（奧數）小升初數學知識點匯總一、質數、倍數、倍數、約數、整除問題1、質數（素數）①只有1和它本身兩個約數的整數稱為質數；②100以內質數共25個：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97；③最小的偶合數是4，最小的奇合數是9；④0、1既不是質數也不是合數。⑤每一個合數分解質因數形式是唯一的。⑥公因數只有1的兩個非零自然數，叫做互質數。2、倍數、約數性質①一個數最小的倍數是這個數本身，沒有最大的倍數；②“0”沒有約數和倍數，一般認為“1”只有約數“1”；③假如幾個數都是某一個數的倍數，那么這幾個數的組合也是某個數的倍數。例如：26、39是13的倍數，則2639也是13的倍數。④一般的數字的約數的個數都是偶數個，但是平方數的約數個數是奇數個。例如：“9”有3個約數（1、3、9），“16”有5個約數（1、二、4、8、16）。⑤約數和倍數必須強調出是哪個數字的約數和倍數。⑥一個數既是它本身的倍數又是它本身的約數。⑦一個數如果有偶約數，則這個數必為偶數。3、整除性質①能被“2”整除的數的特點：末尾數字是“0、2、4、6、8”；②能被“3（9）”整除的數的特點：各位上數字和能被“3（9）”整除；③能被“4（25）”整除的數的特點：末尾兩位能被“4（25）”整除；④能被“5”整除的數的特點：末尾數字是“0或5”；⑤能被“8（125）”整除的數的特點：這個數末三位能被“8（125）”整除；⑥能被“7、11、13”整除的數的特點：這個數從右向左每三位分成一節，用奇數節的和減去偶數節的和，所得到的差能被“7、11、13”整除。如果求余數時，則奇數節和小于偶數節和時，需要將奇數節和加上若干個“7、11、13”，再相減。⑦能被“11”整除的數的另一個特點：這個數奇數位數字和與偶數位數字和的差能被11整除。例如：“”分析：奇數位數字和1+2+1=4，偶數位數字和2+5+8=15，差為11，說明這個數可以被11整除。如果求余數時，則奇數位數字和小于偶數位數字和時，需要將奇數位和加上若干個“11”，再相減。二、公約數、公倍數1、最大公約數：公有質因數的乘積。通常用“（）”表示。2、最小公倍數：公有質因數和獨有公因數的連乘積。用“[]”表示。3、兩個自然數的最小公約數和最大公倍數的乘積=兩個自然數的乘積4、如果兩個自然數是互質數，那么它們的最大公約數是1，最小公倍數是這兩個數的乘積。例如8和9，它們是互質數，所以（8，9）=1，[8，9]=72。5、如果兩個自然數中，較大數是較小數的倍數，那么較小數就是這兩個數的最大公約數，較大數就是這兩個數的最小公倍數。例如18與3，18÷3=6，所以（18，3）=3，[18，3]=18。6、兩個整數分別除以它們的最大公約數，所得的商是互質數。例如8和14分別除以它們的最大公約數2，所得的商分別為4和7，那么4和7是互質數。▲7、根據互質數的意義，相鄰的自然數是互質數，互質數的最大公因數是1，最小公倍數是它們的乘積。8、解題思路和方法（1）求公約數和公倍數一般采用短除法。（2）對于比較大的兩個數求最大公約數（最大公約數一般大于11），也可以采用輾轉相除法。輾轉相除法步驟：用大數（被除數）除以小數（除數）得到余數，所求最大公約數就是除數與余數的最大公約數，再次相除，依次類推，直到余數為0，最后一個除數既是所求的最大公約數。注意：用輾轉相除法求幾個數的最大公約數，可以先求出其中任意兩個數的最大公約數，再求這個最大公約數與第三個數的最大公約數，依次求下去，直到最后一個數為止。最后所得的那個最大公約數，就是所有這些數的最大公約數。例：求319、377的最大公約數，即求（319，377）。解：利用輾轉相除法（319,377）=（377,319）377÷319=1余58（377,319）=（319,58）319÷58=5余29（319,58）=（58,29）58÷29=2余0（58,29）=29所以（319,377）=29三、和差、和倍1、和差：已知兩個數的和與差，求這兩個數各是多少，這類應用題叫和差問題（已知順水和逆水速度求船速和水速）。數量關系：大數=（和+差）÷2；小數=（和-差）÷22、和倍：有兩個數的和及大數是小數的幾倍（或者小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做和倍問題。數量關系：兩個數的和÷（幾倍+1）=較小的數；較小的數×倍數=較大的數四、差倍、倍比1、差倍：有兩個數的差及大數是小數的幾倍（或者小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做差倍問題。數量關系：兩個數的差÷（幾倍-1）=較小的數；較小的數×倍數=較大的數2、倍比：有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，先求出這個倍數，再用倍比的方法算出要求的數，這類應用題叫做倍比問題。數量關系：總量÷一個數量=倍數；另一個數量×倍數=另一總量五、方程求解問題1、定義：把應用題中的未知數用字母x代替，根據等量關系列出含有未知數的等式（方程），通過解這個方程而得到的答案，這個過程叫做列方程解應用題。2、數量關系：方程等號兩邊數量相等。3、解題過程可以概括為“審、設、列、解、驗、答”六字法①審：認真審題，弄清應用題中的已知量和未知量各是什么，問題中的等量關系是什么。②設：把應用題中的未知數設為x。③列：根據所設的未知數和題目中的已知條件，按照等量關系列出方程。④解：求出所列方程的解。⑤驗：檢驗方程的解是否正確，是否符合題意。⑥答：回答題目所問，也就是寫出答問的話。在列方程解應用題是，一般設未知數、列方程、解方程、答語。必須檢驗。注意：設未知數時要在X后面寫上單位名稱，在方程中已知數和未知數都不帶單位名稱，求出的X值也不帶單位名稱，在答語中要寫出單位名稱。六、年齡問題解題關鍵：緊緊抓住兩人的年齡差不變，兩人年齡之間的倍數關系隨著年齡的增長在發生變化。七、雞兔同籠1、一般用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然后以兔換雞。如果先假設都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題解決。2、如果能用方程x，y二元一次方程求解，最好使用方程求解。八、相遇問題1、“相遇”廣義上講，只要兩人在同一地點就算相遇。分兩種情況：（1）迎遇（即我們平時說的相遇問題）（2）追及相遇（即我們平時所說的追及問題）。一般題目說的相遇，我們默認是迎遇，若題目說只要兩人在同一地點就算作一次相遇，那么兩種情況都要算。2、數量關系：①總路程=（甲速+乙速）×相遇時間②甲乙兩人從同一起點出發往返運動多次相遇問題，每迎遇一次，兩人一起走了2個全程。③甲乙兩人從兩端點出發往返運動多次相遇問題，第一次迎遇時，兩人走了1個全程，之后沒迎遇一次，兩人一起走了2個全程。3、柳卡圖（了解）：柳卡圖也叫折線圖，解決復雜的行程問題（多次相遇問題）的有效方法。折線圖往往能夠清晰的體現運動過程中的“相遇次數”，“相遇地點”，以及“由相遇的地點求出全程”。使用折線示意圖法一般需要我們知道每個物體走完全程所用的時間是多少。九、追及問題數量關系：①追及時間=追及路程÷（快速-慢速）②追及路程=（快速-乙速）×追及時間十、列車問題1、火車過橋：過橋時間=（車長+橋長）÷車速2、火車追及：追及時間=（甲車長+乙車長+距離）÷（甲車速-乙車速）3、火車相遇：相遇時間=（甲車長+乙車長+距離）÷（甲車速+乙車速）十一、行船問題1、定義：行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度；船只順水航行的速度（順水速度）是船速和水速之和；船只逆水航行的速度（逆水速度）是船速和水速之差。2、數量關系：①船速=（順水速度+逆水速度）÷2②水速=（順水速度-逆水速度）÷2十二、盈虧問題1、定義：根據一定的人數，分配一定的物品，在兩次分配中，依次有余（盈），依次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數或物品數，這類應用題叫做盈虧問題。2、數量關系：①兩次分配中，如果一次盈一次虧，則有：參加分配總人數=（盈+虧）÷分配差②兩次分配都是盈或都是虧，則有：參加分配總人數=（大盈-小盈）÷分配差參加分配總人數=（大虧-小虧）÷分配差十三、工程問題1、定義：工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在已知條件中常常不給出工作量的具體數量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一件工作”等，在解題時候，常常用單位“1”表示工作總量。2、數量關系：解答工程問題的關鍵是把工作總量看作“1”，工作效率就是工作時間的倒數（它表示單位時間內完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據工作量、工作效率、工作時間三者之間關系列出算式。①工作量=工作效率×工作時間②工作時間=工作量÷工作效率③工作時間=總工作量÷（甲工作效率+乙工作效率）十四、正反比例問題1、正比例關系：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種輛也隨著變化，如果這兩種量中向對應的兩個數的比值，即商一定，那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。2、反比例關系：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。十五、按比例分配問題比的前后項相加求出總份數，各部分占總份數的幾分之幾，再用總量乘以幾分之幾即得各部分量的值。十六、百分比問題1、定義：百分數又叫百分率。是表示一個數是另一個數的百分之幾的數。百分數是一種特殊的分數。分數常常可以通分、約分，而百分數則無需約分。分數的分子、分母必須是自然數，百分數的分子可以是小數；百分數有一個專門的記號“%”2、數量關系：①百分數=比較量÷標準量②標準量=比較量÷百分數十七、商品利潤問題1、定義：在生產經營中，銷售價格高于進貨價的叫盈利，低于進貨價的叫虧本，主要包括成本、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題。2、數量關系：①利潤=售價-進貨價②利潤率=（售價-進貨價）÷進貨價×100%③售價=進貨價×（1+利潤率）④虧損=進貨價-售價⑤虧損率=（進貨價-售價）÷進貨價×100%十八、存款利率問題1、定義：把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個因素有關。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分數；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分數。2、數量關系：①年（月）利率=利息÷本金÷存款年（月）數×100%②利息=本金×存款年（月）數×年（月）利率③本利和=本金+利息=本金×[1+年（月）利率×存款年（月）數]十九、溶液濃度問題1、定義：這類問題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質、溶液這幾個量的關系。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質，溶解后的混合物叫溶液。溶質的量在溶液中的量占百分比叫濃度，也叫百分比濃度。2、數量關系：①溶液=溶劑+溶質②濃度=溶質÷溶液×100%3、一般隨外界因素的變化，溶液的溶劑發生變化，溶質的量不變。二十、牛吃草問題1、“牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊增加（或邊吃邊減少）這個因素。2、數量關系：①草總量=原有草量+草每天增加量×天數②草總量=原有草量-草每天減少量×天數二十一、植樹問題1、定義：按相等的距離植樹，在距離、棵樹、棵距這3個量之間，已知其中兩個量，求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。2、數量關系：①線形植樹棵樹=距離÷棵距+1②環形植樹棵樹=距離÷棵距③方形植樹棵樹=每邊棵樹×4-4④三角形植樹棵樹=每邊棵樹×3-3⑤面積植樹棵樹=面積÷（棵距×行距）二十二、方陣問題1、定義：將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據已知條件求總人數或總物數，這類應用題叫做方陣問題。2、數量關系：①方陣每邊人數與四周人數關系：四周人數=（每邊人數-1）×4每邊人數=四周人數÷4+1②方陣總人數的求法：實心方陣：總人數=每邊人數×每邊人數空心方陣：總人數=（外邊人數）2-（內邊人數）2內邊人數=外邊人數-層數×2（實際無人）內層每邊人數=內層人數÷4-1（實際無人）③若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：總人數=（每邊人數-層數）×層數×43、方陣問題有實心和空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據具體情況確定。二十三、時鐘問題1、定義：時鐘問題就是研究鐘面上時針和分針關系的問題，如兩針重合（0度）、兩針垂直（15格）、兩針成一線（0格或30格）、兩針夾角成60度（10格）、120度（20格）等。時鐘問題可與追及問題相類比。2、數量關系：分針速度是時針的12倍①鐘面的一周為60格，每格6°；每個數字間隔為5格，為30°。②分針每分鐘走1格，為6°；時針每分鐘走1格，為0.5°。12二十四、幻方問題1、定義：把n×n個自然數排在正方形的格子中，使各行、各列以及對角線上的各數之和都相等，這樣的圖叫幻方。最簡單的幻方是三階幻方。2、數量關系：每行、每列、每條對角線上的各數和都相等，這個和叫做“幻和”。①三階幻方的幻和中間數的3倍；②五階幻方的幻和中間數的5倍。二十五、概率和頻率1、頻率：在一次試驗中某一事件出現的次數與試驗總數的比值。2、概率：某一事件所固有的性質。3、頻率是變化的，每次試驗可能不同，概率是穩定值不變。4、在一定條件下頻率可以近似代替概率。二十六、小數、分數、百分數混合運算1、定義①真分子小于分母的分數；②假分子大于或者等于分母的分數；③帶是假分數的另一種形式，由整數和真分數組成；④最簡比：是最簡單的整數比，前項和后項都是整數而且互質；⑤比值：是一個數，可以是整數、分數、小數。2、分數四則運算①分數加減：a.同分母分母不變，分子相加減b.異分母同分（找分母的最小公倍數）c.帶分數加減：整數+/-整數，分數+/-分數②分數乘除：a.乘法：分子×分子，分母×分母，能約分的先在過程中約分b.除法：除以一個數等于乘以它的倒數3、分數、小數、百分數的互化①分數化為小數：用分子除以分母；②小數化為小數數字不變，有幾位小數分母就添幾個“0”，最后化簡；③小數與百分數