6.3利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題第六章內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測全達(dá)標(biāo)課標(biāo)要求1.了解導(dǎo)數(shù)在解決利潤最大、效率最高、用料最省等實(shí)際問題中的作用;2.能利用導(dǎo)數(shù)求出某些實(shí)際問題的最大值(最小值).基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)

最優(yōu)化問題1.最優(yōu)化問題的定義生活中,經(jīng)常會遇到求利潤

、用料

、效率

等實(shí)際問題,這些問題通常稱為

.

2.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的最優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系.列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型,寫出實(shí)際問題中變量之間的

,根據(jù)實(shí)際意義確定定義域.

(2)求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x).解方程f'(x)=0得出定義域內(nèi)的實(shí)根,確定

.

(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)處的函數(shù)值,獲得所求的最大(小)值.(4)還原到原實(shí)際問題中作答.最大

最省最高最優(yōu)化問題函數(shù)關(guān)系y=f(x)極值點(diǎn)名師點(diǎn)睛

用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的基本過程解應(yīng)用題時,首先要在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題——就是從實(shí)際問題出發(fā),抽象概括,利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型——再利用數(shù)學(xué)知識對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、研究,得到數(shù)學(xué)結(jié)論;然后再把數(shù)學(xué)結(jié)論返回到實(shí)際問題中進(jìn)行檢驗(yàn).其思路如下:(1)審題:閱讀理解文字表達(dá)的題意,分清條件和結(jié)論,找出問題的主要關(guān)系.(2)建模:將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言,利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.(3)解模:把數(shù)學(xué)問題化歸為常規(guī)問題,選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解.(4)對結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證評估,定性、定量分析,作出正確的判斷,確定其答案.過關(guān)自診1.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位:萬元)與年產(chǎn)量x(單位:萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x3+81x-234,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為(

)

A.13萬件 B.11萬件

C.9萬件

D.7萬件答案

C解析

∵y=-x3+81x-234,∴y'=-x2+81(x>0).令y'<0,得x>9;令y'>0得0<x<9.∴函數(shù)在(0,9)上單調(diào)遞增,在(9,+∞)上單調(diào)遞減,∴當(dāng)x=9時,函數(shù)取得最大值.故選C.2.在實(shí)際問題中,如果在定義域內(nèi)函數(shù)只有一個極值點(diǎn),則函數(shù)在該點(diǎn)處取最值嗎?你能列舉幾個關(guān)于利潤的等量關(guān)系嗎?提示

根據(jù)函數(shù)的極值與單調(diào)性的關(guān)系可以判斷,函數(shù)在該點(diǎn)處取最值,并且極小值點(diǎn)對應(yīng)最小值,極大值點(diǎn)對應(yīng)最大值.舉例:利潤=收入-成本,利潤=每件產(chǎn)品的利潤×銷售件數(shù).重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一利潤最大、效率最高問題【例1】

某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)=+10(x-6)2,其中3<x<6,a為常數(shù),已知銷售價格為5元/千克時,每日可售出該商品11千克.(1)求a的值;(2)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價格x的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.x(3,4)4(4,6)f'(x)+0-f(x)↗極大值42↘由上表可得,x=4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),所以,當(dāng)x=4時,函數(shù)f(x)取得最大值,且最大值等于42.故當(dāng)銷售價格為4元/千克時,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.規(guī)律方法

利潤最大問題的求解方法利用導(dǎo)數(shù)解決利潤最大問題,關(guān)鍵是要建立利潤的函數(shù)關(guān)系式,然后借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值,注意函數(shù)定義域的限制以及實(shí)際意義.探究點(diǎn)二費(fèi)用最低(用料最省)問題【例2】

為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)=(0≤x≤10).若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬元.設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式;(2)隔熱層修建多厚時,總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小,并求最小值.規(guī)律方法

費(fèi)用最低問題的求解策略(1)用料最省、成本(費(fèi)用)最低問題是日常生活中常見的問題之一,解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象.正確書寫函數(shù)表達(dá)式,準(zhǔn)確求導(dǎo),結(jié)合實(shí)際作答.(2)利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際問題,當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個點(diǎn)使f'(x)=0時,如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值,那么不與端點(diǎn)值比較,也可以知道在這個點(diǎn)取得最大(小)值.變式訓(xùn)練1一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比.已知速度為每小時10千米時,燃料費(fèi)是每小時6元,而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時96元,問輪船的速度是多少時,航行1千米所需的費(fèi)用總和最少?令q'=0,解得v=20.當(dāng)v<20時,q'<0;當(dāng)v>20時,q'>0,所以當(dāng)v=20時,q取得最小值.即當(dāng)速度為20千米/時時,航行1千米所需的費(fèi)用總和最少.探究點(diǎn)三面積、體積最大問題【例3】

用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架,如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m,那么高為多少時容器的容積最大,并求出它的最大容積.解

設(shè)容器底面的寬為x

m,則長為(x+0.5)m,由題意知x>0,x+0.5>0,且3.2-2x>0,∴0<x<1.6.設(shè)容器的容積為V(x)

m3,則有V(x)=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x(0<x<1.6),∴V(x)'=-6x2+4.4x+1.6.令V(x)'=0,有15x2-11x-4=0,∴當(dāng)x∈(0,1)時,V'(x)>0,V(x)為增函數(shù);x∈(1,1.6)時,V'(x)<0,V(x)為減函數(shù).∴V(x)在x∈(0,1.6)時取極大值V(1)=1.8,這個極大值就是V(x)在x∈(0,1.6)時的最大值,即V(x)max=1.8,這時容器的高為1.2

m.∴當(dāng)高為1.2

m時,容器的容積最大,最大值為1.8

m3.規(guī)律方法

面積、體積最大問題的求解策略求面積、體積的最大值問題是生活、生產(chǎn)中的常見問題,解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)確定出自變量及其取值范圍,利用幾何性質(zhì)寫出面積或體積關(guān)于自變量的函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)的方法來解.變式訓(xùn)練2周長為20cm的矩形,繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個圓柱,則圓柱體積的最大值為

cm3.

解析

設(shè)圓柱半徑對應(yīng)的矩形的一邊長為x

cm,則另一邊長為(10-x)cm(0<x<10).由題意可知圓柱體積為V=πx2(10-x)=10πx2-πx3.∴V'=20πx-3πx2,

素養(yǎng)培優(yōu)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用(1)當(dāng)汽車以40千米/時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油多少升?(2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?【典例】

統(tǒng)計顯示,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量(單位:升)與行駛速度x(單位:千米/時)的函數(shù)解析式可以表示為令h'(x)=0,得x=80,當(dāng)x∈(0,80)時,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(80,120)時,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.∴當(dāng)x=80時,h(x)取到極小值h(80)=11.25,也是最小值.即當(dāng)汽車以80千米/時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少,最少為11.25升.規(guī)律方法

在求實(shí)際問題中的最大值或最小值時,一般先設(shè)自變量、因變量、建立函數(shù)關(guān)系式,并確定其定義域,再利用求函數(shù)最值的方法求解,注意結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況相符合.學(xué)以致用?隨堂檢測全達(dá)標(biāo)1.一個矩形鐵皮的長為16cm,寬為10cm,在四個角上截去四個相同的小正方形,制成一個無蓋的小盒子,若記小正方形的邊長為x(單位:cm),小盒子的容積為V(單位:cm3),則(

)A.當(dāng)x=2時,V有極小值

B.當(dāng)x=2時,V有極大值答案

B解析

小盒子的容積為V=x(16-2x)(10-2x)=4x3-52x2+160x(0<x<5),所以V'=12x2-104x+160,令V'=0,得x=2或x=(舍去),當(dāng)0<x<2時,V'>0,V(x)單調(diào)遞增,當(dāng)2<x<5時,V'<0,V(x)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=2時,V(x)有極大值為144.故選B.2.做一個容積為256cm3的方底無蓋水箱,要使用料最省,水箱的底面邊長為(

)A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm答案

D3.已知某廠生產(chǎn)某種商品x(單位:百件)的總成本函數(shù)為C(x)=x3-6x2+29x+15(單位:萬元),總收益函數(shù)為R(x)=20x-x2(單位:萬元),則生產(chǎn)這種商品所獲利潤的最大值為

萬元.

答案

66

解析

設(shè)利潤為P(x),則P(x)=R(x)-C(x)=20x-x2-x3+6x2-29x-15=-x3+5x2-9x-15,所以P'(x)=-x2+10x-9,由P'(x)=0,得x=9或x=1,所以當(dāng)1<x<9時,P(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>9時,P(x)單調(diào)遞減.所以當(dāng)x=9時,P(x)有極大值,也即最大值P(9)=66.4.用長為24cm的鋼條圍成一個長方體框架,要求長方體的長與寬之比為3∶1,則長方體的寬為

時,其體積最大.

答案

1

解析

設(shè)長方體的寬為x(x>0),高為h,則該長方體的長為3x,所以有4x+4·3x+4h=24,則h=6-4x>0,即0<x<,因此該長方體的體積為V(x)=x·3x·h=3x2(6-4x)=6(3x2-2x3),所以V'(x)=6(6x-6x2)=36x(1-x),當(dāng)x∈(0,1)時,V'(x)>0,