-試卷第試卷第=page88頁，總=sectionpages99頁.z.初中數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練：實(shí)際問題與二次函數(shù)一、利用函數(shù)求圖形面積的最值問題圍成圖形面積的最值只圍二邊的矩形的面積最值問題如圖1，用長為18米的籬笆（虛線部分）和兩面墻圍成矩形苗圃。設(shè)矩形的一邊長為*（米），面積為y（平方米），求y關(guān)于*的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)*為何值時(shí)，所圍成的苗圃面積最大？最大面積是多少？分析：關(guān)鍵是用含*的代數(shù)式表示出矩形的長與寬。解：（1）設(shè)矩形的長為*（米），則寬為（18-*）（米），根據(jù)題意，得：；又∵（2）∵中，a=-1＜0，∴y有最大值，即當(dāng)時(shí)，故當(dāng)*=9米時(shí)，苗圃的面積最大，最大面積為81平方米。點(diǎn)評(píng)：在回扣問題實(shí)際時(shí)，一定注意不要遺漏了單位。只圍三邊的矩形的面積最值如圖2，用長為50米的籬笆圍成一個(gè)養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一面靠墻。問如何圍，才能使養(yǎng)雞場的面積最大？分析：關(guān)鍵是明確問題中的變量是哪兩個(gè)，并能準(zhǔn)確布列出函數(shù)關(guān)系式解：設(shè)養(yǎng)雞場的長為*（米），面積為y（平方米），則寬為（）（米），根據(jù)題意，得：；又∵∵中，a=＜0，∴y有最大值，即當(dāng)時(shí)，故當(dāng)*=25米時(shí)，養(yǎng)雞場的面積最大，養(yǎng)雞場最大面積為平方米。點(diǎn)評(píng)：如果設(shè)養(yǎng)雞場的寬為*，上述函數(shù)關(guān)系式如何變化？請(qǐng)讀者自己完成。圍成正方形的面積最值例3、將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個(gè)正方形．(1)要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于17cm2，則這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少"(2)兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12cm2嗎"若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請(qǐng)說明理由．（1）解：設(shè)剪成兩段后其中一段為*cm，則另一段為（20-*）cm由題意得：解得：當(dāng)時(shí)，20-*=4；當(dāng)時(shí)，20-*=16答：這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是16厘米、4厘米。（2）不能理由是：設(shè)第一個(gè)正方形的邊長為*cm，則第二個(gè)正方形的邊長為cm，圍成兩個(gè)正方形的面積為ycm2，根據(jù)題意，得：，∵中，a=2＞0，∴y有最小值，即當(dāng)時(shí)，=12.5＞12,故兩個(gè)正方形面積的和不可能是12cm2.練習(xí)1、如圖，正方形EFGH的頂點(diǎn)在邊長為a的正方形ABCD的邊上，若AE=*，正方形EFGH的面積為y.(1)求出y與*之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)正方形EFGH有沒有最大面積？若有，試確定E點(diǎn)位置；若沒有，說明理由.二、利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑物問題例題1如圖（1）是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂（拱橋洞的最高點(diǎn)）離水面2m，水面寬4m．如圖（2）建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的關(guān)系式是.圖（1）圖（2）圖（1）圖（2）.【解析】試題分析：由圖中可以看出，所求拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，可設(shè)此函數(shù)解析式為：y=a*2，利用待定系數(shù)法求解.試題解析：設(shè)此函數(shù)解析式為：，；則（2，-2）應(yīng)在此函數(shù)解析式上．則即得，則．考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式.練習(xí)1*地要建造一個(gè)圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個(gè)花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上，拋物線形狀如圖（1）所示.圖（2）建立直角坐標(biāo)系，水流噴出的高度y（米）與水平距離*（米）之間的關(guān)系是.請(qǐng)回答下列問題：(1)柱子OA的高度是多少米？(2)噴出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3)若不計(jì)其他因素，水池的半徑至少要多少米才能使噴出的水流不至于落在池外？2．一座橋如圖，橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米.要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米.（1）如圖1，若把橋看做是拋物線的一部分，建立如圖坐標(biāo)系.①求拋物線的解析式；②要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米"（2）如圖2，若把橋看做是圓的一部分.①求圓的半徑；②要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米"三、利用拋物線解決最大利潤問題例題1*市政府大力扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)．李明在政府的扶持下投資銷售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺(tái)燈．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y(件)與銷售單價(jià)*(元)之間的關(guān)系可近似的看做一次函數(shù)：y＝－10*＋500.（1）設(shè)李明每月獲得利潤為w(元)，當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤？（6分）（2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤，則銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？（3分）（3）物價(jià)部門規(guī)定，這種護(hù)眼臺(tái)燈的銷售單價(jià)不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，則他每月的成本最少需要多少元？(成本＝進(jìn)價(jià)×銷售量)（3分）答案：（1）35；（2）30或40；（3）3600.【解析】試題分析：（1）由題意得，每月銷售量與銷售單價(jià)之間的關(guān)系可近似看作一次函數(shù)，根據(jù)利潤=（定價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷售量，從而列出關(guān)系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，從而求出銷售單價(jià)；（3）根據(jù)函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求出最低成本即可．試題解析：（1）由題意得出：，∵，∴當(dāng)銷售單價(jià)定為35元時(shí)，每月可獲得最大利潤．（2）由題意，得：，解這個(gè)方程得：*1=30，*2=40．∴李明想要每月獲得2000元的利潤，銷售單價(jià)應(yīng)定為30元或40元．（3）∵，∴拋物線開口向下.∴當(dāng)30≤*≤40時(shí)，W≥2000.∵*≤32，∴當(dāng)30≤*≤32時(shí)，W≥2000.設(shè)成本為P（元），由題意，得：，∵k=200＜0，∴P隨*的增大而減?。喈?dāng)*=32時(shí)，P最小=3600．答：想要每月獲得的利潤不低于2000元，每月的成本最少為3600元．考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用．練習(xí)1．*玩具批發(fā)商銷售每只進(jìn)價(jià)為40元的玩具，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若以每只50元的價(jià)格銷售，平均每天銷售90只，單價(jià)每提高1元，平均每天就少銷售3只．（1）平均每天的銷售量y(只)與銷售價(jià)*(元／只)之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤W(元)與銷售只*(元／只)之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）物價(jià)部門規(guī)定每只售價(jià)不得高于55元，當(dāng)每只玩具的銷售價(jià)為多少元時(shí)，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少元一系列"三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加．*農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為每千克20元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y(千克)與銷售價(jià)*(元/千克)有如下關(guān)系：.設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為w元.（1）求w與*之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）該產(chǎn)品銷售價(jià)定為每千克多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？2．為了落實(shí)國務(wù)院的指示精神，地方政府出臺(tái)了3．*公司營銷兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)研，發(fā)現(xiàn)如下信息：信息1：銷售種產(chǎn)品所獲利潤(萬元)與所售產(chǎn)品(噸)之間存在二次函數(shù)關(guān)系.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．信息2：銷售種產(chǎn)品所獲利潤(萬元)與所售產(chǎn)品(噸)之間存在正比例函數(shù)關(guān)系．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)求二次函數(shù)解析式；(2)該公司準(zhǔn)備購進(jìn)兩種產(chǎn)品共10噸，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)營銷方案，使銷售兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和最大，最大利潤是多少？4．為鼓勵(lì)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，*市政府出臺(tái)了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān)．李明按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈．已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元，出廠價(jià)為每件12元，每月銷售量（件）與銷售單價(jià)（元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：．（1）李明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個(gè)月將銷售單價(jià)定為20元，則政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為多少元？（2）設(shè)李明獲得的利潤為（元），當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤？（3）物價(jià)部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25元．如果李明想要每月獲得的利潤不低于3000元，則政府為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為多少元？5．*文具店銷售一種進(jìn)價(jià)為10元/個(gè)的簽字筆，物價(jià)部門規(guī)定這種簽字筆的售價(jià)不得高于14元/個(gè)，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)：以12元/個(gè)的價(jià)格銷售，平均每周銷售簽字筆100個(gè)；若每個(gè)簽字筆的銷售價(jià)格每提高1元，則平均每周少銷售簽字筆10個(gè).設(shè)銷售價(jià)為*元/個(gè).（1）該文具店這種簽字筆平均每周的銷售量為個(gè)（用含*的式子表示）；（2）求該文具店這種簽字筆平均每周的銷售利潤w（元）與銷售價(jià)*（元/個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)*取何值時(shí)，該文具店這種簽字筆平均每周的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？6．一汽車租賃公司擁有*種型號(hào)的汽車100輛．公司在經(jīng)營中發(fā)現(xiàn)每輛車的月租金*(元)與每月租出的車輛數(shù)(y)有如下關(guān)系：*3000320035004000y100969080（1）觀察表格，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求出每月租出的車輛數(shù)y（輛）與每輛車的月租金*（元）之間的關(guān)系式.（2）已知租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元．用含*（*≥3000）的代數(shù)式填表:租出的車輛數(shù)未租出的車輛數(shù)租出每輛車的月收益所有未租出的車輛每月的維護(hù)費(fèi)（3）若你是該公司的經(jīng)理，你會(huì)將每輛車的月租金定為多少元，才能使公司獲得最大月收益？請(qǐng)求出公司的最大月收益是多少元．初中數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練：實(shí)際問題與二次函數(shù)參考答案一、1（1）y=2*2-2a*+a2(2)有.當(dāng)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，面積最大.【解析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用.（1）先由AAS證明△AEF≌△DHE，得出AE=DH=*米，AF=DE=（a-*）米，再根據(jù)勾股定理，求出EF2，即可得到S與*之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）先將（1）中求得的函數(shù)關(guān)系式運(yùn)用配方法寫成頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．解：∵四邊形ABCD是邊長為a米的正方形，∴∠A=∠D=90°，AD=a米．∵四邊形EFGH為正方形，∴∠FEH=90°，EF=EH．在△AEF與△DHE中，∵∠A=∠D，∠AEF=∠DHE=90°-∠DEH，EF=EH∴△AEF≌△DHE（AAS），∴AE=DH=*米，AF=DE=（a-*）米，∴y=EF2=AE2+AF2=*2+（a-*）2=2*2-2a*+a2，即y=2*2-2a*+a2；（2）∵y=2*2-2a*+a2=2（*-）2+，∴當(dāng)*=時(shí)，S有最大值．故當(dāng)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，面積最大．練習(xí)1（1）（2）（3）【解析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用.（1）本題需先根據(jù)已知條件把*=0代入拋物線的解析式，從而得出y的值，即可求出答案．（2）通過拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)求得（3）本題需先根據(jù)已知條件把y=0代入拋物線求出所要求的式子，再得出*的值，即可求出答案．解：（1）把*=0代入拋物線的解析式得：y=，即柱子OA的高度是（2）由題意得：當(dāng)*=時(shí)，y=,即水流距水平面的最大高度（3）把y=0代入拋物線得：=0，解得，*1=(舍去，不合題意)，*2=故水池的半徑至少要米才能使噴出的水流不至于落在池外2．（1）①；②10；（2）①14.5；②．【解析】試題分析：（1）①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；②根據(jù)題意得出y=3時(shí)，求出*的值即可；（2）①構(gòu)造直角三角形利用BW2=BC2+CW2，求出即可；②在RT△WGF中，由題可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根據(jù)勾股定理知：GF2=WF2﹣WG2，求出即可．試題解析：（1）①設(shè)拋物線解析式為：，∵橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米，∴A（﹣10，0），B（10，0），D（0，4），∴，解得：，∴拋物線解析式為：；②∵要使高為3米的船通過，∴，則，解得：，∴EF=10米；（2）①設(shè)圓半徑r米，圓心為W，∵BW2=BC2+CW2，∴，解得：；②在RT△WGF中，由題可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根據(jù)勾股定理知：GF2=WF2﹣WG2，即GF2=14.52﹣13.52=28，所以GF=，此時(shí)寬度EF=米．考點(diǎn)：1．二次函數(shù)的應(yīng)用；2．垂徑定理的應(yīng)用．三、1．(1）y=-3*+240；(2)w=-3*2+360*-9600；(3)定價(jià)為55元時(shí)，可以獲得最大利潤是1125元.【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意知銷售量y(只)與銷售價(jià)*(元／只)之間的函數(shù)關(guān)系式為y=90-3（*-50）=-3*+240；(2)根據(jù)"總利潤=每件商品的利潤×銷售量”可知w=（*-40）y=（*-40）（-3*+240）=-3*2+360*-9600；(3)求獲得最大利潤，也就是求函數(shù)w=-3*2+360*-9600的最大值.試題解析：(1）y=90-3（*-50）即y=-3*+240；（2）w=（*-40）y=（*-40）（-3*+240）=-3*2+360*-9600；(3)當(dāng)*≤60，y隨*的增大而減小，當(dāng)*=55時(shí)，w最大=1125所以定價(jià)為55元時(shí)，可以獲得最大利潤是1125元.考點(diǎn)：（1）一次函數(shù)；（2）二次函數(shù)．2．（1）；（2）該產(chǎn)品銷售價(jià)定為每千克30元時(shí)，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤200元.【解析】試題分析：（1）根據(jù)銷售額=銷售量×銷售價(jià)單*，列出函數(shù)關(guān)系式；（2）用配方法將（2）的函數(shù)關(guān)系式變形，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值.試題解析：（1）由題意得：，∴w與*的函數(shù)關(guān)系式為：.（2），∵﹣2＜0，∴當(dāng)*=30時(shí)，w有最大值．w最大值為200.答：該產(chǎn)品銷售價(jià)定為每千克30元時(shí)，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤200元.考點(diǎn)：1.二次函數(shù)的應(yīng)用；2.由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式；3.二次函數(shù)的最值.3．見解析【解析】試題分析：（1）因?yàn)楫?dāng)*=1時(shí)，y=1.4；當(dāng)*=3時(shí)，y=3.6，代入得解得，所以，二次函數(shù)解析式為y=-0.1*2+1.5*；（2）設(shè)購進(jìn)A產(chǎn)品m噸，購進(jìn)B產(chǎn)品（10-m）噸，銷售A、B兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和為W元，根據(jù)題意可列函數(shù)關(guān)系式為：W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（m-6）2+6.6，因?yàn)?0.1＜0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知當(dāng)m=6時(shí)，W有最大值6.6，試題解析：（1）∵當(dāng)*=1時(shí)，y=1.4；當(dāng)*=3時(shí)，y=3.6，

∴解得，所以，二次函數(shù)解析式為y=-0.1*2+1.5*；3分

（2）設(shè)購進(jìn)A產(chǎn)品m噸，購進(jìn)B產(chǎn)品（10-m）噸，銷售A、B兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和為W元，

則W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（m-6）2+6.6，

∵-0.1＜0，

∴當(dāng)m=6時(shí)，W有最大值6.6，

∴購進(jìn)A產(chǎn)品6噸，購進(jìn)B產(chǎn)品4噸，銷售A、B兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和最大，最大利潤是6.6萬元．考點(diǎn)：1.待定系數(shù)法求解析式.2.二次函數(shù)性質(zhì).4．（1）政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為600元；（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為30元時(shí)，每月可獲得最大利潤4000；（3）銷售單價(jià)定為25元時(shí)，政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為500元.【解析】試題分析：（1）根據(jù)每月銷售量（件）與銷售單價(jià)（元）之間的關(guān)系可求得每月銷售量，又由單價(jià)和成本間關(guān)系得到每件節(jié)能燈的差價(jià)，則可得到總差價(jià).（2）求每月可獲得最大利潤，即為求該二次函數(shù)的最大值，將二次函數(shù)配方法，可得該函數(shù)的最大值.（3）同時(shí)滿足，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)知道，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)有最大值時(shí)，有最小值500.試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，，∴政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為600元。（2）依題意得，，，∴當(dāng)時(shí)，有最大值4000.∴當(dāng)銷售單價(jià)定為30元時(shí)，每月可獲得最大利潤4000．（3）由題意得：，解得：，.，拋物線開口向下，∴結(jié)合圖象可知：當(dāng)時(shí)，.又，∴當(dāng)時(shí)，w≥3000.設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為元，.，隨的增大而減小.∴當(dāng)時(shí)，有最小值500.∴銷售單價(jià)定為25元時(shí)，政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為500元.【考點(diǎn)】1.二次函數(shù)的性質(zhì)；2.二次函數(shù)的圖象；3.二次函數(shù)的綜合應(yīng)用