高斯-馬爾科夫定理在滿足根本假定的前提下，對于線性回歸模型，普通最小二乘法得到的參數估計量，具有BLUE性質〔最小方差線性無偏估計量〕第10章非線性估計與極大似然估計§10.1非線性估計§10.2極大似然估計法§10.3ARCH模型與GARCH模型§10.1非線性估計前面討論的一方程回歸模型中，它們都是關于參數線性的。通常利用普通LS法、加權LS法等估計這些參數。下面將參數線性模型拓寬到本質上非線性的情形，如模型這些模型無法變換為線性模型，因此線性LS不再適用。但誤差平方和最小化原那么依然可以施行，所得到的參數估計，我們稱為非線性LS估計。思索普通模型其中f是k個自變量X1,X2,…,Xk和p個參數β1,β2,…,βp的非線性函數。假設具有Y與X1,X2,…,Xk的T個觀測，利用誤差平方和最小化可得參數的非線性LS估計：1、非線性估計的計算方法求解參數的非線性LS估計，要比線性模型的LS估計復雜的多，通常采用數值解法。以下三種方法較常見：⑴直接查找法：是指對不同的參數值比較誤差平方和S函數的值，使S最小的那組值就是參數的估計值。這種方法適用于一切參數僅有假設干取值的情形。⑵直接優化法誤差平方和S關于各參數求偏導，得到相應的正規方程經過求解正規方程組，獲得參數估計。由于正規方程關于參數是非線性的，通常采用數值解法如梯度法(參數從初始數值集朝使函數值下降最快的方向逼近，亦稱最速下降法)⑶循環線性化法是指將非線性方程在某個參數的初始數值集附近線性化，然后用普通LS法得到參數的新數值集；再把非線性方程在新的數值集附近重新線性化，用普通LS法得到參數更新的數值集，如此循環反復直至數值集變化很小(即數值集收斂)，作為參數的最終取值。其中利用了關于以參數為變元函數的一階泰勒級數展開式上式可變形為這是關于參數的線性模型，用普通LS法可以得到參數的LS解，作為參數新的數值集，交換(10.1)式的初始數值集。如此循環下去直至這里δ為指定的一個正數，如0.01。2、非線性回歸方程的評價由于非線性回歸方程的殘差不再服從正態分布，因此殘差平方和也不再服從Χ2分布，原來線性模型中的F分布、t分布不在適用了。但擬合優度R2依然是有用的3、非線性回歸方程的預測一旦得到了非線性方程的估計，就可以用它來預測。因此Y的點預測為但由于YT+1不再服從正態分布，因此其預測區間無法類似于第8章那樣給出。但經過參數服從正態分布的假定，利用蒙特卡羅模擬方法，可以得到YT+1的一個近似預測區間。下面闡明模型的預測區間產生方法。⑴確定蒙特卡羅模擬方程其中β0,β1,β2是最后一次循環線性回歸參數的數值解，利用殘差平方和及參數估計的規范差構造相應的正態隨機變量ε與η0,η1,η2，它們均值都等于0，規范差為對應值。⑵產生ε與η0,η1,η2的正態隨機數，由上式可以計算YT+1的預測值。⑶反復第二步100至200次，獲得YT+1的預測值的樣本規范差，從而得到YT+1的近似預測區間。§10.2極大似然估計法參數極大似然估計，在普通情況下具有一致性和漸近有效性這兩個優良性質。1、極大似然估計法如今先從最簡單的一元線性模型闡明極大似然估計法Yi的密度函數為那么似然函數是密度函數在一切N個觀測取值的乘積，即極大似然估計的目的是尋覓最能夠生成樣本觀測Y1,…,YN的參數α,β,σ2的值，即使對數似然函數logL最大的參數值。對數似然函數關于參數求偏導可得

解出參數α,β,σ2的值，就得到了對應參數的極大似然估計。不難發現方程組中含α,β的前兩個方程與普通LS估計是一樣的。σ2的極大似然估計為對普通非線性模型ε服從N(0,σ2)，其對數似然函數定義為類似于一元線性模型可以求出參數的極大似然估計，只是在許多情況下β只能得到數值解，但總有有趣的是可以得到各個參數β估計方差的近似值2、似然比檢驗下面用極大似然比檢驗模型中一些參數β=0的原假設。用L(βUR)表示沒有限制條件時對數似然函數的最大值，L(βR)表示有限制條件時對數似然函數的最大值，顯然有L(βUR)≥L(βR)，假設原假設成立，兩者應非常接近。λ稱為似然比。通常更多地思索兩者的差，即統計量其中m為限制條件個數。假設統計量大于臨界值，就以為兩者存在較大的差別，即原假設不成立，這些參數不為0。對數似然函數關于參數求偏導可得不難發現方程組中含α,β的前兩個方程與普通LS估計是一樣的。而無條件模型有⑶反復第二步100至200次，獲得YT+1的預測值的樣本規范差，從而得到YT+1的近似預測區間。再把非線性方程在新的數值集附近重新線性化，用普通LS法得到參數更新的數值集，如此循環反復直至數值集變化很小(即數值集收斂)，作為參數的最終取值。殘差對解釋變量X回歸：對于一元線性模型q=1，k=2，3、非線性回歸方程的預測由于正規方程關于參數是非線性的，通常采用數值解法如梯度法(參數從初始數值集朝使函數值下降最快的方向逼近，亦稱最速下降法)對q個變量中每一個系數都等于0的原假設，LM檢驗法首先計算有條件模型的殘差，然后將殘差對無條件模型中的K個解釋變量(k-q+q)進展回歸：5)就構成了一個ARCH模型。5)式中又出現了誤差項方差的滯后項(相當于第9章的幾何滯后模型)，那么稱模型為GARCH模型(廣義自回歸條件異方差模型)。這從另一個側面闡明最小誤差平方和的參數估計準那么，具有很好的性質。對于非線性模型來說，由于R2最大等價于誤差平方和最小，擬合優度R2仍是評價一個模型好壞的規范。假設統計量大于臨界值，就以為兩者存在較大的差別，即原假設不成立，這些參數不為0。3、一個運用：Box-Cox模型思索下面的Box-Cox模型當參數λ=1時，模型化為線性模型當λ趨于0時，有所以對X作類似處置，Box-Cox模型化為對數線性模型實踐上Box-Cox模型是廣義的非線性模型，參數λ當然也不是隨意指定，通?？山涍^極大似然法獲得。下面先思索Y的似然函數兩邊對yi求導數可得所以Y的對數似然函數為從這個對數似然函數最大化，可以求得λ的數值解。假設，Yg是Y值N個觀測的幾何平均；對Y的原始觀測進展如下數據變換Y*=Y/Yg，那么線性模型λ=1：對數線性模型λ=0：顯然這樣兩者的對數似然函數方式(第一項都為0)就完全一致了，α,β的極大似然估計不僅方式一致且等價于LS估計。這從另一個側面闡明最小誤差平方和的參數估計準那么，具有很好的性質。對于非線性模型來說，由于R2最大等價于誤差平方和最小，擬合優度R2仍是評價一個模型好壞的規范。4、拉格朗日乘數(LM)檢驗法利用F分布對參數進展結合檢驗，這一方法也稱為Wald檢驗法(其范圍更廣)。它從無限制條件模型開場，檢驗給模型加上限制條件(某些參數β=0)能否減弱了回歸模型的解釋才干。而LM檢驗法，卻是從限制條件出發，檢驗假設向無條件限制方向變化能否能顯著提高模型的解釋才干。LM檢驗法也以極大似然函數為根底。LM檢驗法是最大化以下目的函數由極大化的一階偏導條件可得λ稱為拉格朗日乘數。假設限制條件是有效的，參與它們將不導致目的函數最大化值的顯著不同，即λ值將很小，因此有統計量為LM檢驗法可以很容易地用于思索能否在回歸模型中參與另外解釋變量的情形。假設曾經估計了有條件模型下面思索對另外q個變量全部或部分參與的無條件模型。對q個變量中每一個系數都等于0的原假設，LM檢驗法首先計算有條件模型的殘差，然后將殘差對無條件模型中的K個解釋變量(k-q+q)進展回歸：假設參與的q個解釋變量可以加強回歸方程的解釋才干，那么(10.3)式擬合優度就應在較高的程度，有統計量假設LM超出臨界值，那么就回絕有條件模型。第6章異方差的White檢驗可以看作是LM檢驗法的特例。5、Wald檢驗、似然比檢驗和LM檢驗的比較它們是三個最普遍運用的檢驗過程。下面以一元線性模型為例，闡明三者間的關系。Wald檢驗統計量為對于一元線性模型q=1，k=2，⑴Wald檢驗簡化為這里有條件模型，LS估計所以⑵LM統計量有條件模型的殘差殘差對解釋變量X回歸：因此所以LM統計量為⑶似然比檢驗統計量對極大對數似然函數，有有條件模型殘差因此而無條件模型有所以因此三種檢驗是漸近等價的，即假設樣本容量充分大，它們得出同樣的檢驗結果。但是在普通情況下，三個檢驗確實是不同的，能夠會給出不同甚至相互矛盾的結果。對于線性模型，在一樣樣本情況下，Wald統計量總是最大的，而LM統計量總是最小的。因此LM檢驗回絕有條件模型，其它兩種檢驗也必然回絕?！?0.3ARCH與GARCH模型在第6章異方差問題的討論中，我們思索了誤差項方差直接隨一個或多個自變量變化的情形，經過修正可以得到更有效的參數估計。這里將進一步討論誤差項的方差隨著時間變化，依賴于過去誤差大小的問題。⑴ARCH模型(自回歸條件異方差)假定誤差項的方差滿足留意表達式中含有平方，與自回歸明顯不同。該式闡明方差由兩部分組成，一個常數項，另一項稱為ARCH項。ARCH項是前一時辰的誤差項的平方，因此εt存在著以εt-1為條件的異方差。下面以二元線性模型為例。(10.4)和(10.5)就構成了一個ARCH模型。(10.5)式更普通的方式這里誤差項滯后p期，記為ARCH(p)。⑵GARCH模型(廣義自回歸條件異方差)假設(10.5)式中又出現了誤差項方差的滯后項(相當于第9章的幾何滯后模型)，那么稱模型為GARCH模型(廣義自回歸條件異方差