第三章

線性空間與線性變換線性空間是線性代數最基本的概念之一，也是一個抽象的概念，它是向量空間概念的推廣．線性空間是為了解決實際問題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個抽象，即把實際問題看作線性空間，進而通過研究線性空間來解決實際問題．§3.4

線性空間、基、維數和坐標—

數域定義3.1.1

設F

是數的集合，若其滿足（1）0,1

F（2）對F中任意兩個a,b，總有a＋b,a-b,a×b,a÷b(b

0)

F則稱F

是一個數域。條件（2）稱為F對數的加、減、乘、除四種運算封閉。易證：自然數集N

與整數集Z

不是數域。有理數集Q，實數集R，復數集C是數域，分別稱為有理數域，實數域，復數域。（3）Q

是最小的數域，任意數域包含Q。(4)除Q、R、C

以外，還有許多其它的數域。設F

是數域，分量取自F

的向量稱為F上的向量，F上全部n

元向量的集合記為F

n

.同理，元素取自F

的矩陣稱為F

上的矩陣，F上全部m

n矩陣的集合記為F

mn

.F

n

{(a1,,

an

)

|

ai

F

,

i

1,,

n}F

mn

{[aij

]mn

|

aij

F

,

i

1,2,,

m；j

1,2,,

n}F

[x]

{a0

a1

x

a2

x

an

x

|

ai

F

,2

ni

0,1,,

n；n

0,1,2,}F

[x]n

{

f

(

x)

|

f

(

x)

F

[x]

,f

(

x)的次數小于n,

或f

(

x)

0}C[a,b]

{f

(x)|

f

(x)是閉區間[a,b]上的連續函數}在數學研究的對象中,有很多類型的集合,可以在其中定義加法運算和由給定數域中的數與集合的元間定義數乘運算,使集合對兩種運算封閉并且滿足與向量的線性運算性質2.1.1相同的八條規則.不關心具體的對象和兩種運算的具體含義,將集合對兩種運算的封閉性及運算滿足的規則抽象出來,就形成了抽象的線性空間的概念.定義3.4.1

設V

是一個非空集合，F

為數域．在V中定義了兩種運算，一種運算稱為加法：如果對于任意兩個元素

,

∈V，總有唯一的一個元素

∈V

與之對應，稱為元素與的和，記作

另一種運算稱為數量乘法：若對于任一數k∈F與任一元素

∈V，總有唯一的一個元素

∈V與之對應，稱為k與的數量積，記作

k二

線性空間的定義如果上述的兩種運算滿足以下八條運算規律，那么

V

就稱為數域F上的線性空間：對

,

,

V

,

,

F，總有(1)

;(2)

;(3)

在V中存在零元素

,

對任何

V

,

都有

;對任何

V

,都存在

的負元素

(

)

;1

;(6)

;(7)

;(8)

V

,使線性空間中的元素也稱為向量.線性空間中的向量不一定是有序數組．判別線性空間的方法：一個集合，對于定義的加法和數乘運算不封閉，或者運算不滿足八條規則的任一條，則此集合就不能構成線性空間．說明1．凡滿足以上八條規律的加法及數乘運算，稱為線性運算．（１）一個集合，如果定義的加法和乘數運算是通常的實數間的加、乘運算，則只需檢驗對運算的封閉性．線性空間的判定方法例3.4.1F

n

對向量的加法及數與向量的數量乘法，構成數域F上的線性空間，稱為向量空間。例如實向量空間Rn，復向量空間Cn

，零空間{

}。平面空間就是R2

， 空間就是R3

。例3.1.2

設

A∈Fm×n,

則齊次線性方程組

AX

=

0的全部解向量的集合構成

F

上的向量空間，稱之為齊次線性方程組

AX

=

0

的解空間，也可稱之為矩陣

A

的零空間，記為

N(A). 顯然

N(A)

Fn

.

Amn

Bmn

Cmn

,Fmn是一個線性空間.Amn

Dmn

,例3.4.2F

m×n對矩陣的加法及數與矩陣的數量乘法，構成數域F上的線性空間,稱為矩陣空間。例如實矩

陣空間Rm×n。例3.4.3

F[x]對多項式的加法及數與多項式的乘法，構成數域F上的線性空間，稱為多項式空間。特別地，

F[x]n對多項式的加法及數與多項式的乘法，也構成數域F上的線性空間，也稱為多項式空間。通常的多項式加法、數與多項式的乘法兩種運算滿足線性運算規律．(an1xn1

a1x

a0

)

(bn1xn1

b1x

b0

)

(an1

bn1)xn1

n

(a1

b1)x

(a0

b0

)

F[x](an1xn1

(an1)xn1

n

a1x

a0

)

(a1)x

(a0

)

F[x]F[x]對運算封閉.n例3.4.4

C[a,b]對函數的加法及實數與函數的乘法，構成實數域R上的線性空間,稱為函數空間。例令V

{(a1,,

an

)

Rn

|

a1

an

1}則V

不構成向量空間。Q[

x]n

{an

xn

an

,例

n次多項式的全體

a1x

a0

|,a0

R且an

0}對于通常的多項式加法和乘數運算不構成線性空間.n0(an

xn

a1x

a0

)

0xn

0x

0

Q[

x]Q[x]n

對運算不封閉.(2)一個集合，如果定義的加法和乘數運算不是通常的實數間的加、乘運算，則必需檢驗是否滿足八條線性運算規律．例3.4.5正實數的全體，記作R

，在其中定義加法及乘數運算為a

b

ab,

a

a

,

R,

a,

b

R

.驗證R

對上述加法與乘數運算構成線性空間．證明a,

b

R

,

a

R,

a

R

,

a

a

R

.所以對定義的加法與乘數運算封閉．下面一一驗證八條線性運算規律：(1)

a

b

ab

ba

b

a;(2)(a

b)

c

(ab)

c

(ab)c

a

(b

c);(3)

R中存在零元素1a

1

a

1

a;(4)

a

R

,有負元素a1

R

,使a

a1

a

a1

1;(5)

1

a

(6)

a

a

a

a

a;(7)

a

a;(8)

(a

b)

(a

a

b

a

b.所以R

對所定義的運算構成線性空間．零元素是唯一的．負元素是唯一的．0

0;

1

;

0

0.4．如果

0，則

0

或

0.線性空間的性質1．零元素是唯一的證明

假設01

,02

是線性空間V中的兩個零元素，則對任何

V

，有

01

,

02

由于

01

,02

V

,所以02

01

02

, 01

02

01

01

01

02

02

01

022．負元素是唯一的證明假設 有兩個負元素

與

，那么

0,

0

0

0

則有元素 的負元素記為

。

1

;

0

03．

0

0;證明

0

1

0

1

0

0

0（零元素的唯一性）

1

1

1

1

1

0

0

1

（負元素的唯一性）0

1

0

04．如果

0，則

0

或

0證明若

0,

那么1

1

0

0

。

1

1

，故

0

。

又若

0

,

則有

0

0

。三線性子空間定義3.5.1設V是數域F

上的線性空間，W是V

的一個非空子集。若W

對V

的兩種線性運算也構成F

上的線性空間，則稱W

是V

的線性子空間，簡稱子空間。定理3.5.1設V

是數域F

上的線性空間，W是V

的一個非空子集。若W

滿足(1)對任意

,

∈W,均有

+

∈W；(2)對任意

∈W

以及任意k

∈F，均有k

∈W，則W

是V

的子空間。如何證明W是V的子空間：(1)W是V的非空子集;(2)W對加法與數乘運算封閉.

311

2

3

1

2

3x

,

x

,

x(1)

W

R

x

x

x

0;(2)

W

2

x1,

x

2,

x

3

R

x

x

x

1.31

2

3解

(1)

構成子空間.

（2）不構成子空間。例3.1.3設V是線性空間，則V一定包含零向量。同時,V本身及{

}都是V的子空間,稱它們為V的平凡子空間。V的其它子空間，如果還有的話，均稱為非平凡子空間。例3.1.4

R3

的下列子集是否構成R3的子空間？為什么？構成V

的子空間，稱為由1,2,…,m

生成的子空間，記為L(1,2,…,m)。定理3.1.1

設

V

是數域

F

上的線性空間,1,2,…,m

是V

中m

個向量，則V

的子集合k11

k22

...

kmm

k1

,k2

,...,km

F證顯然V

是非空的。任取數c∈F

以及L(1,2,…,m)中的兩個向量

=k11+k22+…+kmm

,

=l11+l22+…+lmm

,有

(k11

k22

kmm

)

(l11

l22

lmm

)=(k1

l1

)1

(k2

l2

)2

(km

lm

)m

L(1

,2

,

,m

)例3.1.5設X1

,X2

,...,Xt

是齊次線性方程組AX=0的一個基礎解系，則N

(A

)

L(X

1,

X

2,

...,

X

t

)c

c(k11

k22

kmm

)=(ck1

)1

(ck2

)2

(ckm

)m

L(1

,2

,

,m

)故由定理3.5.1,

L(1,

2,

…,

m)

構成線性空間，亦即為V的子空間。例3.1.6設A

F

m

n

，把A按列分塊A

1,2

,...,n

則

L(1,2

,...,n

)

是

F

m的列空間，記為R(A)。的子空間，稱之為矩陣A結論：線性方程組AX

b

有解

b

R(A)。此外，R(AT

)是由A

的行向量組生成的子空間，也稱為矩陣A

的行空間。例3.5.2

設1

,,

s與1

,,t

是線性空間V

的兩組向量，則L(1

,2

,,

s

)

L(1

,2

,,t

)的充分必要性是{1

,2

,,

s

}

{1

,

2

,,

t

}.證

充分性

設

{1

,2

,,

s

}

{1

,

2

,,

t

}.任取

L(1

,2

,,

s

),則可由1

,2

,,

s

線性表出。又1

,2

,,

s

可由1

,2

,,t

線性表出，故可由1

,2

,,t

線性表出。所以

L(1

,2

,,t

)由此得L(1

,2

,,s

)

L(1

,

2

,,

t

)同理可證

L(1

,

2

,,

t

)

L(1

,2

,,s

).L(1

,2

,,s

)

L(1

,

2

,,

t

).必要性

設L(1

,2

,,s

)

L(1

,

2

,,

t

)因故1

,2

,,

s

L(1

,2

,,

s

)

L(1

,

2

,,

t

)可由線性表出。同理1

2

,

,1

2

s

,

,,1

2

t

,

,,

,

t

也可由

1

,2

,,

s

線性表出。所以{1

,2

,,

s

}

{1

,

2

,,

t

}.于是定理3.5.2設W1

,W2是線性空間V的兩個子空間，則W1

W2也是V

的子空間。稱之為W1與W2的交空間。證明因W1

,W2是V

子空間，故V

的零向量同時屬于W1

,W2

，即

W1

W2

。所以W1

W2

是V

的非空子集。任取

,

W1

W2

，則

,

W1。因W1

是子空間，故 。同理，故。

W

W1

2

1

2

W

W任取

W1

W2

,k

F

,

則由

W1

可得k

W1

.同理可證k

W2

。所以k

W1

W2。根據子空間的判別定理，可知W1

W2

是子空間。定理3.5.3

設

W1

,W2

是線性空間V的兩個子空間，則下列集合也是V

的子空間,稱之為W與W

的和空間,記為W

W

.1

2

1

2{1

2

|1

W1

,2

W2

}因

，故

W1

W2

.證

說明W1

W2

是V的非空子集。里1,1

W1,2

,2

W2。因1

1

W1,2

2

W2

,故

1

2

1

2

1

1

2

2

W1

W2任取

,

W1

W2,則

1

2

,

1

2

,這任取

W1

W2

,k

F,則

1

2

,k

k(1

2

)

k1

k2

W1

W2

.于是

W1

W2

是子空間。其中

1

W1

,

2

W2

。又k1

W1

,

k2

W2

,故2注

一般W1

W

不再是子空間。為了便于利用第二章關于向量組線性相關性的概念與結論，以后把線性空間的元素也稱為向量。已知在Rn中，線性無關的向量組最多由n

個向量組成，而任意n+1個向量都是線性相關的。并且Rn中任一個向量均可由（線性無關的）基本向量組{1,2

,…,n}線性表出,而表出的系數就是該向量的分量。四 線性空間的基、維數與坐標問題性空間V

中，最多能有多少線性無關的向量？---維數線性空間的向量可否由其中的一組線性無關的向量線性表示?

---

基向量由基表示的系數----坐標注意第二章第1,2節的概念與結論均可推廣到線性空間中。定義3.4.2如果能從線性空間V

中找到有限個向量1,2

,,m，使V

中任一向量均可由1,2

,,m線性表出，則稱V是有限維線性空間。否則，就稱V是無限維線性空間。結論線性空間V

是有限維的充要條件是V

中線性無關向量的最大個數是有限的。例3.4.6向量空間F

n，矩陣空間Fmn，多項式空間F[x]n都是有限維的,而F[x]與函數空間C[a,b]都是無限維的。1.基、維數證明

令則有。對任意

a11

a22

ann所以F

n

是有限維的。令Iij

(i

=1,2,

…,m;j

=1,2,…,n)表示(i,j)-元為1、其余元素均為零的m×n矩陣，則這些矩陣均1

1,0,,0,2

0,1,,0,,n

0,,0,1nn1,

2

,,

Fnn1

2a

,a

,,a

F

在

Fm×n中。對任意

A=[aij]m×n有A

aij

Iiji

,

j，故Fm×n是有限維的。令f1

1,

f2

x,

f3

x2

,,

fn

xn1則對任意f

x

a0

a1

x

a2

x2

an1

xn1

Fx

n均有f

x

a0

f1

a1

f2

an1

fn所以Fx

n

是有限維的。對任一正整數N，考慮F[x]中的N個多項式1,x,x2

,,x

N

1

，顯然對于任意N個不全為零的數a0

,a1,a2

,,aN

1

，多項式a0

a1

x

a2

x2

aN

1

x

N

1不是零多項式，即

a0

a1

x

aN

1

x

N

1

0

，所以1,x,x2

,,x

N

1

線性無關。于是F[x]是無限維的。同理可證，Ca,b

也是無限維的。定義3.4.3

設V

是數域

F

上的線性空間，如果V

中存在

m

個向量

1

,2

,,m

,

滿足：(1)(2)

V

中任一向量

均可由1

,2

,,m線性表出，即存在m

個數a1,a2

,,am

F，使

a11

a22

amm則稱1

,2

,,m

是線性空間V

的一個基。結論有限維線性空間一定存在基，并且每個基包含的向量個數相同。1

,2

,,m

線性無關；定義3.4.4有限維線性空間V的任一個基所包含的向量個數稱為V

的維數，記為維(V

)或

dim(V

)。維數為n的線性空間稱為n

維線性空間,記作Vn.若1

,2

,,n為Vn的一個基,則Vn可表示為x1

,

x2

,

x22

xnnVn

x11

,

xn

F

例3.2.1

設F

是數域，在向量空間F

n

中考慮n元基本向量組1

(1,0,,0),2

(0,1,0,,0),,n

(0,0,,1)因

(a1,a2

,,an

)

Fn，均有

a11

a22

ann且

1,2

,,n

線性無關，故1,2

,,n是向量空間F

n

的一組基（稱之為

F

n

的自然基），同時維(

F

n)

=

n。

0

1

0

0

1

00

0

0

1,0

0

0

0

1

022I

2112I11I,

I,

,

k3

k4

k

k2

k4

I

22k3

I

21k2

I12k1

I111有例所有二階實矩陣組成的集合V

，對于矩陣的加法和數量乘法，構成實數域R上的一個線性空間。對于V

中的矩陣

,000

O

0k2

I12

k3

I

21

k4

I

22k1

I11因此12

V

,a22

11

a21a

aA

k1

k

2

k

3

k

3

0,即I11,I12

,I

21,I

22線性無關.對于任意二階實矩陣因此I11,I12,I21,I22為V的一組基.A

a11

I11

a12

I12

a21

I

21

a22

I

22有例3.4.7F

n的維數是n,Fn[x]的維數是n.F

n

有基

,

,,1

2

nF

mn

有基F

mn的維數是m

n,F[x]n有基1,x,x2

,,xn1

,自然基例3.2.2

（齊次線性方程組解空間的基和維數）設

A

F

m

n

，秩(

A)

r

(1

r

n)

，則N

(A)是F

n

的子空間。任取齊次線性方程組AX

0的一個基礎解系

X1,

X2

,...,

Xnr

，容易看出它們就是N

(A)的一個此維[N

(A)]=n

r。例求齊次線性方程組xxx0xxx0

xxxx0

x5xx

043的解空間的一個基和維數。解已知該方程組有基礎解系X1

（

2，1，0，0，0）,2因此，其解空間維數是2。的一個基為，且其N

(

A)21X

,

X例3.2.3

（向量組生成的向量空間的基和維數）（1）向量組1,2

,,m

的極大無關組都是生成子空間

L(1,2

,...,m

)

的基；（2）維[L(1,2

,,m

)]=秩{1,2

,,m

}定理3.2.1

設A

F

mn

，則維(N

(A))+維(R(AT

))=n注

未知數的個數＋秩(A)＝未知數的個數定理3.4.1

n維線性空間

V

中任意

n個線性無關的向量均構成

V的基。例3.2.6

已知R4

中的三個向量1

(1,2,求L(1,2

,3

)的一個基及維數，并將這個基擴充為R4

的一個基。解令A

[1

,由此得向量組1,2

,3的秩為2，且1,2

是一個極大無關組。于是，生成子空間L(1,2

,3

)的維數是2，且1,2

是它的一個基。構造向量4

(0,

0,1,

0),

5

(0,

0,

0,1)，由于1

2

4

5

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

2

1

0

0

0

1

1

10

0

1

0

[

,

,

,

]

00

00

01

12

行逆向

1

,2

,4

,5

線性無關，即可作為R4

的一個基。因此，只需取4

(0,0,1,0),5

(0,0,0,2)，則2.向量關于給定基的坐標定義3.2.2

(3.4.5)設1,