人教版數學選修2-2第一章

1.1.1變化率問題

1.1.2

導數的概念人教版數學選修2-21微積分為了描述現實世界中運動、變化著的現象，在數學中引入了函數。隨著對函數的研究的不斷深化，產生了微積分，它是數學發展史上繼歐氏幾何后的又一個具有劃時代意義的偉大創造，被譽為數學史上的里程碑微積分的創立與處理四類科學問題直接相關已知物體運動的路程作為時間的函數，求物體在任意時刻的速度與加速度；反之，已知加速度作為時間的函數，求速度與路程求曲線的切線求函數的最大值與最小值求長度、面積、體積和重心等17世紀中葉，牛頓和萊布尼茲各自獨立地創立了微積分微積分為了描述現實世界中運動、變化著的現象，在數學中引入了函21.了解導數概念的實際背景.2.會求函數在某一點附近的平均變化率.3.會利用導數的定義求函數在某點處的導數.學習目標

1.了解導數概念的實際背景.學習目標

3如右圖所示，向高為10cm的容器等速注水，10秒鐘注滿，若水深h是關于注水時間t的函數，則下面兩個圖象哪一個可以表示上述函數？

斜率公式

變化率變化率問題如右圖所示，向高為10cm的容器等速注水，10秒鐘注滿，若水4隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越快還是越來越慢？氣球的體積當V由01時，

當V由1

2時，當空氣容量從V1增加到V2時，氣球的平均膨脹率是多少？平均變化率隨著氣球體積逐漸變大，它的平均膨脹率逐漸變小變化率問題氣球膨脹率隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越快氣球的體積5函數y＝f(x)從x1到x2的平均變化率(2)實質：

的增量與

的增量之比.(3)作用：刻畫函數值在區間[x1，x2]上變化的快慢.(4)幾何意義：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函數y＝f(x)的圖象上兩點，則平均變函數值自變量斜率函數的平均變化率

函數y＝f(x)從x1到x2的平均變化率(2)實質：6函數的平均變化率

函數的平均變化率

7平均速度與瞬時速度在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h（m）與起跳后的時間t（s）存在函數的關系高臺跳水你發現平均變化率有什么局限性？

物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度

平均速度與瞬時速度在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h8瞬時速度的定義(1)物體在

的速度稱為瞬時速度.(2)一般地，設物體的運動規律是s＝s(t)，則物體在t0到t0＋Δt這段時間內的平均速度為某一時刻極限平均速度與瞬時速度瞬時速度的定義某一時刻極限平均速度與瞬時速度9平均變化率與瞬時變化率平均變化率瞬時變化率稱為導數平均變化率與瞬時變化率平均變化率瞬時變化率稱為導數10(2)將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。(2)將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。隨著對函數的研究的不斷深化，產生了微積分，它是數學發展史上繼歐氏幾何后的又一個具有劃時代意義的偉大創造，被譽為數學史上的里程碑單位：s)，若質點M在t＝2s時的瞬時速度為8m/s，求常數a的值.當空氣容量從V1增加到V2時，氣球的平均膨脹率是多少？一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間第一章1.當V由12時，一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度(4)幾何意義：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函數y＝f(x)的圖象上兩點，會求函數在某一點附近的平均變化率.物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度自變量的改變量Δx取值函數y＝1在[2,2＋Δx]上的平均變化率是(2)一般地，設物體的運動規律是s＝s(t)，則物體在t0到t0＋Δt這段時間內的平均速度為即物體在t＝1s時的瞬時速度為3m/s.隨著對函數的研究的不斷深化，產生了微積分，它是數學發展史上繼歐氏幾何后的又一個具有劃時代意義的偉大創造，被譽為數學史上的里程碑第一章1.已知物體運動的路程作為時間的函數，求物體在任意時刻的速度與加速度；1時，函數的平均變化率為函數在某點處的導數導數的定義說明：(2)將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對11

如果函數y=f(x)在區間(a,b)內每一點都可導，就說函數y=f(x)在區間(a,b)內可導。這時，對于(a,b)內每一個x值，都有唯一確定的導數值與之對應，這就構成了x的一個新函數，這個新函數叫做原來函數的導函數，記為 導數的定義

如果函數y=f(x)在區間(a,b)內每一點都可導，就說函12由導數定義求函數導數的步驟導數的定義簡記為：一差、二比、三極限①求函數的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；由導數定義求函數導數的步驟導數的定義簡記為：一差、二比、三13所以f′(1)＝2，導數定義的應用導數的定義差比極限所以f′(1)＝2，導數定義的應用導數的定義差比極限14(2)將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果在第xh時，原油的溫度(單位：℃)為計算第2h和6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.(課本P6.例1）導數的定義差比極限解：(2)將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對15√導數的定義√導數的定義161.在平均變化率中，函數值的增量為正值.(

)2.瞬時變化率是刻畫某函數值在區間[x1，x2]上變化快慢的物理量.(

)3.函數y＝f(x)在x＝x0處的導數值與Δx的正、負無關.(

)思考辨析判斷正誤××√√導數的定義1.在平均變化率中，函數值的增量為正值.()思考辨析171.理解平均變化率要注意以下幾點：(3)函數的平均變化率可以表現出函數的變化趨勢.自變量的改變量Δx取值越小，越能準確體現函數的變化情況.課堂小結1.理解平均變化率要注意以下幾點：(3)函數的平均變化率可以182.利用導數定義求導數：(2)函數在x0處的導數f′(x0)只與x0有關，與Δx無關.(3)導數可以描述事物的瞬時變化情況，應用非常廣泛.課堂小結2.利用導數定義求導數：(2)函數在x0處的導數f′(x0)191.函數y＝1在[2,2＋Δx]上的平均變化率是A.0 B.1 C.2 D.Δx√跟蹤訓練1.函數y＝1在[2,2＋Δx]上的平均變化率是√跟蹤訓練202.設函數y＝f(x)＝x2－1，當自變量x由1變為1.1時，函數的平均變化率為A.2.1 B.1.1 C.2 D.0√跟蹤訓練2.設函數y＝f(x)＝x2－1，當自變量x由1變為1.1時21會求函數在某一點附近的平均變化率.(2)實質：的增量與的增量之比.第一章1.由導數定義求函數導數的步驟(2)將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間(3)函數的平均變化率可以表現出函數的變化趨勢.一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間瞬時變化率是刻畫某函數值在區間[x1，x2]上變化快慢的物理量.求函數的最大值與最小值當V由12時，某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系可用函數s(t)＝t2＋t＋1一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間已知物體運動的路程作為時間的函數，求物體在任意時刻的速度與加速度；隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越快已知物體運動的路程作為時間的函數，求物體在任意時刻的速度與加速度；自變量的改變量Δx取值(3)函數的平均變化率可以表現出函數的變化趨勢.當V由12時，在平均變化率中，函數值的增量為正值.（2）求物體的初速度，即求物體在t＝0時的瞬時速度.跟蹤訓練

會求函數在某一點附近的平均變化率.跟蹤訓練

224.一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)，若質點M在t＝2s時的瞬時速度為8m/s，求常數a的值.解

質點M在t＝2時的瞬時速度即為函數在t＝2處的瞬時變化率.∵質點M在t＝2附近的平均變化率為跟蹤訓練4.一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單235.某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系可用函數s(t)＝t2＋t＋1表示，（1）求物體在t＝1s時的瞬時速度.∴函數s(t)在t＝1處的瞬時變化率為3.即物體在t＝1s時的瞬時速度為3m/s.（2）試求物體的初速度.（2）

求物體的初速度，即求物體在t＝0時的瞬時速度.∴函數s(t)在t＝0時的瞬時變化率為1，即物體的初速度為1m/s.跟蹤訓練5.某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系24跟蹤訓練跟蹤訓練25當V由12時，已知物體運動的路程作為時間的函數，求物體在任意時刻的速度與加速度；(1)物體在的速度稱為瞬時速度.會求函數在某一點附近的平均變化率.會求函數在某一點附近的平均變化率.一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間第一章1.(4)幾何意義：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函數y＝f(x)的圖象上兩點，一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間1.會求函數在某一點附近的平均變化率.函數y＝f(x)在x＝x0處的導數值與Δx的正、負無關.物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度(2)一般地，設物體的運動規律是s＝s(t)，則物體在t0到t0＋Δt這段時間內的平均速度為隨著對函數的研究的不斷深化，產生了微積分，它是數學發展史上繼歐氏幾何后的又一個具有劃時代意義的偉大創造，被譽為數學史上的里程碑隨著對函數的研究的不斷深化，產生了微積分，它是數學發展史上繼歐氏幾何后的又一個具有劃時代意義的偉大創造，被譽為數學史上的里程碑函數y＝1在[2,2＋Δx]上的平均變化率是即物體在t＝1s時的瞬時速度為3m/s.(4)幾何意義：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函數y＝f(x)的圖象上兩點，隨著對函數的研究的不斷深化，產生了微積分，它是數學發展史上繼歐氏幾何后的又一個具有劃時代意義的偉大創造，被譽為數學史上的里程碑1時，函數的平均變化率為隨著氣球體積逐漸變大，它的平均膨脹率逐漸變小(2)將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。當V由12時，瞬時變化率是刻畫某函數值在區間[x1，x2]上變化快慢的物理量.∴函數s(t)在t＝1處的瞬時變化率為3.（2）求物體的初速度，即求物體在t＝0時的瞬時速度.會求函數在某一點附近的平均變化率.簡記為：一差、二比、三極限自變量的改變量Δx取值(2)將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。解質點M在t＝2時的瞬時速度即為函數在t＝2處的瞬時變化率.(3)函數的平均變化率可以表現出函數的變化趨勢.自變量的改變量Δx取值微積分的創立與處理四類科學問題直接相關當V由12時，第一章1.結束語

謝謝觀看，祝大家學習愉快！當V由12時，函數y＝1在[2,2＋Δx]上的26人教版數學選修2-2第一章

1.1.1變化率問題

1.1.2

導數的概念人教版數學選修2-227微積分為了描述現實世界中運動、變化著的現象，在數學中引入了函數。隨著對函數的研究的不斷深化，產生了微積分，它是數學發展史上繼歐氏幾何后的又一個具有劃時代意義的偉大創造，被譽為數學史上的里程碑微積分的創立與處理四類科學問題直接相關已知物體運動的路程作為時間的函數，求物體在任意時刻的速度與加速度；反之，已知加速度作為時間的函數，求速度與路程求曲線的切線求函數的最大值與最小值求長度、面積、體積和重心等17世紀中葉，牛頓和萊布尼茲各自獨立地創立了微積分微積分為了描述現實世界中運動、變化著的現象，在數學中引入了函281.了解導數概念的實際背景.2.會求函數在某一點附近的平均變化率.3.會利用導數的定義求函數在某點處的導數.學習目標

1.了解導數概念的實際背景.學習目標

29如右圖所示，向高為10cm的容器等速注水，10秒鐘注滿，若水深h是關于注水時間t的函數，則下面兩個圖象哪一個可以表示上述函數？

斜率公式

變化率變化率問題如右圖所示，向高為10cm的容器等速注水，10秒鐘注滿，若水30隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越快還是越來越慢？氣球的體積當V由01時，

當V由1

2時，當空氣容量從V1增加到V2時，氣球的平均膨脹率是多少？平均變化率隨著氣球體積逐漸變大，它的平均膨脹率逐漸變小變化率問題氣球膨脹率隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越快氣球的體積31函數y＝f(x)從x1到x2的平均變化率(2)實質：

的增量與

的增量之比.(3)作用：刻畫函數值在區間[x1，x2]上變化的快慢.(4)幾何意義：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函數y＝f(x)的圖象上兩點，則平均變函數值自變量斜率函數的平均變化率

函數y＝f(x)從x1到x2的平均變化率(2)實質：32函數的平均變化率

函數的平均變化率

33平均速度與瞬時速度在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h（m）與起跳后的時間t（s）存在函數的關系高臺跳水你發現平均變化率有什么局限性？

物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度

平均速度與瞬時速度在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h34瞬時速度的定義(1)物體在

的速度稱為瞬時速度.(2)一般地，設物體的運動規律是s＝s(t)，則物體在t0到t0＋Δt這段時間內的平均速度為某一時刻極限平均速度與瞬時速度瞬時速度的定義某一時刻極限平均速度與瞬時速度35平均變化率與瞬時變化率平均變化率瞬時變化率稱為導數平均變化率與瞬時變化率平均變化率瞬時變化率稱為導數36(2)將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。(2)將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。隨著對函數的研究的不斷深化，產生了微積分，它是數學發展史上繼歐氏幾何后的又一個具有劃時代意義的偉大創造，被譽為數學史上的里程碑單位：s)，若質點M在t＝2s時的瞬時速度為8m/s，求常數a的值.當空氣容量從V1增加到V2時，氣球的平均膨脹率是多少？一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間第一章1.當V由12時，一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度(4)幾何意義：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函數y＝f(x)的圖象上兩點，會求函數在某一點附近的平均變化率.物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度自變量的改變量Δx取值函數y＝1在[2,2＋Δx]上的平均變化率是(2)一般地，設物體的運動規律是s＝s(t)，則物體在t0到t0＋Δt這段時間內的平均速度為即物體在t＝1s時的瞬時速度為3m/s.隨著對函數的研究的不斷深化，產生了微積分，它是數學發展史上繼歐氏幾何后的又一個具有劃時代意義的偉大創造，被譽為數學史上的里程碑第一章1.已知物體運動的路程作為時間的函數，求物體在任意時刻的速度與加速度；1時，函數的平均變化率為函數在某點處的導數導數的定義說明：(2)將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對37

如果函數y=f(x)在區間(a,b)內每一點都可導，就說函數y=f(x)在區間(a,b)內可導。這時，對于(a,b)內每一個x值，都有唯一確定的導數值與之對應，這就構成了x的一個新函數，這個新函數叫做原來函數的導函數，記為 導數的定義

如果函數y=f(x)在區間(a,b)內每一點都可導，就說函38由導數定義求函數導數的步驟導數的定義簡記為：一差、二比、三極限①求函數的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；由導數定義求函數導數的步驟導數的定義簡記為：一差、二比、三39所以f′(1)＝2，導數定義的應用導數的定義差比極限所以f′(1)＝2，導數定義的應用導數的定義差比極限40(2)將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果在第xh時，原油的溫度(單位：℃)為計算第2h和6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.(課本P6.例1）導數的定義差比極限解：(2)將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對41√導數的定義√導數的定義421.在平均變化率中，函數值的增量為正值.(

)2.瞬時變化率是刻畫某函數值在區間[x1，x2]上變化快慢的物理量.(

)3.函數y＝f(x)在x＝x0處的導數值與Δx的正、負無關.(

)思考辨析判斷正誤××√√導數的定義1.在平均變化率中，函數值的增量為正值.()思考辨析431.理解平均變化率要注意以下幾點：(3)函數的平均變化率可以表現出函數的變化趨勢.自變量的改變量Δx取值越小，越能準確體現函數的變化情況.課堂小結1.理解平均變化率要注意以下幾點：(3)函數的平均變化率可以442.利用導數定義求導數：(2)函數在x0處的導數f′(x0)只與x0有關，與Δx無關.(3)導數可以描述事物的瞬時變化情況，應用非常廣泛.課堂小結2.利用導數定義求導數：(2)函數在x0處的導數f′(x0)451.函數y＝1在[2,2＋Δx]上的平均變化率是A.0 B.1 C.2 D.Δx√跟蹤訓練1.函數y＝1在[2,2＋Δx]上的平均變化率是√跟蹤訓練462.設函數y＝f(x)＝x2－1，當自變量x由1變為1.1時，函數的平均變化率為A.2.1 B.1.1 C.2 D.0√跟蹤訓練2.設函數y＝f(x)＝x2－1，當自變量x由1變為1.1時47會求函數在某一點附近的平均變化率.(2)實質：的增量與的增量之比.第一章1.由導數定義求函數導數的步驟(2)將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間(3)函數的平均變化率可以表現出函數的變化趨勢.一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間瞬時變化率是刻畫某函數值在區間[x1，x2]上變化快慢的物理量.求函數的最大值與最小值當V由12時，某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系可用函數s(t)＝t2＋t＋1一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間已知物體運動的路程作為時間的函數，求物體在任意時刻的速度與加速度；隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越快已知物體運動的路程作為時間的函數，求物體在任意時刻的速度與加速度；自變量的改變量Δx取值(3)函數的平均變化率可以表現出函數的變化趨勢.當V由12時，在平均變化率中，函數值的增量為正值.（2）求物體的初速度，即求物體在t＝0時的瞬時速度.跟蹤訓練

會求函數在某一點附近的平均變化率.跟蹤訓練

484.一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)，若質點M在t＝2s時的瞬時速度為8m/s，求常數a的值.解

質點M在t＝2時的瞬時速度即為函數在t＝2處的瞬時變化率.∵質點M在t＝2附近的平均變化率為跟蹤訓練4.一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單495.某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系可用函數s(t)＝t2＋t＋1表示，（1）求物體在t＝1s時的瞬時速度.∴函數s(t)在t＝1處的瞬時變化率為3.即物體在t＝1s時的瞬時速度為3m/s.（2）試求物體的初速度.（2）

求物體的初速度，即求物體在t＝0時的瞬時速度.∴函數s(t)在t＝0時的瞬時變化率為1，即物體的初速度為1m/s.跟蹤訓練5.某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系50跟蹤訓練跟蹤訓練51當V由12時，已知物體運動的路程作為時間