第23頁/共23頁河南省駐馬店市確山縣2021?2022學年九年級上學期期中數學試卷一、選擇題（每小題3分，共30分，下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的）1.下列關于數字變換的圖案中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念對每一個選項進行判斷即可．【詳解】解：A、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項符合題意；B、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；C、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：A．【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．解題的關鍵是掌握軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念．2.方程的根是（）A. B.， C.， D.【答案】B【解析】【分析】直接開平方解方程即可．【詳解】解：，，，．故選B．【點睛】本題主要考查解一元二次方程，靈活應用解方程的方法是解題關鍵．3.函數與的圖像的不同之處是（）A.開口方向 B.對稱軸 C.頂點 D.形狀【答案】C【解析】【分析】根據二次函數的性質，可以寫出兩個函數的相同之處和不同之處，即可解答本題．【詳解】解：由題意得函數與的圖象的對稱軸都是y軸，∵∴兩個函數開口都向下，形狀一樣，而函數的頂點坐標為(0，2)，函數的頂點坐標為(0，?1)，故選：C．【點睛】本題考查二次函數的圖像、二次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．4.若方程沒有實數根，則的值可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用根的判別式進行判斷，求出m的取值范圍即可．【詳解】解：由題可知：“△＜0”，∴,∴,故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，解決本題的關鍵是掌握當“△＜0”時，該方程無實數根，本題較基礎，考查了學生對基礎知識的理解與掌握．5.如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，點P為邊AD上任意一點（點P不與點A，D重合）連接CP．若∠B＝120°，則∠APC的度數可能為（）A.30° B.45° C.50° D.65°【答案】D【解析】【分析】根據四邊形ABCD內接于⊙O，∠B＝120°，求得的度數，然后利用外角的性質即可求解．【詳解】∵四邊形ABCD內接于⊙O，∠B＝120°，∴，∵是的外角，∴，∴四個選項中只有選項D符合題意，故選D【點睛】本題考查了圓的內接四邊形的性質及三角形外角的性質，正確識圖是解題的關鍵．6.如圖，點在上，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先證明再利用等弧的性質及圓周角定理可得答案．【詳解】解：點在上，，故選：【點睛】本題考查的兩條弧，兩個圓心角，兩條弦之間的關系，圓周角定理，等弧的概念與性質，掌握同弧或等弧的概念與性質是解題的關鍵．7.如圖，在正方形網格中，△ABC繞某點旋轉一定的角度得到，則旋轉中心是點（）A.O B.P C.Q D.M【答案】B【解析】【分析】根據旋轉的性質，對應點到旋轉中心的距離相等，可得對應點連線的垂直平分線的交點即為旋轉中心．【詳解】解：如圖，連接，，可得其垂直平分線相交于點P，旋轉中心是點P．故選：B．【點睛】本題考查了旋轉的性質，對應點連線的垂直平分線的交點即為旋轉中心，熟練掌握旋轉中心的確定方法是解題的關鍵．8.如圖，在平面直角坐標系中，以原點為圓心的圓過點，直線與交于、兩點，則弦長的最小值（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】易知直線y=kx+12過定點D（0，12），得OD=12，由條件可求出半徑OB，由于過圓內定點D的所有弦中，與OD垂直的弦最短，因此只需運用垂徑定理及勾股定理就可解決問題．【詳解】對于直線，當時，，故直線恒經過點，記為點D．由于過圓內定點的所有弦中，與垂直的弦最短，如圖，連接，，，由勾股定理得：，，故選B．【點睛】本題考查垂徑定理、勾股定理等知識，發現直線恒經過點（，12）以及運用“過圓內定點D的所有弦中，與OD垂直的弦最短”這個經驗是解決該選擇題的關鍵．9.定義：若兩個函數圖像與x軸有一個共同的交點，我們就稱這兩個函數為“共根函數”．如與y=(x+1)(x?2)的圖像與x軸的共同交點為(2，0)，那么這兩個函數就是“共根函數”．若與為“共根函數”，則m的值為()A.1 B.1或3 C.1或2 D.2或3【答案】B【解析】【分析】先求出與x軸交點坐標，分別代入函數中，求出m的值即可．【詳解】解：令=0，則x=0或x=2，∴函數與x軸的交點為(0，0)，(2，0)，當兩個函數同時過點(0，0)時，有0=0?0+m?1，解得m=1，當兩個函數同時過點(2，0)時，有0=4?6+m?1，解得m=3，故選：B．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數圖象上點的坐標特征，本題屬于新定義類問題，解題關鍵是理解給出的定義，并對結果進行分類討論．10.如圖，矩形ABCD的頂點A，B分別在x軸、y軸上，OA＝OB＝2，AD＝4，將矩形ABCD繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則第2022次旋轉結束時，點C的坐標為()A(6，4) B.(?6，4) C.(4，?6) D.(?4，6)【答案】C【解析】【分析】過點C作CE⊥y軸于點E，連接OC，根據已知條件求出點C的坐標，再根據旋轉的性質求出前4次旋轉后點C的坐標，發現規律，進而求出第2022次旋轉結束時，點C的坐標．【詳解】解：如圖，過點C作CE⊥y軸于點E，連接OC，∵OA＝OB＝2，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBE＝45°，∵BC＝AD＝4，∴CE＝BE＝4，∴OE＝OB+BE＝6，∴C(?4，6)，∵矩形ABCD繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則第1次旋轉結束時，點C的坐標為(6，4)；則第2次旋轉結束時，點C的坐標為(4，?6)；則第3次旋轉結束時，點C的坐標為(?6，?4)；則第4次旋轉結束時，點C的坐標為(?4，6)；…發現規律：旋轉4次一個循環，∴2022÷4＝505???2，則第2022次旋轉結束時，點C的坐標為(4，?6)．故選：C．【點睛】本題考查圖形的旋轉，通過旋轉角度找到旋轉規律，從而確定第2022次旋轉后矩形的位置是解題的關鍵．二、填空題（每小題3分，共15分）11.若點M（?2x，?3）與點N（+1，3）關于原點對稱，則x＝_______．【答案】1【解析】【分析】根據兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，可得出關于x的方程，解出即可．【詳解】解：∵點M（?2x，?3）與點N（+1，3）關于原點對稱，∴?2x+（+1）＝0，解得：x＝1．故答案為：1．【點睛】本題考查了關于原點對稱的點的坐標的特點，注意掌握兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反．12.一個二次函數的對稱軸為直線x＝2，該函數的圖像與y軸的交點到原點的距離為1，則該函數的解析式為_______．（寫出一個符合題意要求的答案即可）【答案】【解析】【分析】設二次函數為，由對稱軸是直線x＝2，可得k＝2，與y軸的交點到原點的距離為1，可得與y軸的交點的坐標為（0，±2），利用待定系數法求出解析式．【詳解】解：設二次函數為，∵對稱軸為直線x＝2，∴k＝2，∴二次函數y＝a（x?k）2的解析式，∵與y軸的交點到原點的距離為1，∴與y軸交于點（0，1）或（0，?1），把（0，1）代入得，1＝4a，∴a＝，∴函數的解析式可以為：．故答案為：．【點睛】本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式，此題是開放題，解題的關鍵理解題意．還要注意利用待定系數法求函數解析式．13.對于兩個不相等的實數a，b，我們規定符號Max{a，b}表示a，b中的較大值，如：Max{2，4}=4，按照這個規定，方程Max{x，-x}=x2-2的解為______．【答案】2或-2．【解析】【分析】分類討論x與?x的范圍，利用題中的新定義方程的解即可．【詳解】當x＞?x，即x＞0時，方程為x＝x2-2，解得：x1＝-1,x2＝2,∴x=2，當x＜?x，即x＜0時，方程為?x＝x2-2，解得：x1＝1,x2＝-2，∴x=-2，故答案為2或-2．【點睛】此題考查了解一元二次方程，解題關鍵是根據題意列出方程求解．14.《田畝比類乘除捷法》是我國古代數學家楊輝的著作，其中有一個數學問題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何”．意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長與寬共60步，問它的長比寬多多少步？根據題意得，長比寬多______步．【答案】12【解析】【分析】設長為x步，寬為(60-x)步，根據長方形的面積公式列出方程進行求解即可得.【詳解】設長為x步，寬為(60-x)步，x(60-x)=864，解得，x1=36，x2=24(舍去)，∴當x=36時，60-x=24，∴長比寬多：36-24=12(步)，故答案為12．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，弄清題意，找準等量關系列出方程是解題的關鍵.15.如圖（1），點P是直徑為AB的半圓O上一動點（可以與點A，B重合），過點P作PD⊥AB于點D，連接PA．設PA＝x，PD＝y，圖（2）是點P運動過程中y與x之間的函數關系的圖像，其中M為曲線的最高點，則mn的值為_______．【答案】4【解析】【分析】先根據函數圖像得出AB的長度，然后求出圓的半徑，當點P到點O的正上方時，PD最大，求出此時的x和y的值，即可確定點m、n的值，從而得到答案．【詳解】解：由圖像得AB＝4，∴圓O的半徑為2，當點D和點O重合時，PD最大，此時PD為圓O的半徑，∴y＝2，當y＝2時，x＝＝＝2，∴點M的坐標為（2，2），即m＝2，n＝2，∴mn＝4，故答案為：4．【點睛】本題主要考查了圓，勾股定理，動點問題的函數圖像，解決問題的關鍵是熟練掌握圓的基本知識，勾股定理解直角三角形，函數圖像性質確定圓的半徑，確定PD最大時點D的位置．三、解答題（本大題共8小題，滿分75分）16.小敏與小霞兩位同學解方程的過程如下框：小敏：兩邊同除以，得，則．小霞：移項，得，提取公因式，得．則或，解得，．你認為他們的解法是否正確？若正確請在框內打“√”；若錯誤請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．【答案】兩位同學的解法都錯誤，正確過程見解析【解析】【分析】根據因式分解法解一元二次方程【詳解】解：小敏：兩邊同除以，得，則．（×）小霞：移項，得，提取公因式，得．則或，解得，．（×）正確解答：移項，得，提取公因式，得，去括號，得，則或，解得，．【點睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧準確計算是解題關鍵．17.已知關于的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個實數根；（2）若，且該方程兩個實數根的差為2，求的值．【答案】（1）見詳解；（2）【解析】【分析】（1）由題意及一元二次方程根的判別式可直接進行求證；（2）設關于的一元二次方程的兩實數根為，然后根據一元二次方程根與系數的關系可得，進而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．【詳解】（1）證明：由題意得：，∴，∵，∴，∴該方程總有兩個實數根；（2）解：設關于的一元二次方程的兩實數根為，則有：，∵，∴，解得：，∵，∴．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數的關系是解題的關鍵．18.二次函數（a，b，c是常數，）的自變量x與函數值y的部分對應值如下表：x…01……44m…根據以上列表，回答下列問題：（1）直接寫出c，m的值；（2）求此二次函數的解析式．【答案】（1），；（2）或【解析】【分析】（1）根據表格中對應值可知對稱軸的值和拋物線與y軸的交點，即可求得c的值，根據拋物線的對稱性即可求得m的值；

（2）直接利用待定系數法求出二次函數解析式即可．【詳解】解：（1）根據圖表可知：

二次函數y=ax2+bx+c的圖象過點（0，4），（-2，4），

∴對稱軸為直線，c=4，

∵（-3，）的對稱點為（1，），

∴m=；

（2）∵對稱軸是直線x=-1，

∴頂點為（-1，），

設y=a（x+1）2+，

將（0，4）代入y=a（x+1）2+得，

a+=4，

解得a=-，

∴這個二次函數的解析式為y=-（x+1）2+．【點睛】本題考查的是二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求二次函數的解析式，能熟練求解函數對稱軸是解題的關鍵．19.如圖，在中，．（1）尺規作圖：作出經過A，B，C三點的.（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）連接AO并延長，交于點D，連接DB，DC．①求證：；②將沿AD折疊，點C的對應點為，當______°時，四邊形為菱形．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②60．【解析】【分析】（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，作圖確定斜邊的中點即可；（2）①根據平行四邊形性質得出對應邊相等，再利用證明；②根據菱形的性質即圓的性質，可得到所在的三角形為等邊三角形，即可得出結論．【詳解】解：（1）如圖所示，即為所求．其過程為：分別以為圓心，超過一半的長為半徑畫弧會相交兩點，連接兩點的直線與相交的點為點，即為過A，B，C三點的的圓心，以為半徑畫圓．（2）證明：①∵，四邊形ABDC是平行四邊形.∴，在和中∴②如圖：若四邊形為菱形，則，同時又有，為等邊三角形，四邊形為菱形，故答案是：．【點睛】本題考查了作直角三角形的外接圓、三角形全等的判定定理、折疊、菱形的判定與性質，解題的關鍵是：熟練掌握相關的性質定理．20.某水果店將標價為10元/斤的某種水果．經過兩次降價后，價格為8.1元/斤，并且兩次降價的百分率相同．（1）求該水果每次降價的百分率；（2）從第二次降價的第1天算起，第x天（x為整數）的銷量及儲藏和損耗費用的相關信息如下表所示：時間（天）x銷量（斤）120﹣x儲藏和損耗費用（元）3x2﹣64x+400已知該水果的進價為4.1元/斤，設銷售該水果第x（天）的利潤為y（元），求y與x（1≤x＜10）之間的函數解析式，并求出第幾天時銷售利潤最大，最大利潤是多少？【答案】（1）10%；（2）y＝﹣3x2+60x+80，第9天時銷售利潤最大，最大利潤是377元【解析】【分析】（1）根據題意，可以列出相應的方程，從而可以求得相應的百分率；（2）根據題意和表格中的數據，可以求得y與x（1≤x＜10）之間的函數解析式，然后利用二次函數的性質可以求出第幾天時銷售利潤最大，最大利潤是多少．【詳解】解：（1）設該水果每次降價的百分率為x，10（1﹣x）2＝8.1，解得，x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），答：該水果每次降價的百分率是10%；（2）由題意可得，y＝（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）＝﹣3x2+60x+80＝﹣3（x﹣10）2+380，∵1≤x＜10，∴當x＝9時，y取得最大值，此時y＝377，由上可得，y與x（1≤x＜10）之間的函數解析式是y＝﹣3x2+60x+80，第9天時銷售利潤最大，最大利潤是377元．【點睛】本題考查二次函數的應用、一元二次方程的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和方程的知識解答．21.小愛同學學習二次函數后，對函數進行了探究，在經歷列表、描點、連線步驟后，得到如下的函數圖像．請根據函數圖象，回答下列問題：（1）觀察探究：①寫出該函數的一條性質：__________；②方程的解為：__________；③若方程有四個實數根，則的取值范圍是__________．（2）延伸思考：將函數的圖象經過怎樣的平移可得到函數的圖象？寫出平移過程，并直接寫出當時，自變量的取值范圍．【答案】（1）①關于y軸對稱；②；③；（2）將函數的圖象先向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度可得到函數的圖象，當時，自變量的取值范圍為或．【解析】【分析】（1）①根據函數圖象可直接進行作答；②由函數圖象及方程可得當y=-1時，自變量x的值，則可看作直線y=-1與函數的圖象交點問題，進而問題可求解；③由題意可看作直線y=a與函數的圖象有四個交點的問題，進而問題可求解；（2）由函數圖象平移可直接進行求解，然后結合函數圖象可求解x的范圍問題．【詳解】解：（1）①由圖象可得：該函數的一條性質為關于y軸對稱，（答案不唯一）；故答案為關于y軸對稱；②由題意及圖象可看作直線y=-1與函數的圖象交點問題，如圖所示：∴方程的解為；故答案為；③由題意可看作直線y=a與函數的圖象有四個交點的問題，如圖所示：∴由圖象可得若方程有四個實數根，則的取值范圍是；故答案為；（2）由題意得：將函數的圖象先向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度可得到函數的圖象，則平移后的函數圖象如圖所示：∴由圖象可得：當時，自變量x的取值范圍為或．【點睛】本題主要考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．22.在平面直角坐標系xOy中，拋物線與平行于x軸的一條直線交于A、B兩點（點A在點B的左側）．（1）當點A的坐標為(?3，?1)時．①點B的坐標為；②若拋物線上有兩點，且，則m的取值范圍是；（2）拋物線的對稱軸交直線AB于點C，如果直線AB與y軸交點的縱坐標為2，且拋物線頂點D到點C的距離大于4，求a的取值范圍．【答案】（1）①(1，?1)②m＞2或m＜?4（2）a＜?1或a＞【解析】【分析】（1）①先求得對稱軸，然后根據軸對稱的特點求得即可；②把點A的坐標為(?3，?1)代入求得a=2，然后根據二次函數的性質得到，解得即可；（2）求得頂點坐標，根據題意求得C的坐標，分兩種情況表示出頂點D到點C的距離，列出不等式，解不等式即可求得．【小問1詳解】①∵拋物線，∴對稱軸為x=?1；∵拋物線與平行于x軸的一條直線交于A、B兩點(點A在點B的左側)，∴點A點B關于x=?1軸對稱，∵A(?3，?1)，∴B(1，?1)．故答案為：(1，?1)．②∵拋物線經過點A(?3，?1)，∴?1=9a?6a?4a+1，解得a=2，∴拋物線開口向上，∵拋物線上有兩點，且，對稱軸為直線x=?1，∴，∴m＞2或m＜?4；故答案為：m＞2或m＜?4；【小問2詳解】∵拋物線，∴頂點D(?1，?5a+1)．∵直線AB與y軸交點的縱坐標為2，∴C(?1，2)．∵頂點D到點C的距離大于4，∴?5a+1?2＞4或2+5a?1＞4，∴a＜?1或a＞．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系和求解不等式，二次函數的性質以及二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數的性質解題的關鍵．23.綜合與實踐??探究特殊三角形中的相關問題問題情境：某校學習小組在探究學習過程中，將兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如圖1所示位置放置，且Rt△ABC的較短直角邊AB為2，現將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉，如圖2，AE與BC交于點M，AC與EF交于點N，BC與EF交于點P．（1）初步探究：勤思小組的同學提出：當旋轉角α=時，△AMC是等腰三角形；（2）深入探究：敏學小組的同學提出在旋轉過程中．如果連接AP，CE，那么AP所在的直線是線段CE的垂直平分線，請幫他們證明；（3）再探究：在旋轉過程中，當旋轉角α=30°時，求△ABC與△AFE重疊的面積；（4）拓展延伸：在旋轉過程中，△CPN是否能成為直角三角形？若能，直接寫出旋轉角α的度數；若不能，說明理由．【答案】（1）60°或15°（2）見解析（3）（4）能，∠α=30°或60°【解析】【分析】（1）根據等腰三角形的判定定理即可得到結論；（2）由題意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，根據旋轉的性質得到∠BAM=∠FAN，根據全等三角形的性質得到AM=AN，PE=PC，由線段垂直平分線的性質即可得到結論；（3）根據已知條件得到△ABM是直角三角形，求得EM=，根據全等三角形的性質和三角形的面積公式即可得到結論；（4）當∠CNP=90°時，依據對頂角相等可求得∠ANF=90°，然后依據∠F=60