§4.3向量組的極大無關線性組和秩（2）如何找出這一組線性無關向量組？（3）其余向量與這一組向量有何關系？問題（1）一個向量組（含有限多個向量，或無限多個向量）線性無關的向量最多有幾個？§4.3向量組的極大無關線性組和秩（2）如何找出這一組線定義4.3.1如果向量組中的每個向量都可以由向量組線性表出，則稱向量組A可由向量組B線性表出.若向量組A和向量組B可相互線性表出，稱向量組A與向量組B等價。即1.向量組的線性表出定義4.3.1如果向量組定理4.3.1且則向量組必線性相關.若向量組線性表出;可由證明：給出時的證明.為說明線性相關，需找到三個不全為零的數使定理4.3.1且則向量組代入上式，整理得齊次線性方程組所含方程個數小于未知量的個數，必有非零解.因此線性相關.由已知，可由生成集線性表出：代入上式，整理得齊次線性方程組所含方程個數小于未知量的個數，定理4.3.3兩個等價的線性無關向量組，必包含相同個數的向量.定理4.3.2若線性無關向量組可由向量組線性表出，則（逆否命題）定理4.3.3兩個等價的線性無關向量組，必包含相同個數的2.極大線性無關組注：（1）只含零向量的向量組沒有極大無關組.（2’）任意r＋1個向量（如果有）都線性相關.（1）（II）線性無關，則稱（II）是（I）的一個極大線性無關組.（2）一個線性無關向量組的極大無關組為其本身.（2）（I）中的任意向量可由（II）線性表出，在條件（1）下，（2）等價于定義4.3.2設的一個部分組.如果是2.極大線性無關組注：（1）只含零向量的向量組沒有極大無關組例：在向量組首先線性無關，又線性相關，所以組成的部分組是極大無關組。還可以驗證也是一個極大無關組。注：一個向量組的極大無關組一般不是唯一的。中，例：在向量組首先線性無關，又線性相關，所以組成的部分組是極大極大無關組的一個基本性質：任意一個極大線性無關組都與向量組本身等價。向量組的極大無關組不唯一，而每一個極大無關組都與向量組等價，所以：向量組的任意兩個極大無關組都是等價的。由于等價的線性無關的向量組必包含相同個數的向量，可得一個向量組的任意兩個極大無關組等價，且所含向量的個數相同。定理4.3.5極大無關組的一個基本性質：任意一個極大線性無關組都與向量組本3.向量組的秩定義4.3.3向量組的極大無關組所含向量的個數，稱為向量組的秩，記作例：向量組秩為2.3.向量組的秩定義4.3.3向量組的極大無關組所含向量的關于向量組的秩的一些結論：（1）零向量組的秩為0.（2）向量組線性無關線性表出，則向量組線性相關（3）若向量組可由向量組關于向量組的秩的一些結論：（1）零向量組的秩為0.（2）向量（4）等價的向量組必有相同的秩。思考：兩個向量組有相同的秩，并且其中一個可以被另一個線性表出，則這兩個向量組等價.兩個有相同的秩的向量組等價嗎？不一定（4）等價的向量組必有相同的秩。思考：兩個向量組有相同的秩，例：求向量組的秩和一個極大無關組.并用該極大無關組線性表出向量組中的其余向量.4.向量組的秩、極大無關組的求法例：求向量組的秩和一個極大無關組.并用該極大無關組線性表出解：B的1，2，4列是B的一個列極大無關組，所以，是的一個極大無關組.B有三個非零行，思考：是否還有其他的極大無關組？解：B的1，2，4列是B的一個列極大無關組，所以，是的一個極進一步化A為行最簡形是C的一個列極大無關組且相應地有進一步化A為行最簡形是C的一個列極大無關組且相應地有步驟：（1）向量組作列向量構成矩陣A.（2）初等行變換（階梯形或行最簡形矩陣）r(A)=B的非零行的行數（3）求出B的列向量組的極大無關組（4）A中與B的列極大無關組相對應部分的列向量組即為A的極大無關組。（主元列）步驟：（1）向量組作列向量構成矩陣A.（2）初等行變換（階梯§4.3向量組的極大無關線性組和秩（2）如何找出這一組線性無關向量組？（3）其余向量與這一組向量有何關系？問題（1）一個向量組（含有限多個向量，或無限多個向量）線性無關的向量最多有幾個？§4.3向量組的極大無關線性組和秩（2）如何找出這一組線定義4.3.1如果向量組中的每個向量都可以由向量組線性表出，則稱向量組A可由向量組B線性表出.若向量組A和向量組B可相互線性表出，稱向量組A與向量組B等價。即1.向量組的線性表出定義4.3.1如果向量組定理4.3.1且則向量組必線性相關.若向量組線性表出;可由證明：給出時的證明.為說明線性相關，需找到三個不全為零的數使定理4.3.1且則向量組代入上式，整理得齊次線性方程組所含方程個數小于未知量的個數，必有非零解.因此線性相關.由已知，可由生成集線性表出：代入上式，整理得齊次線性方程組所含方程個數小于未知量的個數，定理4.3.3兩個等價的線性無關向量組，必包含相同個數的向量.定理4.3.2若線性無關向量組可由向量組線性表出，則（逆否命題）定理4.3.3兩個等價的線性無關向量組，必包含相同個數的2.極大線性無關組注：（1）只含零向量的向量組沒有極大無關組.（2’）任意r＋1個向量（如果有）都線性相關.（1）（II）線性無關，則稱（II）是（I）的一個極大線性無關組.（2）一個線性無關向量組的極大無關組為其本身.（2）（I）中的任意向量可由（II）線性表出，在條件（1）下，（2）等價于定義4.3.2設的一個部分組.如果是2.極大線性無關組注：（1）只含零向量的向量組沒有極大無關組例：在向量組首先線性無關，又線性相關，所以組成的部分組是極大無關組。還可以驗證也是一個極大無關組。注：一個向量組的極大無關組一般不是唯一的。中，例：在向量組首先線性無關，又線性相關，所以組成的部分組是極大極大無關組的一個基本性質：任意一個極大線性無關組都與向量組本身等價。向量組的極大無關組不唯一，而每一個極大無關組都與向量組等價，所以：向量組的任意兩個極大無關組都是等價的。由于等價的線性無關的向量組必包含相同個數的向量，可得一個向量組的任意兩個極大無關組等價，且所含向量的個數相同。定理4.3.5極大無關組的一個基本性質：任意一個極大線性無關組都與向量組本3.向量組的秩定義4.3.3向量組的極大無關組所含向量的個數，稱為向量組的秩，記作例：向量組秩為2.3.向量組的秩定義4.3.3向量組的極大無關組所含向量的關于向量組的秩的一些結論：（1）零向量組的秩為0.（2）向量組線性無關線性表出，則向量組線性相關（3）若向量組可由向量組關于向量組的秩的一些結論：（1）零向量組的秩為0.（2）向量（4）等價的向量組必有相同的秩。思考：兩個向量組有相同的秩，并且其中一個可以被另一個線性表出，則這兩個向量組等價.兩個有相同的秩的向量組等價嗎？不一定（4）等價的向量組必有相同的秩。思考：兩個向量組有相同的秩，例：求向量組的秩和一個極大無關組.并用該極大無關組線性表出向量組中的其余向量.4.向量組的秩、極大無關組的求法例：求向量組的秩和一個極大無關組.并用該極大無關組線性表出解：B的1，2，4列是B的一個列極大無關組，所以，是的一個極大無關組.B有三個非零行，思考：是否還有其他的極大無關組？解：B的1，2，4列是B的一個列極大無關組，所以，是的一個極進一步化A為行最簡形是C的一個列極大無關組且