缸頂桿壓桿工程中把承受軸向壓力的直桿稱為壓桿.工程實例木結(jié)構(gòu)中的壓桿腳手架中的壓桿(a)(b)拉壓桿的強度條件為：a

=

—F—N

?

[a

]A:

木桿的橫截面為矩形（1x2cm),高為3cm，當(dāng)荷載重量為6kN時桿還不致破壞。：木桿的橫截面與(a)相同，高為1.4m(細(xì)長壓桿），當(dāng)壓力為0.1KN時桿被壓彎，導(dǎo)致破壞。(a)和(b)竟相差60倍，為什么？第一節(jié)壓桿的穩(wěn)定概念細(xì)長壓桿的破壞形式：突然產(chǎn)生顯著的彎曲變形而使結(jié)構(gòu)喪失工件能力，并非因強度不夠，而是由于壓桿不能保持原有直線平衡狀態(tài)所致。這種現(xiàn)象稱為失穩(wěn)。問題的提出穩(wěn)定問題(本 ):主要針對細(xì)長壓桿課堂小實驗:橫截面為26mm×1mm的鋼尺,求其能承受的Fmax=?若取l

=

2cm,按屈服強度crs

=

235MPa計算F

=

235

x

106

x

26

x

10-6

=

6110Nmax若取l

=

30cm,

按兩端鉸接方式使其受軸向壓力,當(dāng)產(chǎn)生明顯變形時，F(xiàn)max

=

180N若取l

=100cm,則產(chǎn)生明顯變形時Fmax

=50N=

12.80NFmax若取l

=

200cm,則產(chǎn)生明顯變形時F26mm1mml隨遇平衡 不穩(wěn)定平衡（臨界狀態(tài)）穩(wěn)定性：物體在其原來平衡狀態(tài)下抵

的能力。失

穩(wěn)：(不穩(wěn)定的平衡物體會)在任意微小的外界干擾下喪失平衡而破壞。小球平衡的三種狀態(tài)不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨遇平衡（臨界狀態(tài)）受壓直桿平衡的三種形式F

<

FcrF

=

FcrFF

>>

FFcrcr隨遇平衡 不穩(wěn)定平不穩(wěn)定平衡衡（臨界狀態(tài)）F

<

Fcr

F

=

Fcr穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨遇平衡（臨界狀態(tài)）F

>

FcrF

<

FcrF

=

Fcr第二節(jié)

細(xì)長壓桿臨界壓力的

公式一、兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷當(dāng)達(dá)到臨界壓力時，壓桿處于微彎狀態(tài)下的平衡。FcrFNyy微彎狀態(tài)下局部壓桿的平衡:M

(x)

=

Fcr

y

(x)dx2M

(x)

=

–EI

d2ydx2F

d

2

y

+k

2

y

=02k

=crEI令二階常系數(shù)線性齊次微分方程FcrFNyy微分方程的解:y

=Asinkx+Bcoskx邊界條件:y

(0)=00

?

A

+

1

?

B

=

0sinkl

?

A

+coskl

?

B=0,

y

(l

)=

0B

=

0sinkl

?

A

=0若

A

=

0，則與壓桿處于微彎狀態(tài)的假設(shè)不符，因此可得：FcrFNyy0

?

A

+

1

?

B

=

0sinkl

?

A

+coskl

?

B=0B

=

0sinkl

?

A

=0可得由EIk

2

=

FcrFcrl

2=n2

冗2

EIsinkl

=

0kl

=n冗（n

=0、1、2、3……）——兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷的

公式最小臨界載荷:l

2Fcr臨界力F

c

r

是微彎下的最小壓力，故取n

=1。且桿將繞慣性矩最小的軸彎曲。=冗2

EIminl

2Fcr=n2

冗2

EI屈曲位移函數(shù):y

(x

)

=A

s

in

n

兀xl臨界載荷:二、支承對壓桿臨界載荷的影響一端一端固定一端鉸支一端固定兩端固定兩端鉸支臨界載荷公式的一般形式:一端

，一端固定一端鉸支，一端固定兩端固定兩端鉸支:μ＝2.0:μ＝0.7:μ＝0.5:μ＝1.0Fcr(μl)2=冗2

EI臨界力公式(μl)2冗2

EIFcr

=min中的Imin

如何確定？定性確定Imin例：圖示細(xì)長圓截面連桿，長度l=800

mm，直徑d

=20

mm,材料為Q235鋼，E＝200GPa.試計算連桿的臨界載荷Fcr解：1、細(xì)長壓桿的臨界載荷a

s

=235MPa2、從強度分析Fs

=

Aa

s=0.022冗x=73.8

(kN

)6235x10464l

2l

2=

冗2

EI

=

冗2E

×冗d

4crF0

.

82

×64冗3

x

200

x

10

9

x

0.024==

24.

2

(

kN

)yFcrBzAl第三節(jié)

公式的使用范圍

臨界應(yīng)力總圖一、臨界應(yīng)力與柔度——臨界應(yīng)力的公式iμl=——壓桿的柔度（長細(xì)比）IAi

=——慣性半徑acrA

(μl)

2

A(μl)

2μl(

)2i=

冗2

E

i2=

冗2

E入2=

Fcr

=

冗2

EI

=

冗2E二、

公式的適用范圍?

了cr

<了pcrp

.?6

=冗2E

?6入2例：Q235鋼，E

=200GPa,cr=200MPa.ppp6冗2

E入=200冗2

200x103==99.35

寸100稱大柔度桿（細(xì)長壓桿）l

3

l

p無效有效入2scr=p2

Eoa

pa

crp入入=μlipG冗2

E入>pp.入=

冗2

E1、大柔度桿（細(xì)長壓桿）采用入>入p

(cr

:-crp

)公式計算。=冗2

EI(μl)2冗2

E=

入2a

cr臨界應(yīng)力：臨界壓力：Fcra

criμll

=o入PcrP入2acr=冗2

E細(xì)長壓桿。三、臨界應(yīng)力總圖：入=μlio入PaPa

cr=a

-b凡入s——直線型經(jīng)驗公式2：中柔度桿（中長壓桿）采用經(jīng)驗公式入s

<入<入p

((J

p

<(J

<(Js

)a

cr

=a

-b入——直線型經(jīng)驗公式a,b是與材料性能有關(guān)的常數(shù)。a

crba

-

<Jss入=材料a(MPa)b(MPa)入p入s硅鋼5773.7410060鉻鉬鋼9805.29550硬鋁3722.14500鑄鐵331.91.453松木39.20.19959直線公式適合合金鋼、鋁合金、鑄鐵與松木等中柔度壓桿。a,b是與材料性能有關(guān)的常數(shù)。入=μlio入Pa

craSaP入s3：小柔度桿（短粗壓桿）只需進行強度計算。Gcr

=Gs[a]Aa

=

FN入三入s

(a

次a

s

)入=μlio入PaScrP入2Gcr=冗2

E細(xì)長壓桿。a

cr=a

-b入入s——直線型經(jīng)驗公式中柔度桿粗短桿大柔度桿臨界應(yīng)力總圖細(xì)長桿—發(fā)生彈性失穩(wěn)(入入p)中長桿—發(fā)生彈塑性失穩(wěn)(入s

入<

入p)粗短桿—不發(fā)生失穩(wěn)，而發(fā)生屈服(入<入s)a

cr臨界應(yīng)力總圖在我國鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范中采用的拋物線經(jīng)驗公式為μl入=io冗2

Ea

cr=

入2細(xì)長壓桿CJc入c0

cr0sIL/ ÷

I\

c

丿I廿s「=a

I

1

-

aa

cr入（入＼27scE0.57a入=冗對于［<［c的非細(xì)長桿，臨界應(yīng)力采用拋物線公式進行計算。IL「I

/ ÷

I\

c

丿I廿s入（入＼27=a

1

-

aa

cr中柔度桿拋物線公式適合于結(jié)構(gòu)鋼與低合金鋼等制做的中柔度壓桿。四、注意問題：1、計算臨界力、臨界應(yīng)力時，先計算柔度，判斷所用公式。2、對局部面積有削弱的壓桿，計算臨界力、臨界應(yīng)力時，其截面面積和慣性距按未削弱的尺寸計算。但進行強度計算時需按削弱后的尺寸計算。拋物線型經(jīng)驗公式L「/ ÷

I\

c

丿廿s入（入＼27=a

I1

-

aa

cr臨界力計算的步驟得出)zzzyymax

yiiμ

lμ

l和入=計算入

(由入=crcrcrs入<入<入pa

=a

-

b入,

F

=a

A判斷{確定臨界力(應(yīng)力)計算公式}l

<

l

s強度計算入2crcrFcr=冗2

E=冗2

EI(μl)2入3

入p確定長度系數(shù)μ(μ

y和μz

)例：一壓桿長L=1.5m，由兩根56x56x6等邊角鋼組成，兩端鉸支，角鋼為Q235鋼，試用公式或經(jīng)驗公式求臨界壓力（σcr

=304-1.12λ

）。解：查表：一個角鋼：A

=

8.367cm2,

I

=

23.63cm41

y1兩根角鋼圖示組合之后

I

y

<

Iz

=92.48Imin

=

I

y

=2Iy1

=2

x

23.63

=47.26cm

4i

=47.26IminA

2x8.367=

=1.68cm=

μl

=

150

=

89.3

<入p

=100i

1.68max入所以，應(yīng)由經(jīng)驗公式求臨界壓力。=

Aa

cr

=2

x8.367

x102

x

204=314.4(kN

)Fcrσcr=304-1.12λ=304-1.12×89.3=204（MPa）臨界壓力例

兩端鉸支壓桿的長度L=1.2m，材料為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，σp=200MPa。已知截面的面積A=900mm2，若截面的形狀分別為圓形、正方形、d

?

D=0.7

的空心圓管。試分別計算各桿的臨界力。解（1）圓形截面直徑慣性半徑4

x

900

=

33.85mm

=

33

.

85

x

10

-

3

m4

A

=D

=冗

冗I

=

冗D4

/64

=D

=33.85

x10-3i

==8.46

x10

-

3

m柔度=142A

冗D2

/

4

4

41x1.2i

8.46

x10-3入=μl

==99.3入=冗

=冗·

200x106PE

200x109P因為

江=142

>江P

=99.3

，屬細(xì)長壓桿，用

公式計算臨界力crF

=

EI

=

64

=

88.3KN冗2

x200x109

x

冗x

(33.85x10-

3

)4(μl

)2

(1x1.2)2冗2（2）正方形截面截面邊長900

=

30

x

10

-

3

ma

=

A

=因為臨界力。入=138

>入屬P細(xì)=長99壓.3桿，用公式計算crF

=

EI

=

12

=9

2

.

5

KN冗2

x

200

x

10

9

x

1

x

(30

x

10

-

3

)4(μl

)2

(1x1.2)2冗2a

=

30

x10-

312

12Aa4

/12

=I

=a21x1.2i==8.66

x10

-

3

m=138i

8.66

x10-

3入=μl

=柔度計算，（3）空心圓管截面

d

0.7D得42

2

D

d

2D

0.7D

24

AD=47.4×10-3m

，

d=33.18×10-3m慣性矩I

=冗(D4

-d

4

)=冗(47.44

-33.184

)x10-12

=1.88

x10-7

m464

64因為入S

<

入<

入P，所以屬中長壓桿，用直線公式計算臨界力。crF

=(a

-b入)A

=(304

-1.12x82.7)x106

x900x10-6

=190KNI

=

1.88x10-7A

900x10-6-

2i

=

=1.45x10

m,=

304

-

235

=

61.61x1.2i

1.45

x10-

12

b

1.12sSa

-

CJ=82.7,

入=入=μl

=柔度計算例

圖中所示之壓桿，其直徑均為d，材料都是Q235鋼，但二者長度和約束條件不相同。試求：1.那一根桿的臨界荷載較大？2.計算d＝160mm，E＝206GPa時，二桿的臨界荷載。解

1.計算柔度判斷兩桿的臨界荷載冗d

2

4冗d

4

64

=

d4I

=Ai

=4μL

1x

5入a

=

=i

d=125d4b入=

0.5x

9

=112.55mF

d(a)9mFd(b)μ

=1μ

=0.5a>b兩端鉸支壓桿的臨界荷載小于兩端固定壓桿的臨界荷載。2.計算各桿的臨界荷載=冗2

x

206

x10

3

x

冗x

(160)2125

2

4Facr=

2.6x103

kN4112.52冗2

x

206

x103Fbcr

=x

冗x

(160)2=3.21x103

kN解:

慣性半徑:

i

=柔度:

入=

μl例:有一千斤頂,材料為Q235鋼.螺紋內(nèi)徑d=5.2cm，高度l=50cm,求臨界載荷Fcr

.(已知as

=235MPa,ap

=200MPa

)=2x

0.5

=77id

/

4Q235鋼:

入p

=100

可查得

a

=304MPa,b

=1.12MPaIA4=dFba

-

a立s

=

s

=

61.6入s

入<

入p可用直線公式.因此Fcr

=a

cr

A

=(a

-b入)A=

462KN4=(304

-1.12x

77)x106

×冗d

2例:截面為120mmx200mm的矩形木柱，長l=7m，材料的彈性模量E=10GPa,.p=8MPa。試求該木柱的臨界力。：

由于該柱在兩個形心主慣性平面內(nèi)的支承條件不相同，因此，首先必須判斷，如果木柱失穩(wěn)，朝哪個方向彎？FFFF(b)(a)zby∵

兩端鉸支

∴

μz

=

1zzi·

入

=z=μ

l

1x

7 0

.

0577=

121=

1

x120x

2003

x10-

12

=8x10-

5

m

4z=

bh3I=

0.0577

mI

z12

12=Azi

=8

x

10

-

5120

x

200x

10

-

6在屏幕平面（xy）內(nèi)繞時z軸失穩(wěn)=110冗2

x10x1098x106入=0p冗2

E

=p入z

>入p∴應(yīng)采用公式計算=6.734x106

Pa

=6.734MPa木柱的臨界力為1212=冗2

E

=3.142

x10x109crcr入2cr=162x103

N

=162kNcrF

=a

A

=

6.734x106

x

120

x

200

x

10

-

6選用計算公式FFFF(b)(a)zby……………....................例．截面為120×200mm的矩形木柱，材料的彈性模量E=1×104Mpa。其支承情況為：在xoz平面失穩(wěn)（即繞y軸失穩(wěn)）時柱的兩端可視為固定端（圖a）；在xoy平面失穩(wěn)（即繞z

軸失穩(wěn)）時，柱的兩端可視為鉸支端（圖b）。試求該木柱的臨界力。解：(1)計算繞y軸失穩(wěn)時的柔度μy=0.5（兩端固定）=

0.0346m;2

3yI

yyyi0.5

x

70.0346入=yμ

l==

101bAi

=

=FF(2)計算繞z軸失穩(wěn)時的柔度μz=1（兩端鉸支）=

0.0577m;2

31

x

7=1210.0577zIzzzzhAi

=

=iμ

l入==(3)計算臨界力從上面計算可知：λz>λy（繞z失穩(wěn)）入max=入z

=121,=

110pp入=冗GE

=

冗

104

x

1068

x

106FF入max=入z

=121,8

x

106=

110pp入=冗E

=

冗

104

x106GZ該柱將可能在xoy平面失穩(wěn)（繞z軸）。Fcrλmax>λp，可由

公式計算臨界力=冗2

EI

ZZ(μ

l)2入2A

=冗2

EA

=161kNcr或

F

=acrFF第四節(jié)

壓桿的穩(wěn)定計算一、穩(wěn)定條件1、安全系數(shù)法:cr=[F

].stnF

?

Fcr穩(wěn)定許用壓力cr=[a

].stna

:-

a

cr穩(wěn)定許用壓應(yīng)力2、折減系數(shù)法:Acr

=F

?[cr

]=cp(入)[cr].[a

]=<p(入)[a].cr

cr[6

]

－許用應(yīng)力；cp(入)<1

－折減系數(shù)，與壓桿的柔度和材料有關(guān)。校核穩(wěn)定性；設(shè)計截面尺寸；確定外荷載。注意：強度的許用應(yīng)力和穩(wěn)定的許用應(yīng)力的區(qū)別.強度的許用應(yīng)力只與材料有關(guān)；穩(wěn)定的許用應(yīng)力不僅與材料有關(guān)，還與壓桿的支承、截面尺寸、截面形狀有關(guān)。二、穩(wěn)定計算1、安全系數(shù)法:cr=[F

].stnF

?

Fcrcr=[a

].stna

:-

a

cr應(yīng)用上式的穩(wěn)定條件，能夠解決壓桿下列面的問題。③選擇壓桿的截面尺寸和形狀由于上式中，A和

都是未知的，所以需采用逐次漸近法進行計算。2、折減系數(shù)法:PA①驗算壓桿的穩(wěn)定性先算出λ查表得②確定容許荷載先算出λ查表得CT=F

氫p

[CT]穩(wěn)定條件：-

-

-

-

-

(13

-

14)PAcr

=

F

?Lrcrcr

l」=cp[cr]PF

A解（一）求λmaxa．BC

桿繞y失穩(wěn)時，B

端可視為鉸支，長度系數(shù)為：例．結(jié)構(gòu)受力如圖示，BC桿采用No18工字鋼(Iz=1660cm4,iz=7.36cm,Iy=122cm4,iy=2cm,A=30.6cm2)。材料的彈性模量E=2×105

Mpa，比例極限a

p

=200MpanW=3。試確定容許荷載[G]。，穩(wěn)定安全系數(shù)=109zzziμ

l2

x

77.36

x10-

2入max

=入y

=140即可能首先繞y

軸失穩(wěn)（二）確定BC桿的臨界荷載入==b．BC

桿繞z失穩(wěn)時，B

端可視為端，長度系數(shù)為：μz

=

2p=99

,

入max

=入y

>入pEcr

p入=冗公式計算0.7

4ylBC桿的臨界力可用2

211-

8y22110.7

4-

8（三）確定結(jié)構(gòu)的容許荷載BC桿能承受的容許荷載為：結(jié)構(gòu)的容許荷載:μL

1

x

6

x

4i

0.3z1、最大柔度x

y

平面內(nèi)，μ

z

=

1

.

0入==

=80解：折減系數(shù)法z

y

平

面

內(nèi)

，

μ

y

=

2

.

0i0.3入=μL

=2

x

6

x

4

=160

=入y

max例：圖示起重機，AB

桿為圓松木，長L=6m，[.]=11MPa，直徑為：d=0.3m，試求此桿的許用壓力。（xy

面兩端視為鉸支；xz

面一端視為固定，一端視為

）木桿:

入>

80時,<p

=

3000

入2AF1WF2B

xyx1.287

=91(kN

)4冗x300

2ABAAB

cr[F]

=

[cr

]=i

0.3入=μL

=2

x

6

x

4

=160

=入y

maxAF1WF2B

xy2、求折減系數(shù)木桿:

入>

80時,q,

=

3000

入2=0.1173、求許用壓力[伈cr

]=<p[伈][a

cr

]=1

.

287(

M

Pa

)例：一等直壓桿長L=3.4

m，A=14.72

cm2，I=79.95

cm4，E

=210

GPa，F(xiàn)

=60

kN，材料為Q235鋼，兩端鉸支。試進行穩(wěn)定校核。1)

nw=

2；

2)〔σ〕=140

MPa解：1)

安全系數(shù)法：145.9=冗2

210x103(μL)2l

2214.73x10

=143.3(kN

)Fcr14.73=

冗2

EI

=

冗2

E

A入=

μl

=1x3.4

x100

=145.9

>入p

=100i

79.94[F

]

=

Fcr

=143.1

=71.7(kN

)

>

F

=60kNnw

2crFBAl2)

折減系數(shù)法入=μl

=1x3.4

x100

=145.979.9414.73查表:λ=140，φ=0.349；λ=150，φ=0.306。i10入=145.9

?q>=0.349

-0.349

-0.306

x5.9

=0.33=40.7(MPa)14.73x102cp[a]=

0.33x140

=46.2(MPa)a

<cp[a]60

x103Aa

=

F

=crFBAl解：（一）由平衡條件解出兩桿內(nèi)力與荷載P

的關(guān)系。例．AB、AC

桿材料相同為低碳鋼，直徑為d=6cm,lAB=3m,lAC=2m，[a

]=160Mp.a考慮圖示平面內(nèi)穩(wěn)定時，結(jié)構(gòu)的容許荷載[F]。=

μlAB

=

1

x

300

=

200i

6

4AB入查入-表cp得：cp=0.18NACNAB?=

P=

PF

cos

60o

-

-

-

-

-

(1)ABr/

F/l

FACF

cos

30o

-

-

-

-

-

(2)（二）用折減系數(shù)法求容許荷載[P]a．由AB桿確定容許荷載[P1]。F1600300FA

B

CAB桿的容許荷載為：x

0.062

x160

x106=

0.18

x]=cpA[a

]冗4=

81.4KN代入(1)后得：NABAB[

FP1=162.8KNcos

60oNAB」盧=l」1FABl

F

盧600300FA

B

CNACNAB?=

P=

PF

cos

60o

-

-

-

-

-

(1)AB/r

F/l

FACF

cos

30o

-

-

-

-

-

(2)查入-）表得：cp=0.18600300FA

B

Cb．由AC桿確定容許荷載[F2]。=

1

x

200

=1336

4=

μlACACi入NACNAB?=

P=

PF

cos

60o

-

-

-

-

-

(1)AB/(

F/l

FACF

cos

30o

-

-

-

-

-

(2)采用

法確定

：（見圖）10cp

=

0.349

+

7

(0.401

-

0.349)=162.8KNcos

60o「幾P1

Jl幾NABJ1F

=「F

lAB=0.385x

冗x

0.062

x160x106=174kN4=

0.385AC桿的容許荷載為：[FAC

]

=<A[cr

]c．比較[F1]和[F2]確定[F]=162KN（取小者）P2NAC=ll

FAC

盧」l

F2盧」cos30o

=201KNNACNAB?=

P=

PF

cos

60o

-

-

-

-

-

(1)AB/(

F/l

FACF

cos

30o

-

-

-

-

-

(2)=162.8KNcos

60o「幾P1

Jl幾NABJ1F

=「F

lAB4=0.385X

冗X

0.062

X160X106[FAC

]

=<A[a

]=174kN代入(2)后得：提高壓桿穩(wěn)定性的措施，可從決定壓桿臨界力的各種因素去考慮。第五節(jié)

提高壓桿的穩(wěn)定的措施一、材料方面對于的細(xì)長壓桿，臨界應(yīng)力6

cr=冗2

E

/入2由于各種鋼材的E大致相等，所以選用優(yōu)質(zhì)鋼材與普通鋼材并無很大差別。采用高強度優(yōu)質(zhì)鋼在一定程度上可