一、選擇題〔本大題共10小題，每題5分，共50分．在每題給出的四個選項中有且只有一項為哪一項符合題目要求的，把答案填在答題卡的相應位置．〕1．復數〔是虛數單位〕在復平面內對應的點是位于〔 〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．設，那么“〞是“直線與直線平行〞的〔 〕A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．集合，,且,那么〔 〕A.4 B.5 C.6 D.74．設z=x+y，其中x，y滿足當Z的最大值為6時，的值為〔 〕A.3 B.4 C.5 D.65．閱讀如以下圖所示的程序框圖，運行相應的程序，假設輸入，那么輸出的值為〔 〕A.12 B.6 C.3D.06．的三個內角對應的邊分別，且成等差數列，那么角等于〔 〕A. B.C. D.7．設，那么二項式展開式中的項的系數為〔 〕A. B.20C. D.1608.如以下圖所示，在棱長為2的正方體內〔含正方體外表〕任取一點，那么的概率〔 〕A. B. C. D.9．平面上的線段及點，在上任取一點，線段長度的最小值稱為點到線段的距離，記作．設是長為2的線段，點集所表示圖形的面積為〔 〕A. B. C. D.10．如以下圖所示，有三根針和套在一根針上的個金屬片，按以下規那么，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上。〔1〕每次只能移動一個金屬片；〔2〕在每次移動過程中，每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面。假設將個金屬片從1號針移到3號針最少需要移動的次數記為，那么=〔 〕A.33 B.31 C.17 D.15二、填空題：本大題共5小題，每題4分，共20分．把答案填在答題卡的相應位置．11．在樣本頻率分布直方圖中，共有11個小長方形，假設中間一個小長方形的面積等于其它10個長方形的面積和的，且樣本容量為160，那么中間一組的頻數為12.在平面直角坐標系中，假設雙曲線的焦距為8，那么13.如圖，矩形的一邊在軸上，另外兩個頂點在函數的圖象上.假設點的坐標為且，記矩形的周長為，那么14．某幾何體的三視圖如右圖所示，那么該幾何體的體積為15.我國齊梁時代的數學家祖暅〔公元5-6世紀〕提出了一條原理：“冪勢既同，那么積不容異．〞這句話的意思是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任何平面所截，如果截得的兩個截面的面積總是相等，那么這兩個幾何體的體積相等．設：由曲線和直線，所圍成的平面圖形，繞軸旋轉一周所得到的旋轉體為；由同時滿足，，，的點構成的平面圖形,繞軸旋轉一周所得到的旋轉體為.根據祖暅原理等知識，通過考察可以得到的體積為三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答寫在答題卡相位置，應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16．(本小題總分值13分)為坐標原點，對于函數，稱向量為函數的伴隨向量，同時稱函數為向量的伴隨函數．〔Ⅰ〕設函數，試求的伴隨向量的模；〔Ⅱ〕記的伴隨函數為，求使得關于的方程在內恒有兩個不相等實數解的實數的取值范圍．17．〔本小題總分值13分〕某超市在節日期間進行有獎促銷，凡在該超市購物滿300元的顧客，將獲得一次摸獎時機，規那么如下：獎盒中放有除顏色外完全相同的1個紅球，1個黃球，1個白球和1個黑球．顧客不放回的每次摸出1個球，假設摸到黑球那么停止摸獎，否那么就要將獎盒中的球全部摸出才停止．規定摸到紅球獎勵10元，摸到白球或黃球獎勵5元，摸到黑球不獎勵．〔Ⅰ〕求1名顧客摸球3次停止摸獎的概率；〔Ⅱ〕記為1名顧客摸獎獲得的獎金數額，求隨機變量的分布列和數學期望．18．〔本小題總分值13分〕如圖，是半圓的直徑，是半圓上除、外的一個動點，垂直于半圓所在的平面，∥，，，．⑴證明：平面平面；⑵當三棱錐體積最大時，求二面角的余弦值．19．〔本小題總分值13分〕圓，橢圓．〔Ⅰ〕假設點在圓上，線段的垂直平分線經過橢圓的右焦點，求點的橫坐標；〔Ⅱ〕現有如下真命題：“過圓上任意一點作橢圓的兩條切線，那么這兩條切線互相垂直〞；“過圓上任意一點作橢圓的兩條切線，那么這兩條切線互相垂直〞．據此,寫出一般結論，并加以證明．20．〔本小題總分值14分〕函數，〔〕〔1〕假設函數存在極值點，求實數b的取值范圍；〔2〕求函數的單調區間；〔3〕當且時，令，()，()為曲線y=上的兩動點，O為坐標原點，能否使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上？請說明理由。21．此題有〔1〕、〔2〕、〔3〕三個選答題，每題7分，請考生任選2題做答，總分值14分．如果多做，那么按所做的前兩題記分．〔1〕(本小題總分值7分)選修4－2：矩陣與變換矩陣A=有一個屬于特征值1的特征向量.(Ⅰ)求矩陣A；(Ⅱ)假設矩陣B=，求直線先在矩陣A，再在矩陣B的對應變換作用下的像的方程.〔2〕〔本小題總分值7分〕選修4-4：坐標系與參數方程．曲線的極坐標方程是，直線的參數方程是〔為參數〕．〔Ⅰ〕將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；〔Ⅱ〕設直線與軸的交點是,是曲線上一動點,求的最大值.(3)〔本小題總分值7分〕選修：不等式選講〔I〕試證明柯西不等式：〔II〕，且，求的最小值．福建省福建師大附中2023屆5月高考三輪模擬試卷數學理科試題參考答案1-5DCDAB6-10BCADB11、3212、313、21614．15.16．解：〔Ⅰ〕∵，………2分∴． …………4分故. ………5分〔Ⅱ〕由可得，………………7分∵，∴，w Ww.5ykj.coM故. ………9分∵當時，函數單調遞增，且；當時，函數單調遞減，且.∴使得關于的方程在內恒有兩個不相等實數解的實數的取值范圍為． …13分17．〔Ⅰ〕解：設“1名顧客摸球3次停止摸獎〞為事件，那么，故1名顧客摸球3次停止摸獎的概率為． ………………4分〔Ⅱ〕解：隨機變量的所有取值為． ………………5分， ，， ，． ………………10分所以，隨機變量的分布列為: ………11分． ………………13分18．〔Ⅰ〕證明：因為是直徑，所以 ………………1分，因為平面，所以 ………………2分，因為，所以平面 ………………3分因為，，所以是平行四邊形，，所以平面 ………………4分，因為平面，所以平面平面 ………………5分〔Ⅱ〕依題意， ………………6分，由〔Ⅰ〕知，當且僅當時等號成立 ………………8分如下圖，建立空間直角坐標系，那么，，，那么，，， ……9分設面的法向量為，，即， ……10分設面的法向量為，，即， ……………12分可以判斷與二面角的平面角互補二面角的余弦值為。 ……13分19.解法一：〔Ⅰ〕設點，那么，〔1〕……1分設線段的垂直平分線與相交于點，那么，……2分橢圓的右焦點，………………3分,，，，〔2〕…………4分由〔1〕，〔2〕，解得，點的橫坐標為．……………5分〔Ⅱ〕一般結論為：“過圓上任意一點作橢圓的兩條切線，那么這兩條切線互相垂直．〞……………6分證明如下：〔ⅰ〕當過點與橢圓相切的一條切線的斜率不存在時，此時切線方程為，wWw.5ykj.cOm點在圓上，，直線恰好為過點與橢圓相切的另一條切線兩切線互相垂直．………………7分〔ⅱ〕當過點與橢圓相切的切線的斜率存在時，可設切線方程為，由得，整理得，……………8分直線與橢圓相切，，整理得，………9分，………10分點在圓上，，，，兩切線互相垂直，綜上所述，命題成立．…………………13分解法二：〔Ⅰ〕設點，那么，〔1〕……………1分橢圓的右焦點，………………2分點在線段的垂直平分線上， ，，，〔2〕……4分由〔1〕，〔2〕，解得，點的橫坐標為．……………5分〔Ⅱ〕同解法一．20.解：〔Ⅰ〕，假設存在極值點，那么有兩個不相等實數根。所以， ……………2分解得 ……………3分(Ⅱ) ……………4分當時，，函數的單調遞增區間為；……………5分當時，，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為。……………7分〔Ⅲ〕當且時，假設使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上。那么且。……………8分不妨設。故，那么。，該方程有解………………9分當時，那么，代入方程得即，而此方程無實數解； …………10分當時，那么； …………11分當時，那么，代入方程得即， …………………12分設，那么在上恒成立。在上單調遞增，從而，那么值域為。當時，方程有解，即方程有解。…………13分綜上所述，對任意給定的正實數，曲線上總存在兩點，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上。………………14分21．〔1〕【解析】(Ⅰ)由得，所以…………2分 解得故A=.……………………3分(Ⅱ)BA==，因為矩陣BA所對應的線性變換將直線變成直線〔或點〕，所以可取直線上的兩點〔0，1〕，〔-1，2〕， …………4分，，由得：〔0，1〕，〔-1，2〕在矩陣A所對應的線性變換下的像是點〔1，-3〕，〔-1，-1〕……………6分從而直線在矩陣BA所對應的線性變換下的像的方程為.…………7分〔2〕解：〔Ⅰ〕曲線的極坐標方程可化為，又,所以曲線的直角坐標方程為…3分〔Ⅱ〕將直線l的參數方程化為直角坐標方程,得,…………4分 令,得,即點的坐標為(2,0).又曲線為圓，圓的圓心坐標為(0,1)，半徑，那么,……………………6分所以.即的最大值為……7分〔3〕〔Ⅰ〕證明：左邊=, 右邊=, 左邊右邊, ………………2分 左邊右