高中數學微積分一、導數1．導數的定義定義：設函數yfx在點x0的某鄰域內有定義，若極限limfxfx0存在，xx0xx0則稱函數f在點x處可導，并稱該極限值為函數f在點x處的導數，記為fx0（或00y|xxdy|xxdf|xx）．若令xx0x，yfx0xfx0，則，，0dx0dx0fxfx0fx0xfx0fx0．因此，導數是函數增量limxx0可改寫為limxxx0x0y與自變量增量x之比的極限．這個增量比稱為函數對于自變量的均勻變化率（又稱差商），而導數fx則為f在x0處對于x的變化率．若limfxfx0極限不存在，則0xx0xx0稱f在點x0處不行導．2．導函數若函數在區間I上每一點都可導（對區間端點，僅考慮相應的單側導數），則稱f為I上的可導函數．此時，對每一個xI，都有f的一個導數fx（或單側導數）與之對應，這樣就定義了一個在I上的函數，稱為f在I上的導函數，也簡稱為導數，記為f或y，即fxlimfxxfx，xI．x0x3．導數的幾何意義函數f在點x0處的導數fx0是曲線yfx在點x0,y0處的切線斜率．曲線yfx在點x0，y0處的切線方程為yy0fx0xx0．4．求導法例（1）基本求導法例①uvuv；②uvuvuv，cucu（c為常數）；③uuvuv，1v；vv2vv2④反函數導數dy1；dxdxdy⑤復合函數導數dydydu．dxdudx2）基本初等函數導數公式①c0（c為常數）；②xx1（為隨意實數）；③sinxcosx，cosxsinx；④tanxsec2x，cotxcsc2x，secxsecxtanx，cscxcscxcotx；⑤axaxlna，exex．⑥logax1，lnx1．xlnax5．導數的應用（1）判斷函數單一性定理：設函數fx在區間I上可導，則fx在I上遞加（減）的充要條件是fx00．推論：設函數fx在區間I上可導，若fx00，則fx在區間I上嚴格遞增（嚴格遞減）．2）函數的極值定義：若函數fx在點x0的某鄰域Ux0內對全部xUx0有fx0fxfx0fx，則稱函數fx在點x0獲得極大（小）值，稱點x0為極大（小）值點．極大值和極小值統稱為極值；極大值點和極小值點統稱為極值點．（3）最值對于閉區間a,b上的連續函數fx，我們只需比較f在全部穩固點、不行導點和區間端點上的函數值，就能從中找到f在區間a,b上的最大值與最小值．二、定積分1.定義：設f是定義在a，b上的一個函數，J是一個確立的實數．若對任給的正數，總存在某一正數，使得對a，b的任何切割T，以及在其上隨意選用的點集i，只需n，則稱函數f在區間a，b上可積或黎曼可積；數JT，就有fixiJi1稱為fa，b上的定積分或黎曼積分，記為Jb在區間fxdx，此中f稱為被積函數，ax稱為積分變量，a，b稱為積分區間，a,b分別稱為這個定積分的下限和上限．牛頓—萊布尼茨公式：若函數f在a，b上連續，且存在原函數F，即Fxfx，xa，b，則f在a,b上可積，且bFbFafxdx，這稱abxdxFx|ab．為牛頓—萊布尼茨公式，它也常寫為af2.幾何意義：對于a,b上的連續函數f，當fx0，xa，b，定積分的幾何意義就是yfx，xa，xb，y0所圍成的曲邊梯形的面積；當fx0，xa，b時，這時Jbxdx是位于x軸下方的曲邊梯形面積的相反數，不如fa稱之為“負面積”；對于一般非定號的fx而言，定積分J的值則是曲線yfx在x軸上方部分全部曲邊梯形的正面積與下方部分全部曲邊梯形的負面積的代數和．3.性質：性質1：若f在a,b上可積，k為常數，則kf在a，b上也可積，且bbxdx．kfxdxkfaa性質2：若f、g都在a,b上可積，則fg在a，b上也可積，且bbfxdxbfxgxdxgxdx．aaa性質3：若f、g都在a，b上可積，則fg在a，b上也可積．性質4：f在a,b上可積的充要條件是：任給ca,b，f在a，b與a，b上bfxdxcxdxbxdx．都可積．此時又有等式ffaac性質5：設f為a,b上的可積函數．若fx0，xa,bbfxdx0．，則a性質6：若f在a,b上可積，則f在a，bbfxdxbxdx．上也可積，且faa性質7：（積分第一中值定理）若f在a，b上連續，則起碼存在一點a，b，bxdxfba．使得faxftdt，xa,b則Fx在a，b上性質8：設f在a，b上連續，若Fxa到處可導．4.定積分的應用①求平面圖形的面積：由連續曲線

yfx(0)以及直線xa，xbab，y0所圍成的曲邊梯形的面積為Abxdxbfydx，假如f在a，b上不都是非aabfxdxb負的，則所圍成圖形的面積為Aydx．一般地，由上、下兩條連續曲線aayf2x與yf1x以及兩條直線xa，xbab所圍成的平面圖形的面積為bAf2xf1xdx．a三、例題選講例1求以下函數的導數．（1）yx5x3x；（2）（3）yx；（4）1x

ysinxcosx；yx2cosx3x1．分析：依據求導法例及四則運算進行求解．（1）yx5x3x5x43x21；（2）ysinxcosxcosxsinx；（3）yxx1xx1x1；1x1x21x2（4）yx2cosxx2cosx32xcosxx2sinx3．例2求過曲線y2lnx上點Ae，2處的切線方程．分析：利用導數的幾何意義獲得切線斜率是解題重點．y2lnx2，由導數x的幾何意義，曲線在點Ae，2處的斜率k2|xe2，故所求的切線方程為2xxey2e，即2xey0．e例3求yx42x28的單一區間．分析：令y4x34x4xx214xx1x10，得x10，x21，x31，列表以下：x，11，00，11，fx小于0大于0小于0大于0fx單一遞減單一遞加單一遞減單一遞加因此fx在區間1，0，1，上單一遞加；在區間，1，0，1上單一遞減．例4已知函數fxx31x2bxc．2（1）若fx有極值，求b的取值范圍；（2）若fx在x1處獲得極值，當x1，2時，fxc2恒建立，求c的取值范圍；（3）若fx在x1處獲得極值時，證明：對1，2內的隨意兩個值x1，x2，都有fx1fx27．21（1）fx3x2xb，令fx0，由0，得112b0，即b12（2）由于fx在x1處獲得極值，故f10，即31b0，得b2，令fx0，得x122，1，1，2時，經比較，當x2時，，x21，當x的取值為33fxmax2c，因此2cc2，解得c2或c1；（3）能夠計算得fxmax2c，fxmin3c，因此對1，2內的隨意兩個值2x1，x2，都有fx1fx22c3c7．22例5計算：12dx；（1）x20（2）2xcosxdx；02ax2bxdx，此中a，b為實數．（3）1（1）1213117分析：x2dxx2x|020；3331x22（2）2xcosxdxsinx|021；028（3）ax2bxdxax3