1.1.2空間向量基本定理第一章課標要求1.掌握共線向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空間向量基本定理的內容及含義;2.理解基底、基向量的概念,能用恰當的基底表示空間向量;3.能用共線向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理和空間向量基本定理解決立體幾何中的簡單問題.內容索引0102基礎落實?必備知識全過關重難探究?能力素養全提升03學以致用?隨堂檢測全達標基礎落實?必備知識全過關知識點1

空間中的共線向量基本定理兩個空間向量a,b,如果a≠0,且b∥a,則

的實數λ,使得

.

名師點睛存在唯一

b=λa

過關自診已知向量a,b不共線,p=ka+b,q=a-k2b,若p,q共線,則k的值是(

)A.0 B.1 C.-1 D.2答案

C

提示若p,q共線,則存在唯一的實數x,使p=xq,即ka+b=xa-xk2b,則

解得k=-1.知識點2

共面向量定理如果兩個向量a,b不共線,則向量a,b,c共面的充要條件是,存在唯一的實數對(x,y),使c=xa+yb.名師點睛證明空間向量共面或四點共面的方法(1)向量表示:設法證明其中一個向量可以表示成另兩個向量的線性組合,即若p=xa+yb,則向量p,a,b共面.(2)若存在有序實數組(x,y,z)使得對于空間任一點O,及不共線的三點A,B,C,過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)√×2.向量a,b均是非零向量,a,b不共線,在空間中任取一點O,作,若向量c與a,b共面,則表示c的有向線段所在的直線與平面OAB的關系是什么?提示表示c的有向線段所在直線與平面OAB平行或該直線在平面OAB內.

知識點3

空間向量基本定理如果空間中的三個向量a,b,c

,那么對空間中的任意一個向量p,存在

的有序實數組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.其中,空間中不共面的三個向量a,b,c組成的集合{a,b,c},常稱為空間向量的一組基底.此時,a,b,c都稱為基向量;如果p=xa+yb+zc,則稱xa+yb+zc為p在基底{a,b,c}下的分解式.

不共面

唯一

名師點睛(1)任意三個不共面向量都可構成空間的一組基底;任意一組空間向量的基底都可生成空間的所有向量;每一個空間向量都可被分解到任意一組基底中;同一個向量在同一組基底下的分解式是唯一的.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)如果向量a,b與任何向量都不能構成空間的一組基底,則a,b一定共線.(

)(2)任何三個不共線的向量都可構成空間向量的一組基底.(

)√×答案C

重難探究?能力素養全提升探究點一空間向量共線的判定【例1】

如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1D1,AB的中點,E在AA1上且AE=2EA1,F在CC1上且CF=FC1,判斷

是否共線.規律方法

1.判斷兩向量是否共線:判斷兩向量a,b(b≠0)是否共線,即判斷是否存在實數λ,使a=λb.本例中緊緊圍繞

之間的倍數關系,正是體現了共線向量定理的應用要領.2.求解參數:已知兩非零向量共線,可求其中參數的值,即利用“若a∥b,則a=λb(λ∈R)”.這一結論可逆向解決已知條件為向量平行的若干問題.3.判斷或證明空間中的三點(如P,A,B)是否共線的方法變式訓練1探究點二空間向量共面問題規律方法

證明空間三向量共面或四點共面的方法設法證明其中一個向量可以表示成另兩個向量的線性組合,即若p=xa+yb,則向量p,a,b共面.對于此方法的使用要注意涉及的向量的始點、終點問題,變式訓練2∵它們有共同的起點M,且A,B,C三點不共線,∴M,A,B,C四點共面,即點M在平面ABC內.探究點三空間向量基本定理角度1基底的判斷

規律方法

判斷給出的某一向量組中的三個向量能否作為基底,關鍵是要判斷它們是否共面,如果從正面難以入手,常用反證法或是一些常見的幾何圖形幫助我們進行判斷.此例中將能否構成基底問題轉化為一個方程組是否有解的討論.變式訓練3下列說法正確的是(

)A.任何三個向量可構成空間向量的一組基底B.空間向量的基底有且僅有一組C.A,B,M,N是空間中的四個點,若

不能構成空間向量的一組基底,則點A,B,M,N共面D.基底{a,b,c}中基向量與基底{e,f,g}中基向量對應相等答案C

解析

A項中應是不共面的三個向量構成空間向量的一組基底,所以A錯;B項中空間向量的基底有無數組,所以B錯;C項顯然正確;D項中因為基底不唯一,所以D錯.故選C.角度2用基底表示向量規律方法

1.空間中,任一向量都可以用一組基底表示,且只要基底確定,則表示形式是唯一的.2.用基底表示空間向量時,一般要結合圖形,運用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則,以及數乘向量的運算法則,逐步向基向量過渡,直至全部用基向量表示.3.在空間幾何體中選擇基底時,通常選取公共起點最集中的向量或關系最明確的向量作為基底,例如,在正方體、長方體、平行六面體、四面體中,一般選用從同一頂點出發的三條棱所對應的向量作為基底.變式探究

變式訓練4如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=4,AA1=5,∠DAB=60°,∠BAA1=60°,∠DAA1=60°,M,N分別為D1C1,C1B1的中點.角度3空間向量基本定理的應用【例5】

如圖所示,已知矩形ABCD,P為平面ABCD外一點,且PA⊥平面ABCD,M,N分別為PC,PD上的點,且PM∶MC=2∶1,N為PD中點,求滿足規律方法

用基向量表示指定向量的方法選定空間中不共面的三個向量作基向量,并用它們表示出指定的向量,是用向量解決立體幾何問題的一項基本功.要結合已知和所求,觀察圖形,聯想相關的運算法則和公式等,就近表示待求向量,再對照目標,將不符合目標要求的向量當作新的待求向量,如此繼續下去,直到所有向量都符合目標要求為止.變式訓練5答案

B

素養培優思維拓展——空間向量基本定理的體積形式【典例】

若P為四面體ABCD內的任一點,VB,VC,VD,V分別表示四面體PACD,四面體PABD,四面體PABC,四面體ABCD的體積,則【規范答題】

當P在平面ABC或平面ABD或平面ACD時易證結論也成立.學以致用?隨堂檢測全達標1.給出下列說法,其中錯誤的是(

)A.空間任意三個向量都可以作為一組基底B.已知向量a∥b,則a,b與任何向量都不能構成空間向量的一組基底C.若向量a+b,b+c,c+a是空間向量的一組基底,則a,b,c也是空間向量的一組基底D.已知{a,b,c}是空間向量的一組基底,若m=a+c,則{a,b,m}也是空間向量的一組基底答案A

解析

A選項,空間任意的三個不共面的向量才可以作為一組基底,故A錯;B選項,若a∥b,則a,b與任何向量都共面,故不能構成空間向量的一組基底,故B對;C選項,設d是空間任意一個向量,由題意存在唯一一組實數(x,y,z),使d=x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c,則a,b,c也是空間向量的一組基底,故C對;D選項,∵{a,b,c}是空間向量的一組基底,∴a,b與向量m=a+c一定不共面,∴{a,b,m}也可以構成空間向量的一組基底,故D對.故選A.2.下列條件中,使點M與點A,B,C一定共面的是(

)答案C

3.(多選題)若空間中任意四點O,A,B,P滿足,其中m+n=1,則結論正確的有(

)A.P∈直線ABB.P?直線ABC.O,A,B,P四點共面D.P,A,B三點共線答案

AC