13/13歷年考研數學高等數學基礎講義考研數學高等數學基礎講義

目錄

第一講極限(1)

第二講高等數學的基本概念串講(9)

第三講高等數學的基本計算串講(13)

第四講高等數學的基本定理串講(24)

第五講微分方程(27)

第六講多元函數微積分初步(29)

1第一講極限

核心考點概述

1.極限的定義

2.極限的性質

3.極限的計算

4.連續與間斷內容展開一、極限的定義

1.lim是什么？lim是什么？

x→?

n→∞

（1）lim的情況：

x→?

①“x→?”代表六種情形：x→x,x→x+,x→x-

,x→∞,x→+∞,x→-∞

②函數極限運算的過程性——必須保證在作極限運算的過程中函數處處有定義，否則極限過程便無從談起，于是極限就不會存在了。比如下面這個例子：

sin

xsin1x

【例】計算limx→0

.xsin1

x

事實上，在x=0點的任一小的去心鄰域內，總有點x=→0（|k|為充分大的正整數），

kπ

sinxsin1sinxsin1xx使在該點沒有定義，故lim

不存在.xsin1xx→0

xsin1

x

（2）lim是什么？

n→∞

2.極限的定義

（1）函數極限的定義：

limf(x)=A??ε>0,?δ>0,當00,?N>0,當n>N時，恒有x-a0，?X>0，當x>X時，恒有件；

ε

f(x)-A0，則當x→?時，f(x)>0.

x→?

【例】設limf(x)=f(0)，且limf(x)=2，則x=0是

x→0x→01-cosx

（A）極大值點（B）極小值點（C）不是極值點（D）無法判斷

三、極限的計算

1.函數極限的計算

（1）化簡先行

【例1】求極限lim2+sinx(sinx-x)

3

x→0tanx

3

2

-

【例2】求極限lim

x→01+3x-31+5x

x

（2）基本的七種未定型0第一組：

∞0?∞

∞

ex-e2-2cosx【例1】求極限limx→0x4

【例2】求極限limlnx?ln(1-x)

x→1-

第二組：∞-∞

①有分母，則通分

【例】求極限lim(x→01

cos2x

sin2xx2)

4

②沒有分母，創造分母，再通分

1【例】求極限lim[x2

(ex

-1)-x]

x→+∞

第三組：∞

001∞

【例1】求極限lim(x+x→+∞

11+x

2)

x

1

【例2】求極限lim(tanx)

cosx-sinx

x→π

4

（3）核心工具——泰勒公式①牢記8個公式

sinx=x-1

x3+o(x3)

6arcsinx=x+1

x3+o(x3)

6tanx=x+1

x3+o(x3)

3arctanx=x-1

x3+o(x3)

3cosx=1-1x2+21

x4+o(x4)

24ln(1+x)=x-1x2+1x3

+o(x3)

23ex=1+x+1x2+1

x3+o(x3)

26

(1+x)α=1+αx+α(α-1)x2

+o(x2)

2

5

②掌握兩個展開原則

i.A

型——上下同階原則B

【例】lim

x→01+x+

x

1-x-2

2

ii.A-B型——冪次最低原則

【例】已知x→0時，cosx-e

x2

2與cxk為等價無窮小，求c,k.

【練習】設p(x)=a+bx+cx2+dx3，當x→0時，若p(x)-tanx與x3為同階無窮小，求a,b,c,d.

2.數列極限的計算

（1）將xn連續化，轉化為函數的極限

【例】lim(n?

n→∞

tan1))n2

n

6

xan

n00（2）當數列通項為具體已知時，通常的解法為：

1)夾逼準則，2)定積分定義，3)利用冪級數求和（僅數學一要求），

【例】lim1+2+...+n

n→∞

n2+n+1n2+n+2n2+n+n

（3）當數列通項由遞推關系式an=f(an-1)給出時，通常使用單調有界準則

【例】設a>0,x1>0,xn+1=

(2xn+2n

n=1,2,…，證明{x}收斂并求limx.n→∞

四、連續與間斷

1.由于“一切初等函數在其定義區間內必連續”，則只需考慮兩類特殊的點：函數的無定義點和分段函數的分段點.

2.所謂連續

limx→x0

f(x)=f(x0)?f(x)在x=x0處連續

3.所謂間斷

（1）跳躍間斷點：limx→x+

f(x)≠limx→x-

f(x)

7

)13

000000

（2）可去間斷點：limx→x+

f(x)=limx→x-

f(x)≠f(x0)

（3）無窮間斷點：limx→x+

f(x)=∞或limx→x-

f(x)=∞

（4）振蕩間斷點：limx→x+

f(x)或limx→x-

f(x)振蕩

?

ln(1+ax3)??,x0

（I）f(x)在x=0連續；

（II）x=0是f(x)的可去間斷點.

8

第二講高等數學的基本概念串講

核心考點概述

內容展開

一、一元函數微分需的概念及使用

1.考查導數定義的基本形式

ln(1-2x)+2xf(x)【例】設δ>0，f(x)在[-δ,δ]上有定義，f(0)=1,且滿足lim

x→0x2

=0,證明f'(0)存在，并求f'(0).

2.考查導數定義中增量的廣義化

【例】設f(0)=0，下列命題能確定f'(0)存在的是()

（A）lim

h→0f(1-cosh)

h2

存在（B）lim

h→0

f(1-eh)

存在

h

（C）lim

h→0f(h-sinh)

h2

存在（D）lim

h→0

f(2h)-f(h)

存在

h

9

x

二、一元函數積分學的概念及其使用

1.不定積分、變限積分和定積分（1）不定積分

原函數與不定積分設函數f(x)定義在某區間I上，若存在可導函數F(x)，對于該．區．間．上

．任．一．點．都有F'(x)=f(x)成立，則稱F(x)是f(x)在區間I上的一個原函數.稱?f(x)dx=F(x)+C

為f(x)在區間I上的不定積分，其中C為任意常數.

【注】談到函數f(x)的原函數與不定積分，必須指明f(x)所定義的區間.【例1】試證明：如果函數f(x)在[a,b]上連續，則函數F(x)=?af(t)dt在[a,b]上可導，

且F'(x)=f(x)（本題即為變限積分函數求導的知識點）.

【例2】試證明：含有第一類間斷點、無窮間斷點的函數f(x)在包含該間斷點的區間內必沒有原函數F(x).

【注】第二類振蕩間斷點是否有原函數呢？舉例說來，對于

f(x)=??2xsin???

1-cos1,xx

0,x≠0,，x=0,

其在(-∞,+∞)上不連續，它有一個第二類振蕩間斷點x=0，但是它在(-∞,+∞)上存

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?a

??②f(x)=?

???在原函數F(x)=?x2sin1

,x≠0,

x

即，對于(-∞,+∞)上任一點都有F'(x)=f(x)成立.?

?0,x=0.綜合以上幾點，可以得出重要結論：可導函數F(x)求導后的函數F'(x)=f(x)不一定是連續函數，但是如果有間斷點，一定是第二類間斷點（在考研的范疇內，只能是振蕩間斷點）.（2）定積分

定積分存在定理定積分的存在性，也稱之為一元函數的（常義）可積性.這里的“常義”是指“區間有限，函數有界”，也有人稱為“黎曼”可積性，與后面要談到的“區間無窮，函數無界”的“反常”積分有所區別.在本講中所談到的可積性都是指的常義可積性.【注】事實上，還有一個使得定積分存在的充分條件：若f(x)在[a,b]上單調，則?

b

f(x)dx

存在，不過考試大綱對此沒有做要求，考生知道即可.【例】在區間[-1,2]上，以下四個結論，

?2,①f(x)=?1,x>0x=0，有原函數，但其定積分不存在；?-1,x0,a≠1)

dlog

a

x=

dx

xlna

(a>0,a≠1)

(lnx)'=1

x

(ax)'=axlna(a>0,a≠1)(ex)'=ex

dlnx=

1

dx

x

dax=axlnadx(a>0,a≠1)dex=exdx

(arcsinx)'=1

1-x2darcsinx=

1

dx

1-x2

(arccosx)'=-

(arctanx)'=

1

1-x2

1

darccosx=-

darctanx=

1

dx

1-x2

1

dx

1+x

21+x2

(arccotx)'=-1

1+x2darccotx=-

1

dx

1+x2

[ln(x+[ln(x+x2+a2)]'=1

x2+a2

x2-a2)]'=1

x2-a2

dln(x+

dln(x+

x2+a2)=1dx

x2+a2

x2-a2)=1dx

x2-a2

二、一元函數積分學的基本計算

1.湊微分法

（1）基本思想?f[g(x)]g'(x)dx=?f[g(x)]d[g(x)]=?f(u)du

當被積函數比較復雜時，拿出一部分放到d后面去，若能湊成?f(u)du的形式，則湊微分成功.

（2）歸納總結湊微分的思維結構

①熟練掌握教材中的基本積分公式及常用的湊微分公式.

f(x)

②當被積函數可分為f(x)g(x)或

g(x)

時，其中f(x)較復雜時，對f(x)求導數（或其主要部分）求導，一般得到g(x)的倍數，既可以是常數倍，也可以是函數倍，從而湊微分進行計算.

③當對f(x)求導得不到g(x)的倍數時，考慮“被積函數的分子分母”，同乘以或同除以一個適當的因子，恒等變形以達到湊微分的目的.一般而言，因子應根據題設函數給出，常用

的有eαx，xβ，sinx，cosx等.

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??1

n???

cos2x-sinx

【例】求

cosx(1+cosxe

sinx

)dx

2.換元法

（1）基本思想

?f(x)dxx=g(u)?f[g(u)]d[g(u)]

u=g-1

=f[g(u)]g'(u)du(x)

u=g-1

(x)

當被積函數不容易積分（比如含有根式，含有反三角函數）時，可以通過換元的方法從d后面拿出一部分放到前面來，就成為?

f[

g(u)]g'(u)du的形式，若f[g(u)]g'(u)容易積分，則換元成功.

（2）歸納總結換元的思維結構

①三角函數代換——當被積函數含有如下根式時，可作三角代換.

?a2-x2→x=asint,t

a)?

2

②恒等變形后作三角函數代換——當被積函數含有根式形式

ax2+bx+c時，可化為以下三種

?2(x)+k2，?2(x)-k2，k2-?2(x)，再做三角代換.

③根式代換——當被積函數含有根式nax+b，

ax+b，cx+d

aebx+c等時，一般令根式

*=t.對既含有nax+b，也含max+b，一般取m,n的最小公倍數，令lax+b=t.

④倒代換——當被積函數分母的冪次比分子高兩次及以上時，作倒代換，令x=.t

⑤復雜函數的直接代換——當被積函數中含有ax

，ex

，lnx，arcsinx，arctanx等時，可考慮直接令復雜函數=t，值得指出的是，當lnx，arcsinx，arctanx與P(x)或eax

作乘除時，優先考慮分部積分法.dx

【例】求

2

(2x+1)3+4x-4x

18

?

1

3.分部積分法

基本思想

?udv=uv-?vdu，一目了然，這個方法主要適用于“求?udv比較困難”，而?vdu比較容易積分的情形.

【例】計算?

xarcsinxdx

4.有理函數積分

（1）定義形如

?Pn

(x)

dx(n0?x極小值f'(x

)=…=

f(n-1)(x)=0，

當n為偶數時，?00

?f(n)(x)0)

定理2（最值定理）m≤f(x)≤M，其中m,M分別為f(x)在[a,b]上的最小值與最大值.

定理3（介值定理）當m≤μ≤M時，?ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=μ.定理4（零點定理）當f(a)?f(b)0，λ為所有?σi的直徑的最大值，強調該極限與對區域

D的分割方式無關；

（2）其幾何背景是以f(x,y)為曲頂、有界閉區域D為底的曲頂柱體的體積：

V=??f(x,y)dσ

D

（3）（數學一二要求）其物理背景是以f(x,y)為面密度的平面區域D的質量：

M=??f(x,y)dσ

D

（4）要了解二重積分的存在性，也稱為二元函數的可積性.設平面有界閉區域D由一

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條或者幾條逐段光滑閉曲線所圍成，當f(x,y)在D上連續時,或者當f(x,y)在D上有界,且在D上除了有限個點和有限條光滑曲線外都是連續的，則它在D上可積,也就是二重積分存在.

2.二重積分的對稱性

引例

??x2y2(2x2+3y2)dxdy???

y2x2

(2y2+3x2)dydx

D1:

4+

3

≤1D1:

4

+

3

≤1

若把x與y對調，區域D不變（或稱區域D關于y=x對稱），則

??f(x,y)dxdy=??f(y,x)dydx

DD

這就是輪換對