基本不等式第一課時

重要不等式：a2＋b2≥2ab基本不等式表明兩個正數的算術平均數不小于幾何平均數．創設情境如果a＞0，b＞0，用

代替a，b，得到：當且僅當a＝b時取等號．幾何平均數代數平均數基本不等式

證明：要證明

，只需證明

，所以原不等式成立．只需證

，只要證

而

顯然成立．過程：執果索因分析法新知探究

解：半徑OD為

，可得弦DE長的一半CD為

，由CD≤OD，得到

幾何解釋新知探究問題1

如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC＝a，BC＝b，過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD

．你能利用這個圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？解：因為x＞0，所以，

即x2＝1，x＝1時，等號成立．因此最小值為2．當且僅當

時，新知探究例1

已知x＞0，求的最小值．

變式：（1）已知x≥2，求

的最小值；（2）

有最小值嗎？為什么？新知探究

反思：結合函數的圖象及例1的解答，你能總結什么條件的代數式可以用基本不等式求最值？需要注意什么？xyO總結：1．若代數式能轉化為兩個正數積為定值，可以利用基本不等式求和的最小值；2．若代數式能轉化為兩個正數和為定值，可以利用基本不等式求積的最大值．新知探究

反思：結合函數的圖象及例1的解答，你能總結什么條件的代數式可以用基本不等式求最值？需要注意什么？xyO注意：在利用基本不等式求最值時，應注意“一正，二定，三相等”的條件．新知探究

（1）如果積xy等于定值P，那么當x＝y時，和x＋y有最小值

；（2）如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y時，積xy有最大值

．證明：因為x，y是正數，所以

．當且僅當x＝y時等號成立，（1）當積為定值P時，

，于是，當x＝y時，x＋y有最小值

．新知探究例2

已知x，y都是正數，求證：證明：因為x，y是正數，所以

．

當且僅當x＝y時等號成立，（2）當和為定值S時，，于是，當x＝y時，xy有最大值

．新知探究（1）如果積xy等于定值P，那么當x＝y時，和x＋y有最小值

；（2）如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y時，積xy有最大值

．例2

已知x，y都是正數，求證：

歸納小結（2）基本不等式的代數特征是什么？如何從幾何圖形上進行解釋？（3）基本不等式可以解決哪兩類數學問題？使用的條件是什么？應注意什么？問題2

（1）什么是基本不等式？如何推導基本不等式？

目標檢測只要把式子倒過來，就可以推出原不等式成立．即，即

，即需證

，而

顯然成立，已知a，b∈R，求證

1證明：要證明

，只需證明

，

目標檢測（2）已知0＜x＜1，求x（1－x）的最大值及相應的x值．當且僅當

，即

時，等號成立．所以

的最小值為

，這時

．（1）已知x＞0，求

的最小值及相應的x值．2解：（1）∵x＞0，∴

，目標檢測由當且僅當1－x＝x，即

時取等號．（2）已知0＜x＜1，求x（1－x）的最大值及相應的x值．（1）已知x＞0，求

的最小值及相應的x值．2解：（2）∵0＜x＜1，∴1－x＞0，

目標檢測（1）

；

（2）

．又由于x≠y，所以等號取不到．∴

，∴．已知x，y都是正數，且x≠y，求證：3證明：（1）∵x，y都是正數，

目標檢測又由于x≠y，所以等號取不到．∴，∴．兩邊同乘

，得

．（1）

；

（2）

．已知x，y都是正數，且x≠y，求證：3證明：（2）∵x，y都是正數，

目標檢測當兩條直角邊的長度各為10cm時，兩條直角邊的和最小，最小值為20．則由已知得＝50，即ab＝100