一、數列極限的定義二、收斂數列的性質§1.2數列的極限上頁下頁鈴結束返回首頁§1.2數列的極限章節重點重點掌握數列極限的精確定義會用數列極限的定義來證明極限（重點之重點）了解數列極限的基本性質。數列如果按照某一法則,對每一nN,對應著一個確定的實數xn,

則得到一個序列

x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,這一序列叫做數列,記為{xn},

其中第n項xn叫做數列的一般項.

下頁數列舉例:2,4,8,

,2n

,

;

1,

-1,1,

,(-1)n+1,

.

例如當n無限增大時,如果數列{xn}的一般項xn無限接近于常數a,

則常數a稱為數列{xn}的極限,或稱數列{xn}收斂a,記為下頁數列極限的通俗定義當n無限增大時,

xn無限接近于a

.當n無限增大時,

|xn-a|無限接近于0.當n無限增大時,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.當n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先給定的任意小的正數.分析因此,如果n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先給定的任意小的正數,則當n無限增大時,

xn無限接近于常數a.當n無限增大時,如果數列{xn}的一般項xn無限接近于常數a,

則數列{xn}收斂a.下頁>>>數列極限的精確定義設{xn}為一數列如果存在常數a

對于任意給定的正數e

總存在正整數N

使得當n>N

時不等式|xna|<e都成立

則稱常數a是數列{xn}的極限或者稱數列{xn}收斂于a

記為如果不存在這樣的常數a

就說數列{xn}沒有極限

下頁

0,NN

當nN時有|xna|.極限定義的簡記形式aa-ea+e()數列極限的幾何意義

0,NN

當nN時有|xna|.下頁存在

NN

當n<N時點xn一般落在鄰域(a-e,

a+e)外:當n>N時點xn全都落在鄰域(a-e,

a+e)內:任意給定a的e鄰域(a-e,

a+e),

例2分析:證明下頁

0,NN

當nN時有|xna|.對于某一正數e

0

如果存在正整數N

使得當nN時有|xna|e0

是否有xna(n)

討論首頁

0,NN

當nN時有|xna|.注:

如果M0,使對nN

有|xn|M,

則稱數列{xn}是有界的;如果這樣的正數M不存在,就說數列{xn}是無界的

下頁二、收斂數列的性質定理1(極限的唯一性)如果數列{xn}收斂那么它的極限唯一

定理2(收斂數列的有界性)如果數列{xn}收斂那么數列{xn}一定有界>>>1如果數列{xn}收斂,那么數列{xn}一定有界發散的數列是否一定無界?有界的數列是否收斂?2數列1,

1,1,

1,

,(1)N1,

的有界性與收斂如何？討論下頁二、收斂數列的性質定理1(極限的唯一性)如果數列{xn}收斂那么它的極限唯一

定理2(收斂數列的有界性)如果數列{xn}收斂那么數列{xn}一定有界下頁二、收斂數列的性質定理1(極限的唯一性)如果數列{xn}收斂那么它的極限唯一

定理2(收斂數列的有界性)如果數列{xn}收斂那么數列{xn}一定有界定理3(收斂數列的保號性)如果數列{xn}收斂于a,且a0(或a0)

那么存在正整數N

當nN時有xn0(或xn0)推論如果數列{xn}從某項起有xn0(或xn0)

且數列{xn}收斂于a

那么a0(或a0)>>>>>>注:

在數列{xn}中任意抽取無限多項并保持這些項在原數列中的先后次序這樣得到的一個數列稱為原數列{xn}的子數列.

定理4(收斂數列與其子數列間的關系)

如果數列{xn}收斂于a那么它的任一子數列也收斂且極限也是a下頁例如數列{xn}1

11

1

(1)n1

的一個子數列為{x2n}

1

1

1

(1)2n1

>>>1數列的子數列如果發散,原數列是否發散?2數列的兩個子數列收斂,但其極限不同,原數列的收斂性如何?3發散的數列的子數列都發散嗎？4