e的故事-----一個常數的傳奇對數ln的誕生及性質e的定義及意義對數螺線懸鏈問題e究竟是一個怎樣的數數學中五個最重要的常數：0、1、、π、ee是一個很出名的數字，但在大眾，遠不如π來的有名。它不夠直觀，不像π可以表示半徑為1的圓的面積。很多人都不能給e下一個準確的定義。我們知道科學計算器上總有個按紐上標著ln，表示取以e為底的對數；大多數計算機編程語言的數學庫中總會提供一個exp函數，用于求e的冪；中學老師告訴我們e是自然對數的底；e是2.718281828459……但是e到底是什么？。為什么要選擇這么一個特殊數字命名為e？“萬物皆數。”———畢達哥拉斯的座右銘大數的乘、除、開平方或開立方運算更讓數學工作者頭痛、更阻礙計算者的了。這不僅浪費時間，而且容易出錯。因此，我開始考慮怎樣消除這些障礙。經過長期的思索，我終于找到了一些漂亮的簡短法則..”約翰·納皮爾個人簡介約翰·納皮爾（JohnNapier，1550～1617），蘇格蘭數學家、神學家，對數的發明者。

Napier出身貴族，于1550年在蘇格蘭愛丁堡附近的小鎮梅奇斯頓出生，是Merchiston城堡的第八代地主，未曾有過正式的職業。年輕時正值歐洲掀起宗教革命，他行旅其間，頗有感觸。蘇格蘭轉向新教，他也成了寫文章攻擊舊教（天主教）的急先鋒（主要文章于1593年寫成）。其時傳出天主教的西班牙要派無敵艦隊來攻打，Napier就研究兵器（包括拏炮、裝甲馬車、潛水艇等）準備與其拚命。雖然Napier的兵器還沒制成，英國已把無敵艦隊擊垮，他還是成了英雄人物。對數的誕生約翰·納皮爾一生研究數學，以發明對數運算而著稱。那時候天文學家TychoBrahe（第谷，1546～1601）等人做了很多的觀察，需要很多的計算，而且要算幾個數的連乘，因此苦不堪言。1594年，他為了尋求一種球面三角計算的簡便方法，運用了獨特的方法構造出對數方法。這讓他在數學史上被重重地記上一筆，然而完成此對數卻整整花了他20年的工夫。1614年6月在愛丁堡出版的第一本對數專著《奇妙的對數表的描述》中闡明了對數原理，后人稱為納皮爾對數：NaplogX。納皮爾對數發表后不久，就使倫敦的一位數學、天文學教授布立格斯（Briggs，1561—1631）感到震驚，由于他最先認識到對數在數字計算中的極端重要性，故于1616年，他親自去蘇格蘭拜訪納皮爾，兩位數學家見面后十分高興，并進行了較深入的學術討論，布立格斯建議可將對數作些改進，以求更便于計算，這種改進即相當于改為以10為底的常用對數，對于這一方面，納皮爾本人雖然也考慮過，但還未來得及修改，于1617年4月4日即與世長辭了。在這種情況下，布立格斯即以其后半生的全部精力，來繼承納皮爾未竟的事業，并于1624年出版了《對數算術》一書，其內容包括有1—20000和90000—100000的以10為底的14位的對數表，而20000—90000之間的數據，到1628年才由荷蘭數學家佛拉格（Vlacq，1600—1667）補足。對數是17世紀最重大的數學發明之一，恩格斯在他的著作《自然辯證法》中曾經把笛卡兒的坐標法、納皮爾的對數、牛頓和萊布尼茲的微積分共同稱為“十七世紀的三大數學發明”法國著名的數學家、天文學家拉普拉斯評價說:“對數，可以縮短計算時間，在實效上等于把天文學家的壽命延長了許多倍”伽利略甚至說：“給我空間、時間及對數，我即可創造一個宇宙。”到十七世紀中葉，對數即傳入我國，我國數學家對對數最有研究的應首推清代數學家戴煦（1805—1860），著有《對數簡法》、《續對數簡法》、《假數測圓》，總稱為《求表捷術》，外國學者得知后，大為嘆服。這是我國數學史上的光輝一頁。

PS:素數定理它由高斯發現，并被譽為整個數學中最著名的發現之一。至今人類未能找出一個產生所有素數的簡單公式，也沒有找到求前n個自然數中所有素數個數的簡單公式。但是考察素數在自然數中的分布規律時，卻找到了些許規律。高斯發現，在自然數n極大時，n與n之內素數個數的比值，近似等于ln(n)。n越大越接近。不過前者是兩個自然數的比值，是一個有理數；而ln(n)是一個無理數。兩者只會無限接近，而永遠不會相等。素數的分布的平均狀態居然可以用對數函數來描述，這太有趣了。兩個似乎無關的數學概念在事實上竟有如此緊密的聯系，真是讓人拍案稱奇。復利問題可自動轉存的存款計息問題稱為復利問題。比如，某顧客向銀行存入本金p元，年利率為r，則n年后他在銀行的存款總額是本金與利息之和為P=p(1+r)n。

如果計息間隔縮短，比如每年結算m次,這樣一年下來的本金與利息之和為P=p(1+r/m)m。令r=1，則P=p(1+1/m)m它實際上給我們提供了一個關于數e的具體模型。令人意外的是，不曾研究對數的數學家雅各布.伯努利（JacobBernoulli，1645~1705）卻首次給出了數e的定義。他在1683年研究復利時，證明了當n→∞時，有極限，指出這個極限在2～3之間。這個極限值就是后來人們稱之為e的數。當然雅各布并沒有認識到這個極限與對數的關系，也沒有把兩者聯系在一起。數e的發現數e作為一個數學常數第一次被正式提出，是在1690年。德國著名數學家萊布尼茲（Leibniz，1646～1716）在寫給惠更斯(Huygens，1629~1695)的信中，提出了這個常數。但他把它記為b，而不是e。把這個常數記作e、并對它作了全面深入研究的數學家是瑞士著名數學家歐拉（Euler，1707-1783）。他從1727年就開始研究它，并記之為e。他得到了眾多的發現。在1748年出版的書《無窮小分析引論》中，他把自己的發現作了完整的敘述與總結。他同樣把數e定義為極限

n,并證明了他取了上述公式的20項進行計算，給出了數e的前18位：

e≈2.718281828459045235。他定義了以e為底的指數函數與對數函數(即自然對數)，此外他還給出了和以e為底的指數函數的冪級數展開式，以及它們的連分數展開式。

最難能可貴的是借助于e，他證明了著名公式：eix=cosx+isinx，被稱作歐拉公式。自Euler之后，以e為底的指數函數與以e為底的對數函數開始進入了數學的各個領域，成為分析學不可缺少的工具。附帶指出，有一些人誤以為這里的字母e是人們為了紀念歐拉，才使用了他的名字的第一個字母。其實不然，是歐拉自己首先使用這個記號，而后來的人只是跟隨了他而已。人們猜測歐拉使用e的原因，可能是由于字母e是“exponential”(指數)的第一個字母的緣故。當然，也可能是其他原因。但有一點可以肯定，他使用e與自己的名字無關，因為人們知道歐拉是個十分謙遜的人。數e的發現與廣泛使用，在數學的發展中曾起了重要作用。以e為底的指數函數y=ex及以e為底的對數函數y=lnx，自歐拉之后，便成為基本初等函數,在分析學以及其他應用領域中扮演著重要角色。在微積分的發展中，數e的引入與自然對數的建立的最大“功績”.如果沒有數e，整個數學的面貌就不會像今天這樣多姿多彩。

幾何中e的定義跟π一樣，e也可以從幾何上給出一個直觀的表示。不過這個圖形不沒有圓那么容易畫出來。我們需要作f(x)=1/x的函數圖象，是一個雙曲線。在第一象限，從x=1到x=e之間，曲線和坐標軸之間所夾的面積正好的單位1。對數螺線對數螺線是一根無止盡的螺線，它永遠向著極繞，越繞越靠近極，但又永遠不能到達極。據說，使用最精密的儀器也看不到一根完全的對數螺線，這種圖形只存在科學家的假想中。螺線特別是對數螺線的美學意義可以用指數的形式來表達：ρ=αekφ其中，α和k為常數，φ是極角，ρ是極徑，e是自然對數的底。為了討論方便，我們把e或由e經過一定變換和復合的形式定義為“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值為2.71828……，是一個無限不循環小數。定理

對數螺線的臂的距離以幾何級數遞增。對數螺線是自我相似的；這即是說，對數螺線經放大后可與原圖完全相同。對數螺線的漸屈線和垂足線都是對數螺線。從原點到對數螺線的任意點上的長度有限，但由那點出發沿對數螺線走到原點卻需繞原點轉無限次。因其完美的形狀特點，對數螺線在自然界中最為普遍存在自然界中的對數螺線雅各布第一·伯努利家族：伯努利家族（17～18世紀）Bernoullifamily在一個家族中，代代相傳，人才輩出，連續出過十余位數學家，堪稱是數學史上的一個奇跡．瑞士伯努利數學家族（17—18世紀）就創造了這樣一個神話．伯努利家族，原籍比利時安特衛普．1583年遭天主教迫害遷往德國法蘭克福，最后定居瑞士巴塞爾．其中以雅各布第一·伯努利，約翰第一·伯努利，丹尼爾第一·伯努利這三人的成就最大。雅各布（1654——1705）他分別于1671和1676年獲得藝術碩士和神學碩士學位，但他對數學有著濃厚的興趣，他的數學幾乎是無師自通的．1676年，他到荷蘭、英國、德國、法國等地旅行，結識了萊布尼茨、惠更斯等著名科學家，從此與萊布尼茨一直保持經常的通訊聯系，互相探討微積分的有關問題．1687回國后，雅各布擔任巴塞爾大學數學教授，教授實驗物理和數學，直至去世．由于雅各布杰出的科學成就，1699年，雅各布當選為巴黎科學院外籍院士；1701年被柏林科學協會（后為柏林科學院）接納為會員．研究成果雅各布在概率論、微分方程、無窮級數求和、變分方法、解析幾何等方面均有很大建樹．許多數學成果與雅各布的名字相聯系．例如懸鏈線問題（1690年），曲率半徑公式（1694年），“伯努利雙紐線”（1694年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周問題”（1700年），“伯努利數”、“伯努利大數定理”等．雅各布對數學最重大的貢獻是概率論．他從1685年起發表關于賭博游戲中輸贏次數問題的論文，后來寫成巨著《猜度術》，這本書在他死后8年，即1713年才得以出版．軼事最為人們津津樂道的軼事之一，是雅各布癡心于研究對數螺線，他發現，對數螺線經過各種變換后仍然是對數螺線：如它的漸屈線和漸伸線是對數螺線，自極點至切線的垂足的軌跡，以極點為發光點經對數螺線反射后得到的反射線，以及與所有這些反射線相切的曲線（回光線）都是對數螺線．他驚嘆這種曲線的神奇，竟在遺囑里要求后人將對數螺線刻在自己的墓碑上，并附以頌詞“縱然變化，依然故我”，用以象征死后永生不朽．（ex+e-x)/2:懸掛的鉤子1659年，克里斯蒂安－惠更斯尋求這樣一條曲線：沿著曲線，一個物體在重力的作用下從曲線上的任一點開始下降，都會花同樣的時間到達曲線底部。他用幾何的方法顯示該曲線是一條擺線。于是他運用這個觀念設計了一個走時準確的擺鐘。這種設計有時被稱為等時線或等時曲線。1690年，雅各布在《博學學報》上用微分方程以及分析的方法證明了惠更斯的結論，并提出一個相關的問題：在高度相同的固定兩點之間懸掛一條易彎曲但無彈性的線，求所得曲線的形狀。13個月后，該問題被萊布尼茲、惠更斯和約翰解決，答案是一種稱為懸鏈線的曲線。雅各布卻聲稱弟弟給出答案后，他進一步研究了該問題的一些變化形式，如繩子厚度和質量不均勻的情況，這些問題他都解決了。約翰則強調他能解決懸鏈線問題而他的哥哥不能，在27年后給他的朋友的一封信中說道：“我得到結果后到哥哥那去，他還在痛苦地思索，認為懸鏈線是拋物線，我對他說你完全錯了。但你卻斷定我哥哥找到了解決問題的方法，這讓我非常驚訝，我問你，你真得這樣認為？”1696年約翰在