\f(1,2）＝－ln2≈－0。693，解得t≈2.77。]2．某農貿市場出售西紅柿，當價格上漲時，供給量相應增加，而需求量相應減少,具體調查結果如下表：表1市場供給表單價(元/kg)22。42。83.23.64供給量（1000kg)506070758090表2市場需求表單價(元/kg)43。42。92.62。42需求量（1000kg）506065707580根據上面提供的信息,市場供需平衡點（即供給量和需求量相等時的單價）應在下列哪個區間內（）A．（2。3,2。4） B．(2.4,2.6)C．（2。6,2.8） D．(2。8，2.9）C［當供給量與需求量均為70時，供給單價和需求單價相差最小為0。2,其他的均大于0.2，所以價格在(2。6，2.8)時最有可能達到供需平衡,故選C。]3．某工廠生產某種產品固定成本為2000萬元，并且每生產一單位產品,成本增加10萬元．又知總收入K是單位產品數Q的函數,K（Q）＝40Q－eq\f(1,20)Q2，則總利潤L（Q)的最大值是________萬元．2500［∵每生產一單位成品,成本增加10萬元，∴單位產品數Q時的總成本為2000＋10Q萬元．∵K(Q）＝40Q－eq\f（1，20)Q2，∴利潤L（Q)＝40Q－eq\f(1，20)Q2－10Q－2000＝－eq\f(1，20)Q2＋30Q－2000＝－eq\f（1，20)(Q－300）2＋2500,當Q＝300時，L(Q)的最大值為2500萬元．]4。某電信公司推出兩種手機收費方式：A種方式是月租20元,B種方式是月租0元．一個月本地網內打出的電話時間t(分鐘）與打出電話費s（元）之間的函數關系如圖所示，當打出電話150分鐘時，這兩種方式話費相差________元．10［設A種方式對應的函數解析式為s＝k1t＋20，B種方式對應的函數解析式為s＝k2t.當t＝100時，100k1＋20＝100k2，所以k2－k1＝eq\f(1，5).當t＝150時，150k2－150k1－20＝150×eq\f(1，5)－20＝10。即當打出電話150分鐘時，這兩種方式電話費相差10元．］5．銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別是y1，y2萬元，它們與投入資金x萬元的關系分別為y1＝aeq\r（x＋1)＋m，y2＝bx，(其中m，a，b都為常數），函數y1，y2對應的曲線C1，C2如圖所示．（1）求函數y1，y2的解析式；（2）若該商場一共投資4萬元經銷甲、乙兩種商品，求該商場所獲利潤的最大值．[解](1)由題意eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（m＋a＝0,,3a＋m＝\f（8，5）,)）解得a＝eq\f(4，5)，m＝－eq\f（4,5），y1＝eq\f（4,5)eq\r（x＋1）－eq\f（4,5)(x≥0）．又由題意8b＝eq\f（8,5)得b＝eq\f（1，5）,y2＝eq\f(1,5）x（x≥0)．(2）設銷售甲商品投入資金x萬元,則乙投