/18【答案】(1)；(2)分布列見解析，E(X)=；(3)S2>S25512【解析】試題分析：(1)根據(jù)圖表得到高于8500元的城市有6座，得到答案；(2)X的可能取值為0,1,2計(jì)算概率得到分布列，再計(jì)算期望得到答案；(3)根據(jù)數(shù)據(jù)的波動(dòng)性得到答案．62試題解析：(1)根據(jù)圖表知：月平均收入薪資咼于8500兀的城市有6座，故P—15=5(2)X的可能取值為0,1,2，則P(g-0)--x-——；PG-1)—C1-x-—12；PG-2)--x-——5525'2552^5525分布列為：012P1225E(x)—25x0+2x1+25x2—25—5(3)根據(jù)圖像知月平均收入薪資對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)波動(dòng)更大，故S2>S21219．(本小題15分)已知函數(shù)f(x)—x-aInx(a>0).求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；求函數(shù)g(x)—2x2-ax-f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；當(dāng)a—1時(shí)，求證不等式f(x)<丄一1解集為空集.x【答案】(1)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(a,+Q，單調(diào)減區(qū)間為(0,a)；(2)g(x)在(0,+Q上只有一個(gè)零點(diǎn)(3)證明見解析；(3)空集．【解析】試題分析：(1)求導(dǎo)得到f'(x)—1-—口，計(jì)算得到答案.xx求導(dǎo)得到g'(x)—(x一a)(x一“，分類討論a>1，a—1和0<a<1三種情況得到答案.x原題等價(jià)于h(x)—x+1-lnx-1>0恒成立，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最小值h(上5+1)>0得x2到證明.試題解析：(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+8).f'(x)—1-a—口xx

令f(x)—0，得x二a當(dāng)x>a時(shí)，有f'(x)>0,???f(x)在(a,+8)上單調(diào)遞增.當(dāng)0<x<a時(shí)，有f'(x)<0f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減.綜上所述：f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(a,+8)，單調(diào)減區(qū)間為(0,a)(2)函數(shù)g(x)=x2-ax-x+aInx，g'(x)=――1)2x令g'(x)=(x_a)(x_1)=0，解得x=a,x=1x121g(1)=-a——<0，xT+8,g(x)T+82當(dāng)a>1時(shí)，g(x)在(1,a)上遞減，有g(shù)(1)>g(a).???g(a)<0，.:g(x)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a=1時(shí)，g(x)在(0,+8)上遞增，???g(x)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)0<a<1時(shí)，g(x)在(0,a)上遞增，在(a,1)上遞減，在(1,+8)上遞增.此時(shí)g(a)=-—a2-a+alna<0，.:g(x)有一個(gè)零點(diǎn).2綜上所述：g(x)在(0,+8)上只有一個(gè)零點(diǎn).x-1x-1(3)當(dāng)a=1時(shí)，不等式f(x)<解集為空集，等價(jià)于f(x)>在定義域內(nèi)恒成立,xxx-1即f(x)->0在定義域內(nèi)恒成立.xx-11令h(x)=f(x)--=x+_-lnx-1xxh(x)h(x)=1-丄-1x2x令h(x)=0，得x=丁列表得x(0巴+1)擊+1比I+8h'(x)0+h(x)遞減最小值遞增h(4)=J5-1-ln4<e,???ln^±!<12222

TOC\o"1-5"\h\z,5|i^x1^xi又石_1>1,???h(上5-)>0，.:h(x)二f(x)_>0恒成立.???不等式f(x)<解集為空集.2xx20．(本小題14分)已知橢圓C:丈+蘭=1(a>b>0)的離心率為1，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線a2b22x_y+、：6=0相切.(I)求橢圓方程；(II)設(shè)S為橢圓右頂點(diǎn)，過橢圓C的右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)(異于S),直線PS,QS分別交直線x二4于A，B兩點(diǎn).求證：A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.【答案】(I)蘭+上=1；(II)詳見解析.43【解析】試題分析：(I)求出a，b,c后可得橢圓方程.(II)當(dāng)直線l的斜率不存在，計(jì)算可得A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為_9.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線xx_(x+x)+1l的方程為y=k(x_1)(k豐0)，P(x,y),Q(x,y)(x,x豐0)，則yAyB=4R一2，聯(lián)立直線112212ABxx_2(x+x)+41212方程和橢圓方程，消去y后利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)y4y后可得定值.AB試題解析：(I)T以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x_y+宓=0相切,???半徑b等于原點(diǎn)到直線的距離d，b=d=0_0+"，即b二J3.1+1由離心率e—，可知=，且a2=b2+c2，得a—2，故橢圓C的方程為+=12a243(II)由橢圓C的方程可知S(2,0)若直線l的斜率不存在,若直線l的斜率不存在,則直線l方程為x—1(3)(3)P1,二,Q1,—12丿(2丿則直線PS的方程為3x+2y_6—0，直線QS的方程為3x_2y_6—0令x—4，得A(4,-3)，B(4,3)A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為_9若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y—k(x_1)(k豐0)由￡-{_1)120得(3+4k2)x2_8k2x+4k2_12—0，依題意A>0恒成立.[3x2+4y2_12—0

8k24k2-12設(shè)P(x,y),Q(x,y)(x,x豐0)，則x+x=,xx=ii2212i23+4k2i23+4k2yy設(shè)A(4,y)B(4,y)，由題意P,S,A三點(diǎn)共線可知產(chǎn)=匸AB4-2x-2iTOC\o"1-5"\h\z2y2y?°?點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為yA=.同理得點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為yB=百Ax-2Bx-2i22y2y“xx-(x+x)+14k2—12—8k2+4k2+3-9???yy=L-2=4k2112=4k2=4k2X=-9ABx-2x-2xx-2(x+x)+44k2—12—2x8k2+4(4k2+3)4k2i2i2i2綜上，A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.21.（本小題14分）給定整數(shù)"（n-'I，數(shù)列A2n+1：x1、x2、L、J每項(xiàng)均為整數(shù)，在A?”］中去掉一項(xiàng)，并將剩下的數(shù)分成個(gè)數(shù)相同的兩組，其中一組數(shù)的和與另外一組數(shù)的和之差的最大值記為m（k=1,2,L,2n+1）.將m、k1m2、L、5+1中的最小值稱為數(shù)列A2n浪的特征值?（I）已知數(shù)列A5：1、2、3、3、3，寫出m1、m2、化的值及A5的特征值;(II)若x<x<L<x122n+1當(dāng)i-(n+1)][j-(n+1)]-0，其中i、jg{1,2，L,2n+1}且(II)若x<x<L<x122n+1ij1j（III）已知數(shù)列A2的特征值為n-1，求Y|x,-x」的最小值.2n+1丿1<i<j<2n+1【答案】（i）m=1；m=2；m=3.A的特征值為1；（ii）m—m=x—x，理由見解析；（iii）1235ijij最小值為n（n+1）【解析】試題分析：（I）根據(jù)題中的定義可求出m1、m2、m3的值及A5的特征值；（II）分i、jg{1,2,L,n+1}和i、je{n+1,n+2,L,2n+1}兩種情況討論，結(jié)合題中定義可證明出m-m=m-m=x-xijij(III)設(shè)x<x<L<x122n+1利用(II)中的結(jié)論m—m=x—xijij結(jié)合數(shù)列A2n+1的特征值為n-1可得出x+x+L+x-(x+x+L+x)-n-1，并證明出(2n+2-k)p+kq-(n+l)(p+q)2n+12nn+2nn-11Y—即可求出xi—xj的最小值.1<i<j<2n+1試題解析：（I）由題知：m1=（3+3）—（2+3）=1，m2=（3+3）—（3+1）=2，m3=3，A的特征值為1.(II)m一m=x一x.ijij理由如下：由于[i-(n+1)][j-(n+1)]>0，可分下列兩種情況討論:當(dāng)i、jw{l,2,L,n+1}時(shí)，根據(jù)定義可知：m=(xi2n+12n+x+L+x+x+L+xn+2n+1-x)1i=(x2n+1+x+L2n+x)-(xn+2n+1+xn+L+x)+x1i同理可得：=(x+x+L2n+12n+x)-(x+x+L+x)+n1n+1x，jm-m=x-xijij一x，jn+2jg{n+1,n+2,L,2n+1}時(shí),同理可得：m=(xi2n+1+x+L2n+xn+1一x)一(xi+x+Lnn-1+x)=(x12n+1+x+L2n+xn+1)-(x+x+Lnn-1+x)1-xi=(x2n+1+x+L2n+x)-(xn+x+Ln-1+x)-x1-m=xji一xjm-m=x-xijijm-m=x-xijij綜上有：<n+1(III)不妨設(shè)x1x<L22n+12nx2n+1+(2n-2)x+L2n+2xn+2+0-xn+1一2nx11<i<j<2n+1=2n(x2n+1-x)+(2n-2)(x12n-x)+L+2(x-x)2n+2n顯然，x2n+1-x>x-x12n2>L>x一xn+2nx+x+L2n+12n+x-(xn+2n+xn-1+L+x)>(x+L1n+1+x)-(x+x2n1+L+x)=mn2n+1當(dāng)且僅當(dāng)xn+1x2n+1時(shí)取等號(hào)x+x+L2n+12n+x—(x+x+Ln+2nn-1+x)>(x+L1n+2+xx2n+12+xn+1)=m1當(dāng)且僅當(dāng)x1=xn+1時(shí)取等號(hào)由(II)可知m1、m的較小值為n-1x+x+L+x-(x+x2n+12n+12nn+2nn-1+L+x)>n-11當(dāng)且僅當(dāng)x1=xn+1x2n+1時(shí)取等號(hào)'此時(shí)數(shù)列A2n+1為常數(shù)列，其特征值為0，不符合題意，則必有x+x+L+x—(x+x+L+x)>n2n+12nn+2nn—11下證：若p>q>0,2<k<n，總有(2n+2—k)p+kq>(n+1)(p+q)證明：(2n+2-k)p+kq—(n+1)(p+q)=(n+1—k)p—(n+1—k)q=(n+1—k)(p-q)>0