第一單元數(shù)的整除特征

熟記整除的性質(zhì)，以及能被2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、125整除的數(shù)的特征，能應(yīng)用性質(zhì)和特征解決簡單的數(shù)字問題及生活中的問題第一單元數(shù)的整除特征熟記整除的性質(zhì)，以及1（一）整除——約數(shù)、倍數(shù)像15÷3＝5，63÷7＝9這樣，一般的，如果a、b、c為整數(shù)，b≠0，且a÷b＝c，即整數(shù)a除以整數(shù)b所得的商正好等于c且沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除（或者說b能整除a），記作：b︱a，否則，稱a不能被b整除（或b不能整除a），記作：ba（一）整除——約數(shù)、倍數(shù)像15÷3＝5，63÷7＝9這樣，2（二）數(shù)的整除性質(zhì)1、看下面的兩個(gè)例子：⑴我們知道2︱10，2︱6，2能整除10與6的和或者差嗎能。2︱（10＋6）且2︱（10－6）⑵我們?cè)倏?︱25，5︱10，5能整除25與10的和或差嗎？能。5︱（25＋10），5︱（25－10）你能從上面的題目中得到上面規(guī)律？（二）數(shù)的整除性質(zhì)1、看下面的兩個(gè)例子：3數(shù)的整除性質(zhì)1性質(zhì)1：如果a、b都能被c整除，那么他們的和或差也能被c整除。即：如果c︱a，c︱b那么c︱（a±b）你能再舉出一個(gè)例子嗎？數(shù)的整除性質(zhì)1性質(zhì)1：4數(shù)的整除性質(zhì)22、我們?cè)賮砜匆唤M例子：

①

15能整除45，3×5＝15，3和5都能整除45嗎？

②

3×7＝21，21能整除84，3和7都能整除84嗎？

③

5×9＝45，45能整除135，5和9都能整除135嗎？上面的3個(gè)例子有什么共同點(diǎn)？如果一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)數(shù)的積整除，它能被這兩個(gè)數(shù)整除嗎？數(shù)的整除性質(zhì)22、我們?cè)賮砜匆唤M例子：5數(shù)的整除性質(zhì)性質(zhì)2：如果b、c的積能整除a,那么b和c都能整除a。即：如果bc︱a，那么b︱a，c︱a

反過來，如果b︱a，c︱a那么bc︱a一定正確嗎？數(shù)的整除性質(zhì)性質(zhì)2：6數(shù)的整除性質(zhì)33、我們看下面的例子：

①

4能夠整除36，6也能整除36，4與6的積能整除36嗎？

②

4能夠整除80，5也能整除80，4與5的積能整除80嗎？

③

5能夠整除80，8也能整除80，5與8的積能整除80嗎？這說明這兩個(gè)數(shù)需要滿足一定的條件！不能能能數(shù)的整除性質(zhì)33、我們看下面的例子：不能能能7數(shù)的整除性質(zhì)3性質(zhì)3：如果b、c都能整除a，且b和c，那么b、c的積能整除a。即：如果b︱a，c︱a且（b，c）＝1，那么bc︱a。例如8︱324685008，9︱324685008且（8，9）＝1，那么︱324685008。互質(zhì)72數(shù)的整除性質(zhì)3性質(zhì)3：互質(zhì)728數(shù)的整除性質(zhì)44、我們最后再看一個(gè)問題：如果c能整除b，b能整除a，那么c一定能整除a嗎？自己出幾個(gè)題目試試？

7能整除14，14能整除140，那么，7能整除140嗎？

9能整除18，18能整除54，那么，9能整除54嗎？能能數(shù)的整除性質(zhì)44、我們最后再看一個(gè)問題：能能9數(shù)的整除性質(zhì)4性質(zhì)4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果c︱b，b︱a那么c︱a。數(shù)的整除性質(zhì)4性質(zhì)4：10我們來總結(jié)一下性質(zhì)1：如果a、b都能被c整除，那么他們的和或差也能被c整除。即：如果c︱a，c︱b那么c︱（a±b）性質(zhì)2：如果b、c的積能整除a,那么b和c都能整除a。即：如果bc︱a，那么b︱a，c︱a性質(zhì)3：如果b、c都能整除a，且b和c互質(zhì)，那么b、c的積能整除a。即：如果b︱a，c︱a且（b，c）＝1，那么bc︱a。性質(zhì)4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果c︱b，b︱a那么c︱a。我們來總結(jié)一下性質(zhì)1：如果a、b都能被c整除，那么他們的和或11（三）數(shù)的整除特征（一）：能被2、3、5、9、整除的數(shù)的整除特征；（二）①能被4、25整除：末兩位數(shù)能被4和25整除；②能被8、125整除：末三位數(shù)能被8、125整除；③能被11整除：奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差（大減小）能被11整除；④能被7、11、13整除：末三位與末三位前面的數(shù)的差（大減小）能被7、11、13整除。（三）數(shù)的整除特征（一）：能被2、3、5、9、整除的數(shù)的整除12應(yīng)用舉例（一）

判斷一個(gè)數(shù)能不能被整除例1、①判斷35112能不能被7、11、13整除②33333333468375能不能被125整除③1234567891011121314能不能被3和9整除應(yīng)用舉例（一）

判斷一個(gè)數(shù)能不能被整除例1、13①判斷35112能不能被7、11、13整除回憶：能被7、11、13整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)字與前面的數(shù)字的差（大減小）能被7、11、13整除。解：112－35＝77

因?yàn)?77，1177，1377答：35112能被7和11整除，但不能被13整除。∣∣①判斷35112能不能被7、11、13整除∣∣14②33333333468375能不能被125整除回憶：能被125整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)字能被125整除。解：因?yàn)檫@個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字375能被125整除，所以33333333468375能被125整除。②33333333468375能不能被125整除15③1234567891011121314能不能被3和9整除。回憶：能被3（或9）整除的數(shù)的特征：

各個(gè)數(shù)位數(shù)字的和能被3（或9）整除。解：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋1＋0＋1＋1＋1＋2＋1＋3＋1＋4＝60

因?yàn)?60960

所以這個(gè)數(shù)能被3整除而不能被9整除。答：這個(gè)數(shù)能被3整除而不能被9整除。∣③1234567891011121314能不能被3和9整除。16應(yīng)用舉例（二）根據(jù)規(guī)律填空例2、⑴已知45︱

求所有滿足條件的六位數(shù)。解：因?yàn)?5＝5×9，根據(jù)整除的性質(zhì)②，可知5︱

，9︱

所以y可以是0或者5，當(dāng)y＝0時(shí)，根據(jù)9︱及數(shù)的整除特征可知x＝；當(dāng)y＝5時(shí)，根據(jù)

9︱

及數(shù)的整除特征可知x＝

答：滿足條件的六位數(shù)是或。59519930919935應(yīng)用舉例（二）根據(jù)規(guī)律填空例2、⑴已知45︱17（2）李老師為學(xué)校一共買了28支價(jià)格相同的鋼筆，共付人民幣9□.2□元，已知□處數(shù)字相同，請(qǐng)問：每支鋼筆多少元？分析：由28支鋼筆的價(jià)格相同可知，總錢數(shù)9□.2□是28的倍數(shù)，同上面的解題思路類似，可以用數(shù)的整除性質(zhì)和數(shù)的整除特征結(jié)合起來解答。（2）李老師為學(xué)校一共買了28支價(jià)格相同的鋼筆，共付人民幣9189□.2□元＝9□2□分解：∵28＝4×7，根據(jù)整除的性質(zhì)③，可知4︱9□2□且7︱9□2□

∴

根據(jù)4的整除特征可知□可以填0、4、8，

∵

79020，79424；79828。∴□處應(yīng)當(dāng)填。

÷28＝（分）＝（元）答：每支鋼筆的價(jià)格是元。∣898283513.513.519□.2□元＝9□2□分解：∵28＝4×7，根據(jù)整除的性質(zhì)③19思路回眸要判斷一個(gè)數(shù)能否被一個(gè)合數(shù)整除，或者要確定一個(gè)能被合數(shù)整除的數(shù)，可以根據(jù)性質(zhì)②，把合數(shù)拆成兩個(gè)互質(zhì)數(shù)相乘，再根據(jù)整除的特征確定所求的數(shù)。思路回眸要判斷一個(gè)數(shù)能否被一個(gè)合數(shù)整除，或者要確定一個(gè)能被合20今日小結(jié)1、數(shù)的整除的有關(guān)概念；2、數(shù)的整除性質(zhì)；3、數(shù)的整除特征；4、典型例題：

㈠判斷一個(gè)數(shù)能否被另一個(gè)數(shù)整除；

㈡根據(jù)整除的性質(zhì)和整除的特征求符合條件的數(shù)。今日小結(jié)1、數(shù)的整除的有關(guān)概念；21今日作業(yè)1.只修改970405的某一個(gè)數(shù)字，就可使修改后的六位數(shù)能被225整除，修改后的六位數(shù)是_____。（安徽省1997年小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）2.在3□2□的方框里填入合適的數(shù)字，使組成的四位數(shù)是能被15整除的數(shù)中最大的一個(gè)，這個(gè)數(shù)是多少？（山東省1997年小學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題）3.一位采購員買了72只桶，在記賬本上記下這筆賬。由于他不小心，墨汁落在賬本上把這筆賬的總數(shù)污掉了兩個(gè)數(shù)字。賬本是這樣寫的：72只桶，共用去□67.9□元（□為被污掉的數(shù)字），請(qǐng)你幫忙把這筆賬補(bǔ)上。應(yīng)是____元。（德陽市第十屆小學(xué)生數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）。今日作業(yè)1.只修改970405的某一個(gè)數(shù)字，就可使修改后的六22

4、四位數(shù)“3AA1”是9的倍數(shù)，那么A=_____5、

在“25□79這個(gè)數(shù)的□內(nèi)填上一個(gè)數(shù)字,使這個(gè)數(shù)能被11整除,

方格內(nèi)應(yīng)填_____。6、在1992后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)七位數(shù)，使它們分別能被2

3、5、11整除，這個(gè)七位數(shù)最小值是多少？

4、四位數(shù)“3AA1”是9的倍數(shù)，那么A=_____5、

23第一單元數(shù)的整除特征

熟記整除的性質(zhì)，以及能被2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、125整除的數(shù)的特征，能應(yīng)用性質(zhì)和特征解決簡單的數(shù)字問題及生活中的問題第一單元數(shù)的整除特征熟記整除的性質(zhì)，以及24（一）整除——約數(shù)、倍數(shù)像15÷3＝5，63÷7＝9這樣，一般的，如果a、b、c為整數(shù)，b≠0，且a÷b＝c，即整數(shù)a除以整數(shù)b所得的商正好等于c且沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除（或者說b能整除a），記作：b︱a，否則，稱a不能被b整除（或b不能整除a），記作：ba（一）整除——約數(shù)、倍數(shù)像15÷3＝5，63÷7＝9這樣，25（二）數(shù)的整除性質(zhì)1、看下面的兩個(gè)例子：⑴我們知道2︱10，2︱6，2能整除10與6的和或者差嗎能。2︱（10＋6）且2︱（10－6）⑵我們?cè)倏?︱25，5︱10，5能整除25與10的和或差嗎？能。5︱（25＋10），5︱（25－10）你能從上面的題目中得到上面規(guī)律？（二）數(shù)的整除性質(zhì)1、看下面的兩個(gè)例子：26數(shù)的整除性質(zhì)1性質(zhì)1：如果a、b都能被c整除，那么他們的和或差也能被c整除。即：如果c︱a，c︱b那么c︱（a±b）你能再舉出一個(gè)例子嗎？數(shù)的整除性質(zhì)1性質(zhì)1：27數(shù)的整除性質(zhì)22、我們?cè)賮砜匆唤M例子：

①

15能整除45，3×5＝15，3和5都能整除45嗎？

②

3×7＝21，21能整除84，3和7都能整除84嗎？

③

5×9＝45，45能整除135，5和9都能整除135嗎？上面的3個(gè)例子有什么共同點(diǎn)？如果一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)數(shù)的積整除，它能被這兩個(gè)數(shù)整除嗎？數(shù)的整除性質(zhì)22、我們?cè)賮砜匆唤M例子：28數(shù)的整除性質(zhì)性質(zhì)2：如果b、c的積能整除a,那么b和c都能整除a。即：如果bc︱a，那么b︱a，c︱a

反過來，如果b︱a，c︱a那么bc︱a一定正確嗎？數(shù)的整除性質(zhì)性質(zhì)2：29數(shù)的整除性質(zhì)33、我們看下面的例子：

①

4能夠整除36，6也能整除36，4與6的積能整除36嗎？

②

4能夠整除80，5也能整除80，4與5的積能整除80嗎？

③

5能夠整除80，8也能整除80，5與8的積能整除80嗎？這說明這兩個(gè)數(shù)需要滿足一定的條件！不能能能數(shù)的整除性質(zhì)33、我們看下面的例子：不能能能30數(shù)的整除性質(zhì)3性質(zhì)3：如果b、c都能整除a，且b和c，那么b、c的積能整除a。即：如果b︱a，c︱a且（b，c）＝1，那么bc︱a。例如8︱324685008，9︱324685008且（8，9）＝1，那么︱324685008。互質(zhì)72數(shù)的整除性質(zhì)3性質(zhì)3：互質(zhì)7231數(shù)的整除性質(zhì)44、我們最后再看一個(gè)問題：如果c能整除b，b能整除a，那么c一定能整除a嗎？自己出幾個(gè)題目試試？

7能整除14，14能整除140，那么，7能整除140嗎？

9能整除18，18能整除54，那么，9能整除54嗎？能能數(shù)的整除性質(zhì)44、我們最后再看一個(gè)問題：能能32數(shù)的整除性質(zhì)4性質(zhì)4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果c︱b，b︱a那么c︱a。數(shù)的整除性質(zhì)4性質(zhì)4：33我們來總結(jié)一下性質(zhì)1：如果a、b都能被c整除，那么他們的和或差也能被c整除。即：如果c︱a，c︱b那么c︱（a±b）性質(zhì)2：如果b、c的積能整除a,那么b和c都能整除a。即：如果bc︱a，那么b︱a，c︱a性質(zhì)3：如果b、c都能整除a，且b和c互質(zhì)，那么b、c的積能整除a。即：如果b︱a，c︱a且（b，c）＝1，那么bc︱a。性質(zhì)4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果c︱b，b︱a那么c︱a。我們來總結(jié)一下性質(zhì)1：如果a、b都能被c整除，那么他們的和或34（三）數(shù)的整除特征（一）：能被2、3、5、9、整除的數(shù)的整除特征；（二）①能被4、25整除：末兩位數(shù)能被4和25整除；②能被8、125整除：末三位數(shù)能被8、125整除；③能被11整除：奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差（大減小）能被11整除；④能被7、11、13整除：末三位與末三位前面的數(shù)的差（大減小）能被7、11、13整除。（三）數(shù)的整除特征（一）：能被2、3、5、9、整除的數(shù)的整除35應(yīng)用舉例（一）

判斷一個(gè)數(shù)能不能被整除例1、①判斷35112能不能被7、11、13整除②33333333468375能不能被125整除③1234567891011121314能不能被3和9整除應(yīng)用舉例（一）

判斷一個(gè)數(shù)能不能被整除例1、36①判斷35112能不能被7、11、13整除回憶：能被7、11、13整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)字與前面的數(shù)字的差（大減小）能被7、11、13整除。解：112－35＝77

因?yàn)?77，1177，1377答：35112能被7和11整除，但不能被13整除。∣∣①判斷35112能不能被7、11、13整除∣∣37②33333333468375能不能被125整除回憶：能被125整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)字能被125整除。解：因?yàn)檫@個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字375能被125整除，所以33333333468375能被125整除。②33333333468375能不能被125整除38③1234567891011121314能不能被3和9整除。回憶：能被3（或9）整除的數(shù)的特征：

各個(gè)數(shù)位數(shù)字的和能被3（或9）整除。解：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋1＋0＋1＋1＋1＋2＋1＋3＋1＋4＝60

因?yàn)?60960

所以這個(gè)數(shù)能被3整除而不能被9整除。答：這個(gè)數(shù)能被3整除而不能被9整除。∣③1234567891011121314能不能被3和9整除。39應(yīng)用舉例（二）根據(jù)規(guī)律填空例2、⑴已知45︱

求所有滿足條件的六位數(shù)。解：因?yàn)?5＝5×9，根據(jù)整除的性質(zhì)②，可知5︱

，9︱

所以y可以是0或者5，當(dāng)y＝0時(shí)，根據(jù)9︱及數(shù)的整除特征可知x＝；當(dāng)y＝5時(shí)，根據(jù)

9︱

及數(shù)的整除特征可知x＝

答：滿足條件的六位數(shù)是或。59519930919935應(yīng)用舉例（二）根據(jù)規(guī)律填空例2、⑴已知45︱40（2）李老師為學(xué)校一共買了28支價(jià)格相同的鋼筆，共付人民幣9□.2□元，已知□處數(shù)字相同，請(qǐng)問：每支鋼筆多少元？分析：由28支鋼筆的價(jià)格相同可知，總錢數(shù)9□.2□是28的倍數(shù)，同上面的解題思路類似，可以用數(shù)的整除性質(zhì)和數(shù)的整除特征結(jié)合起來解答。（2）李老師為學(xué)校一共買了28支價(jià)格相同的鋼筆，共付人民幣9419□.2□元＝9□2□分解：∵28＝4×7，根據(jù)整除的性質(zhì)③，可知4︱9□2□且7︱9□2□

∴

根據(jù)4的整除特征可知□可以填0、4、8