看人生峰高處，唯有磨難多正果?？慈松甯咛?，唯有磨難多正果。152.1.3超幾何分布［丨學習耳標導航——理解超幾何分布及其推導過程.（重點、難點）能用超幾何分布解決一些簡單的實際問題.（難點）階段1階段1認知顱習質礙［基礎?初探］教材整理超幾何分布閱讀教材P?P例1以上部分，完成下列問題.4445設有總數為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n件（nWN），這nCmCn－m件中所含這類物品件數X是一個離散型隨機變量，它取值為m時的概率為P（X=m）=寸N（OWmWl,l為n和M中較小的一個），則稱離散型隨機變量X的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱X服從參數為N,M，n的超幾何分布.心微懷驗。判斷（正確的打“廠，錯誤的打“X”）（1）超幾何分布的模型是不放回抽樣?（"）（2）超幾何分布的總體里可以有兩類或三類特點.（X）（3）超幾何分布中的參數是N,M，n.（V）（4）超幾何分布的總體往往由差異明顯的兩部分組成.（V）2?設10件產品中有3件次品，現從中抽取5件，則CC表示（）C5105件產品中有3件次品的概率5件產品中有2件次品的概率5件產品中有2件正品的概率5件產品中至少有2件次品的概率【解析】根據超幾何分布的定義可知C2表示從3件次品中任選2件，C：表示從7件正品中任選3件，故選B.【答案】B［質疑?手記］預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：合作探究通關［小組合作型］超幾何分布概率公式的應用例從放有10個紅球與15個白球的暗箱中，隨意摸出5個球，規定取到一個白球得1分，一個紅球得2分，求某人摸出5個球，恰好得7分的概率.【精彩點撥】摸出5個球得7分，即摸出2個紅球，3個白球，然后利用超幾何分布的概率公式求解即可.【自主解答】設摸出的紅球個數為X,則X服從超幾何分布，其中N=25,M=10,n=5,由于摸出5個球，得7分，僅有兩個紅球的可能，那么恰好得7分的概率為P(X=2)C2C3=-^5.385,C525即恰好得7分的概率約為0.385.1.解答此類問題的關鍵是先分析隨機變量是否滿足超幾何分布.若滿足，則直接利用公式解決；若不滿足，則應借助相應概率公式求解.注意公式中M,N,n的含義.［再練一題］在8個大小相同的球中，有2個黑球，6個白球，現從中取3個，求取出的球中白球個數X的分布列.【解】X的可能取值是1,2,3.C—C23(=1)=C3=28；8C2?C115p(x=2)=〒=28；8C3?Co5P(X=3)=〒芯.8故X的分布列為X123P15282814III如姜超幾何分布的分布列例袋中有4個紅球，3個黑球，這些球除顏色外完全相同，從袋中隨機抽取球，設取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分，從袋中任取4個球.求得分X的分布列；求得分大于6分的概率.【精彩點撥】寫出X的可能值一求出每個X對應的概率一寫出分布列【自主解答】⑴從袋中任取4個球的情況為：1紅3黑，2紅2黑，3紅1黑，4紅,共四種情況，得分分別為5分，6分，7分，8分，故X的可能取值為5,6,7,8.TOC\o"1-5"\h\zC1C34P(x=5)=百=嘉7C2C218P(X=6)=Z=C4357C3C112P(X=7)=-CP35C435P(X=8)=C4=丄(8)C435.7故所求分布列為X5678P41812丄3535353512⑵根據隨機變量的分布列可以得到大于6分的概率為P(X〉6)=P(X=7)+P(X=8)=石+35=^-求超幾何分布的分布列時，關鍵是明確隨機變量確實服從超幾何分布及隨機變量的取值，分清其公式中M,N,n的值，然后代入公式即可求出相應取值的概率，最后寫出分布列.［再練一題］2?在本例中，設*為取得紅球的分數之和，兀為取得黑球的分數之和，X=|X廠XJ,求X的分布列.

解】從袋中任取4個球的情況為：紅3黑，X=2,1紅2黑，X解】從袋中任取4個球的情況為：紅3黑，X=2,1紅2黑，X=4,13紅1黑，X=6,1X=3,X=l；2X=2，X=22X=1，X=524紅，X=8，X=0，X=8.12C1C34P(X=1)=CCCC47C2C21835,P(X=2)=玄735'C3C112=43——C435C4，P(X=8)=C4=故所求的分布列為：X1258P_41812丄353535357［探究共研型］超幾何分布的綜合應用探究從含有5件次品的100件產品中任取3件.這100件產品可分幾類？取到的次品數X的取值有哪些？求次品數X=2的概率.【提示】產品分兩類：次品和非次品；X取值為：0,1,2,3；P(X=2)=CC5.100例在一次購物抽獎活動中，假設10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品，其余6張沒有獎品.顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數X的分布列；顧客乙從10張獎券中任意抽取2張，求顧客乙中獎的概率；設顧客乙獲得的獎品總價值為Y元，求Y的分布列.【精彩點撥】(1)從10張獎券中抽取1張，其結果有中獎和不中獎兩種，故X?(0,1).(2)從10張獎券中任意抽取2張，其中含有中獎的獎券的張數X(X=1,2)服從超幾何分布.【自主解答】(1)抽獎一次，只有中獎和不中獎兩種情況，故X的取值只有0和1兩種情況.C14223P(X=1)=-4=--=-，則P(X=0)=1-P(X=1)=1--=-.C11010555因此X的分布列為X01(2)①顧客乙中獎可分為互斥的兩類事件：所抽取的2張獎券中有1張中獎或2張都中獎.獎.C1C1＋C2C0302故所求概率P=C4C6十C4C6=302②Y的所有可能取值為0,10,20,50,60,且P(Y=0)=P(Y=0)=CCC2=1|=j,P(Y=10)=C1C1=^=2C2453'…jC2—45—5'1010C2C031C1C162p(y=20)=百花芯，p(Y=50)=f=—=-10C1C131P(Y=60)=—==—C2—45一15'10C24515'10因此隨機變量Y的分布列為Y010Y010205060P12丄_2_丄35151515解決超幾何分布問題的兩個關鍵點(1)超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問題時可以直接利用公式求解，但不能機械地記憶.(2)超幾何分布中，只要知道M,N,n,就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X=k),從而求出X的分布列.［再練一題］現有10張獎券，其中8張1元，2張5元，從中同時任取3張，求所得金額的分布列.【解】設所得金額為X,X的可能取值為3,7,11.C37C2C17P(X"心產15P(X=7)=百芯，1010C1?C21p(x=n)=亍話10故X的分布列為X3711P7丄151515

1.今有電子元件50個，其中一級品45個，二級品5個，從中任取3個，出現二級品的概率為()C3A.尸C350O+C2+C3R—255B.C350C3C1—FC350OC2+C2OD55^^5DC350【解析】出現二級品的情況較多，可以考慮不出現二級品概率為C5,故答案為I—》.TOC\o"1-5"\h\zC3C35050【答案】C一批產品共10件，次品率為20%，從中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為()導學號：62980038】28A—28A—A?4511C—C45B45

17D-45【解析】C1C116由題意知10件產品中有2件次品，故所求概率為P(X—1)—百一45.10【答案】R一個盒子里裝有大小相同的紅球，白球共30個，其中白球4個.從中任取兩個，則概C1C1＋C2率為氏「的事件是()30沒有白球至少有一個白球至少有一個紅球至多有一個白球【解析】C1C1＋C2C1C1C2十一一k+C4表示任取的兩個球中只有一個白球和兩個都是白球的概C2C2C2303030率，即至少有一個白球的概率.【答案】BTOC\o"1-5"\h\z4?某10人組成興趣小組，其中有5名團員，從這10人中任選4人參加某種活動，用X表示4人中的團員人數，則P(X=3)=.解析】P(X3)C5C1.5PH百—21?10答案】21TOC\o"1-5"\h\z5.在一次英語口語考試中，有備選的10道試題，已知某考生能答對其中的8道試題，規定每次考試都從備選題中任選3道題進行測試，至少答對2道題才算合格，求該考生答對試題數X的分布列，并求該考生合格的概率.C1?C21【解】x可以取1,2,3.P(X=1)=-^=話，10C2?Ci7C3?C。7p(X=2)=亍蒼，p(x=3)=亍蒼.1010所以X的分布列為：X=k123P(X=k)丄15715715該考生合格的概率為P(X^2)=P(X=2)+7714P(X=3)=15+^=^-學業分層測評(建議用時：45分鐘)［學業達標］一、選擇題一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，還有4個同樣大小的白球編號為7,8,9,10.現從中任取4個球，有如下幾種變量：X表示取出的最大號碼；X表示取出的最小號碼；取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，X表示取出的4個球的總得分；X表示取出的黑球個數.這四種變量中服從超幾何分布的是()①②B.③④C.①②④D.①②③④【解析】由超幾何分布的概念知③④符合，故選B.

答案】B某校從學生會中的10名女生干部與5名男生干部中隨機選取6名學生干部組成“文明校園督察隊”，則組成4女2男的“文明校園督察隊”的概率為()明校園督察隊”C615A615C4C2C105C.C6C3C3B.C6C3C3B.C615C4A2A615解析】組成4女2男的“文明校園督察隊”的概率15答案】一個盒子里裝有相同大小的10個黑球、12個紅球、4個白球，從中任取2個，其中C1C1＋C2白球的個數記為X,則下列概率等于22CT22的是()C226A.P(0〈XW2)B.P(XWl)C.P(X=1)D.P(X=2)C1C1【解析】結合題意，當X=1時，P(X=1)=-C2-4,C226當X=0時，P(X=0)=C2,C226C1C1＋C2故P(X<1)=C22C4^C22C226【答案】B設袋中有80個球，其中40個紅球，40個黑球，這些球除顏色外完全相同，從中任取兩球，則所取的兩球同色的概率為()39A—A.7939A—A.79B—418041【解析】C2＋C239由題意知所求概率為P—^L—79?C27980【答案】AC-2D?五在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現從中任意選10個村莊，用X表示這10個C4C6村莊中交通不方便的村莊數，下列概率等于尸的是()C1015A.P(X=2)B.P(XW2)P(X=4)D.P(XW4)

【解析】15個村莊中，7個村莊交通不方便，8個村莊交通方便，C7C6表示選出的10C4C6個村莊中恰有4個交通不方便，6個交通方便的村莊，故P(X=4)=-C-8.C1015【答案】-二、填空題6?從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺，若設X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數，則P(X=1)=.【解析】X=1表示的結果是抽取的2臺彩電有甲型和乙型彩電各一臺，故所求概率P(P(X=1)=-1-132答案】某導游團由外語導游10人，其中6人會說日語，現要選出4人去完成一項任務，則有2人會說日語的概率為.【解析】-2-23有兩人會說日語的概率為戸一7?-4710【答案】37在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質期.從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到1瓶已過了保質期飲料的概率為.(結果用最簡分數表示)【解析】從這30瓶飲料中任取2瓶，設至少取到1瓶已過了保質期飲料為事件A，-1-1-228則P(A)-cr+cr=n?3030答案】28答案】28145三、解答題(2016?大慶高二模擬)某校組織一次冬令營活動，有8名同學參加，其中有5名男同學，3名女同學，為了活動的需要，要從這8名同學中隨機抽取3名同學去執行一項特殊任務，記其中有X名男同學.求X的分布列；求去執行任務的同學中有男有女的概率.解】(1)X的可能取值為0,1,2,3.解】(1)X的可能取值為0,1,2,3.根據公式P(X=k)=-k-n-kMNM-nNk=0,1,2.m，其中m=min{M,n}算出其相應的概率.即X的分布列為X0123

P丄1515_5_56562828151545⑵去執行任務的同學中有男有女的概率為p=p(x=i)+p(x=2)=56+28=5?袋中裝著標有數字1,2,3,4,5的小球各2個，從袋中任取3個小球，按3個小球上最大數字的9倍計分，每個小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3個小球上的最大數字.求：(1)取出的3個小球上的數字互不相同的概率；(2)隨機變量X的概率分布;計算介于20分到40分之間的概率.C3C1C1C1【解】(1)“一次取出的3個小球上的數字互不相同”的事件記為A,則P(A)=-5-2-^(2)由題意，X所有可能的取值為2,3,4,5.C2C1+C1C2C2C1+C1C21P(X=2)=C2C2+C2C2=30；C310C2C1+C1C22P(X=3)=C4C2+C4c2=2C310C2C1+C1C23P(X=4)=C6C2+C6c2=215C310P(X=5)=C2C1+C1C28108C310所以隨機變量X的概率分布為15X2345P丄_2__3__8301510152⑶一次取球得分介于20分到40分之間的事件記為C,P(C)=P(X=3)+P(X=4)=^+［能力提升］1.從一批含有13件正品，2件次品的產品中，不放回地任取3件，則取出的產品中無次品的概率為()22A—A.3522A—A.351C—C.35B?祜

34D?嘉【解析】設隨機變量X表示取出次品的件數,C0CC/r