勒讓德（Legendre）多項式－－－－－－特殊函數之二1Legendre方程的導出§6.1

Legendre方程及其求解引例：求解下列問題用分離變量法求解。令在球坐標下方程為代入方程得n為實數或復數Euler方程m是正整數，以保證以為周期連帶的勒讓德方程

勒讓德方程

2.Legendre方程的解用冪級數法求解該方程。由常微分方程理論，設方程的解為各階導數為代入方程，整理，得注意于是由冪級數展式的唯一性，有于是其中為任意常數，則方程的解為由

的任意性知，下列兩個函數也是方程的解：的性質：（１）線性無關，故得到了Legendre方程的通解（２）收斂區間均為（－１，１），在端點發散，因而Legendre方程在[-1,1]內沒有有界解。（3）當n是正整數時，一個解為多項式Pn(x)，在[-1,1]有界，另一個仍為無窮級數，記為Qn(x)，在[-1,1]內無界，通解為Qn(x)稱為第二類Legendre函數。§6.2

勒讓德多項式討論勒讓德方程中的參數n，考察系數遞推關系式情形（１）當n不取整數時，若不為零，則不為零，這時均為無窮級數，且收斂域為（-1,1）情形（２）當n取整數（包括零）時，中有一個是多項式，另一個是無窮級數。1.Legendre多項式如n=4，這時如n=-4，這時如n=5，這時不妨取n為非負整數，那么對應多項式結構如何？這時取，代入上式，并化簡得分析n的奇偶性：當n為偶數時，有系數，對應多項式為關于x的偶次方的多項式當n為奇數時，有系數，對應多項式為關于x的奇次方的多項式n次Legendre多項式統一寫法，有稱為n次Legendre多項式或第一類Legendre多項式Legendre多項式微分形式或稱為羅德利克公式：前幾次Legendre多項式及其圖形注意其定義域2.Legendre多項式的母函數證明：稱為w(x,z)為Pn(x)的母函數。對函數w(x,z)，當時，在單位圓內是解析函數，于是由復變函數理論，將w(x,z)展成冪級數其中C是單位圓內包含原點z=0的任何封閉曲線。做自變量代換，即則顯然，z平面上的點O對應于u平面上的點x，z沿C一周，相應的u繞點x也沿某閉曲線C’一周，因此又于是3.Legendre多項式的性質x=1x=-1x=0基本性質以-x代x以-z代z奇偶性

遞推公式

對z求導

對x求導

｝整理得即｝整理得正交性

在[-1,1]上正交，即先證明：所以證畢例1計算例2計算解故4.Fourier-Legendre級數結論：若在內分段光滑，且則在連續處有其中在不連續處有解：設例2：將在[-1,1]內展成勒讓德多項式的級數形式

則故例3：將在[-1,1]內展成勒讓德多項式的級數形式

解：設則由奇偶性知故4.Legendre多項式的應用例1

(球形域內的電位分布)在半徑為1的球內求調和函數u，使它在球面上滿足。解：根據邊界條件知所求函數與變量無關，采用球坐標系，數學模型為：用分離變量法。令，代入方程，得

應該是有界函數，根據Legendre方程解的結構可知，只有當n為整數時，方程才有解Euler方程要使Rn有界，必有Dn為零，所以由疊加原理，方程得解為即由邊界條件得：而所以故原問題的解為Matlab中命令：y=legendre(n,x)列向量，元素分別為m=1，2，…，n時的函數值。自變量連帶Legendre多項式，其中是的m階導數。可見y(1)為我們這里介紹的Legendre多項式的值。例如做前幾階Legendre多項式圖形。functionzuotux=-1:0.01:1;y1