關于空間曲線曲率和撓率的介紹第1頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五微分幾何的應用理論物理廣義相對論將物理量解釋為幾何量。具體的說，空間和時間結合在一起由一個流形描述：不同的參照系給出不同的局部坐標；不同參照系之間的關系即是坐標變換。時空流形的度量由所謂Lorentz度量給出，象Riemann幾何一樣計算出曲率等幾何量。Einstein方程說：時空的物理量（能量動量張量）等于時空的幾何量（Ricci曲率張量）。第2頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五給出類曲線得一單位向量，

稱為曲線（C）上P

點的單位切向量。

稱為曲線在P

點的主法向量,

它垂直于單位切向量。稱為曲線在P點的次法向量。把兩兩正交的單位向量稱為曲線在P

點的伏雷內（Frenet)標架。1.空間曲線的基本三棱形、伏雷內標架第3頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五3)由任意兩個基本向量所確定的平面分別叫做:密切平面：法平面：從切平面：而由三個基本向量和上面三個平面所構成的圖形叫做曲線的基本三棱形。2)對于曲線（C）的一般參數表示有第4頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五

4）伏雷內（Frenet)公式由定義可得又于是有這個公式稱為空間曲線的伏雷內（Frenet)公式。它的系數組成一反稱方陣第5頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五2.空間曲線的曲率，撓率設空間曲線(C)為的，且以s為參數。定義（C）在P點的曲率為

越小就越接近曲線在P點的彎曲程度,進一步令則的極限就應該是曲線在P點的彎曲程度。曲率的幾何意義是曲線的切向量對于弧長的旋轉速度。曲率越大，曲線的彎曲程度就越大，因此它反映了曲線的彎曲程度。1）曲率第6頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五例.

求半徑為R

的圓上任意點處的曲率.解:

如圖所示,可見:R

愈小,則K

愈大,圓弧彎曲得愈厲害;R

愈大,則K

愈小,圓弧彎曲得愈小.第7頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五第8頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五例：

空間曲線，為直線的充要條件是曲率證明：若為直線

其中

都是常向量，

并且

，則

反之,若,則于是所以該曲線是直線.第9頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五2)撓率

與曲率類似有

定義曲線（C）在P點的撓率為撓率的絕對值是曲線的次法向量對于弧長的旋轉速度。撓率恒為零的曲線是平面曲線第10頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五3曲率和撓率的一般參數表示式給出類的曲線（C）：所以因此由此得到曲率的一般參數的表示式1）曲率第11頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五

由可得撓率公式為第12頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五有曲率近似計算公式則曲率計算公式為二階可導,設曲線弧說明:若曲線由參數方程給出,則若曲線方程為則若曲線由參數方程給出,則第13頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五4）密切園（曲率園）

過曲線（C）上一點P

的主法線的正側取線段PC，使PC

的長為1/k。以C

為園心，以1/k為半徑在密切平面上確定一個園，這個園稱為曲線在P點的密切園或曲率園，園的中心叫曲率中心，園的半徑叫曲率半徑。第14頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五曲率中心軌跡設對應Y=(x,y,z)，則有容易證明C在P點與曲率圓相切，且在P點的曲率相同在點P

處曲率圓與曲線有下列密切關系:(1)有公切線;(2)凹向一致;(3)曲率相同.第15頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五例

求圓柱螺線r={acost,asint,bt}(a>0,b>0均為常數)

的曲率、撓率、曲率中心和曲率圓.解

={-asint,acost,b}，

={-acost,-asint,0}，

={asint,-acost,0}.于是

=

=所以圓柱螺線的曲率和撓率都是常數.第16頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五.故曲率中心的半徑向量為可以求出密切平面為于是曲率圓為第17頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五設曲線方程為且求曲線上點M

處的曲率半徑及曲率中心設點M

處的曲率圓方程為故曲率半徑公式為滿足方程組的坐標公式.機