電場能的性質一、電勢能和電勢1．靜電力做功的特點(1)特點：靜電力做功與路徑無關，只與電荷量和電荷移動過程始、末位置間的電勢差有關。(2)靜電力做功與電勢能變化的關系①靜電力做的功等于電荷電勢能的減少量，即WAB＝EpA－EpB。靜電力對電荷做多少正功，電荷電勢能就減少多少；電荷克服靜電力做多少功，電荷電勢能就增加多少。②電勢能的大?。河蒞AB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，則EpA＝WAB，即一個電荷在電場中某點具有的電勢能，數值上等于將其從該點移到零電勢能位置過程中靜電力所做的功。2．電勢能(1)定義：電荷在電場中具有的勢能，數值上等于將電荷從該點移到零勢能位置時電場力所做的功。(2)電場力做功與電勢能變化的關系：電場力做的功等于電勢能的減少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。3．電勢(1)定義：試探電荷在電場中某點具有的電勢能與它的電荷量的比值。(2)定義式：φ＝eq\f(Ep,q)。(3)矢標性：電勢是標量，有正、負之分，其正(負)表示該點電勢比零電勢高(低)。(4)相對性：電勢具有相對性，同一點的電勢因選取零電勢點的不同而不同。4．等勢面(1)定義：電場中電勢相等的各點組成的面。(2)四個特點①等勢面一定與電場線垂直。②在同一等勢面上移動電荷時電場力不做功。③電場線方向總是從電勢高的等勢面指向電勢低的等勢面。④等差等勢面越密的地方電場強度越大，反之越小。二、電勢差1．定義：電荷在電場中由一點A移到另一點B時，電場力做功與移動電荷的電荷量的比值。2．定義式：UAB＝eq\f(WAB,q)。3．電勢差與電勢的關系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA。三、勻強電場中電勢差與電場強度的關系1．電勢差與電場強度的關系：勻強電場中兩點間的電勢差等于電場強度與這兩點沿電場線方向的距離的乘積。即U＝Ed，也可以寫作E＝eq\f(U,d)。2．公式U＝Ed的適用范圍：勻強電場。3．沿電場方向電勢降落得最快。一、易錯易誤辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)電場中電場強度為零的地方電勢一定為零。 (×)(2)沿電場線方向電場強度越來越小，電勢逐漸降低。 (×)(3)A、B兩點間的電勢差等于將正電荷從A點移到B點時靜電力所做的功。 (×)(4)A、B兩點的電勢差是恒定的，所以UAB＝UBA。 (×)(5)等差等勢線越密的地方，電場線越密，電場強度越大。 (√)(6)電場中電勢降低的方向，就是電場強度的方向。 (×)二、教材習題衍生1．(電勢高低和電勢能大小的判斷)某電場的電場線和等勢面如圖所示，下列說法不正確的是()A．B點的電勢高于A點的電勢B．把負電荷從A移到B，靜電力做正功，電勢能減少C．負電荷從B移到A時，靜電力做負功D．UAB＝UBA[答案]D2．(電勢差與電場強度的關系)如圖所示，在E＝500V/m的勻強電場中，a、b兩點相距d＝2cm，它們的連線跟電場強度方向的夾角是60°，則Uab等于()A．5V B．10VC．－5V D．－10V[答案]C3．(電場線、等勢面及運動軌跡問題)如圖所示，實線表示某電場的電場線，虛線表示一帶正電的粒子只在電場力作用下的運動軌跡，設A和B點的電勢分別為φA和φB，粒子在A、B兩點加速度大小分別為aA和aB，速度大小為vA和vB，電勢能分別為EpA和EpB，下列判斷正確的是()A．vA<vB B．aA<aBC．φA<φB D．EpA>EpBC[帶電粒子所受電場力指向軌跡彎曲的內側，粒子從A到B過程，電場力方向與速度方向成鈍角，電場力做負功，動能減小，速度減小，電勢能增加，故帶電粒子通過A點時的速度比通過B點時的速度大，即vA>vB，EpA<EpB，選項A、D錯誤；根據電場線疏密可知，EA>EB，根據F＝Eq和牛頓第二定律可知，aA>aB，選項B錯誤；根據沿著電場線方向，電勢逐漸降低，故φA<φB，選項C正確。]電勢高低和電勢能大小的判斷1．電勢高低常用的兩種判斷方法(1)沿電場線方向電勢逐漸降低。(2)若UAB>0，則φA>φB；若UAB<0，則φA<φB。2．電勢能大小的判斷方法判斷角度判斷方法做功判斷法電場力做正功，電勢能減?。浑妶隽ψ鲐摴Γ妱菽茉龃箅姾呻妱莘ㄕ姾稍陔妱莞叩牡胤诫妱菽艽?，負電荷在電勢低的地方電勢能大公式法由Ep＝qφp，將q、φp的大小、正負號一起代入公式，Ep的正值越大，電勢能越大；Ep的負值的絕對值越小，電勢能越大能量守恒法在電場中，若只有電場力做功時，電荷的動能和電勢能相互轉化，動能增大，電勢能減??；反之，電勢能增大電勢高低的判斷1．如圖所示，四個帶電荷量絕對值相等的點電荷分別固定在豎直平面內某一正方形的四個頂點上，A、B、C、D四個點分別為對應的四條邊的中點，現有某一帶正電的試探電荷在四個電荷產生的電場中運動，下列說法正確的是()A．試探電荷在D點的電勢大于在A點的電勢B．試探電荷在D點的電勢小于在C點的電勢C．試探電荷僅在電場力作用下從A點沿AC運動到C點，其加速度逐漸增大D．直線BD所在的水平面一定為等勢面D[取無窮遠處為零電勢點，A點在兩個正電荷電場中電勢為2φ1，在兩個負電荷電場中電勢為－2φ2，因φ1>φ2，故A點的電勢為(2φ1－2φ2)>0；同理C點的電勢為(－2φ1＋2φ2)<0。D點在左上正電荷、左下負電荷的電場中電勢為0，同理，在右上正電荷、右下負電荷的電場中電勢也為0，故D點電勢為零，φA>φD，φD>φC，A、B錯誤；由場強疊加原理可知，A、C兩點的場強相同，故試探電荷在這兩點的加速度也相同，所以試探電荷僅在電場力作用下從A點沿AC運動到C點，加速度并不是一直增大，故C錯誤；B、D所在的水平面上任意一點的場強方向均豎直向下，故在這個水平面內移動電荷時，電場力不做功，所以此面一定為等勢面，故D正確。]電勢能大小的判斷2．如圖所示為某一帶正電的點電荷產生的電場中的一條電場線。A、B、C、D為該電場線上的點，相鄰兩點間距相等，電場線方向由A指向D。一個帶正電的粒子從A點由靜止釋放，運動到B點時的動能為Ek，僅考慮電場力的作用，則()A．從A點到D點，電勢先升高后降低B．粒子一直做勻加速運動C．粒子在BC段電勢能的減少量大于在CD段電勢能的減少量D．粒子運動到D點時動能等于3EkC[因為該電場線為一帶正電的點電荷產生的，根據電場線的特點可知該正電荷在A點的左側，沿著電場線方向電勢降低，即從A點到D點電勢降低，選項A錯誤；由正點電荷的電場線特點可知，從A到D電場強度越來越小，粒子加速度越來越小，可知粒子做加速度減小的加速運動，選項B錯誤；由題圖可知BC段靠近場源電荷，而電場線密集的地方，電勢降低較快，故BC段的電勢差大于CD段的電勢差，根據電場力做功W＝qU，故BC段電場力做的正功更多，則粒子在BC段電勢能的減少量大于在CD段電勢能的減少量，選項C正確；若該電場是勻強電場，從A到B，根據動能定理有qU＝Ek，從A到D，根據動能定理有3qU＝EkD，聯立得EkD＝3Ek，而該電場是非勻強電場，從A到D距離相等的兩點間的電勢差越來越小，故粒子運動到D點時動能小于3Ek，選項D錯誤。]電勢、電場力做功、電勢能的綜合問題3．如圖所示，ABC為等邊三角形，電荷量為＋q的點電荷固定在A點。先將一電荷量也為＋q的點電荷Q1從無窮遠處(電勢為0)移到C點，此過程中，電場力做功為－W。再將Q1從C點沿CB移到B點并固定。最后將一電荷量為－2q的點電荷Q2從無窮遠處移到C點。下列說法不正確的有()A．Q1移入之前，C點的電勢為eq\f(W,q)B．Q1從C點移到B點的過程中，所受電場力做的功為0C．Q2從無窮遠處移到C點的過程中，所受電場力做的功為2WD．Q2在移到C點后的電勢能為－4WC[由題意可知，C點的電勢為φC＝eq\f(Ep,q)＝eq\f(W,q)，故A正確；由于B、C兩點到A點(＋q)的距離相等，所以B、C兩點的電勢相等，所以Q1從C點移到B點的過程中，電場力做功為0，故B正確；由于Q1的電荷量也為＋q，所以當在B點固定Q1后，C點的電勢為eq\f(2W,q)，所以Q2從無窮遠移到C點過程中，電場力做功為：W＝qU＝－2q×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2W,q)))＝4W，故C錯誤；由于C點的電勢為eq\f(2W,q)，所以Q2的電勢能為Ep＝－4W，故D正確。]4．(電勢、電場力做功、電勢能的綜合問題)如圖所示，絕緣輕桿的兩端固定帶有等量異號電荷的小球(不計重力)。開始時，兩小球分別靜止在A、B位置?，F外加一勻強電場E，在靜電力作用下，小球繞輕桿中點O轉到水平位置。取O點的電勢為0。下列說法正確的有()A．電場E中A點電勢高于B點B．轉動中兩小球的電勢能始終相等C．該過程靜電力對兩小球均做負功D．該過程兩小球的總電勢能增加B[沿著電場線方向，電勢降低，A錯誤；由于O點的電勢為0，根據勻強電場的對稱性，電勢φA＝－φB，又qA＝－qB，Ep＝qφ，所以電勢能EPA＝EPB，B正確；A、B位置的小球受到的靜電力分別水平向右、水平向左，絕緣輕桿順時針旋轉，兩小球受到的靜電力對兩小球均做正功，電場力做正功，電勢能減少，C、D錯誤。]電勢差與電場強度的關系1．公式E＝eq\f(U,d)的三點注意(1)只適用于勻強電場。(2)d為某兩點沿電場強度方向上的距離，或兩點所在等勢面之間的距離。(3)電場強度的方向是電勢降低最快的方向。2．兩個推論(1)如圖甲所示，C點為線段AB的中點，則有φC＝eq\f(φA＋φB,2)。(2)如圖乙所示，AB∥CD，且AB＝CD，則UAB＝UCD。甲乙3．三點妙用(1)解釋等差等勢面的疏密與電場強度大小的關系。當電勢差U一定時，電場強度E越大，則沿電場強度方向的距離d越小，即電場強度越大，等差等勢面越密。(2)定性判斷非勻強電場電勢差的大小關系。如距離相等的兩點間的電勢差，E越大，U越大；E越小，U越小。(3)利用φ-x圖像的斜率判斷沿x軸方向電場強度Ex隨位置的變化規律。在φ-x圖像中斜率k＝eq\f(Δφ,Δx)＝eq\f(U,d)＝Ex，斜率的大小表示電場強度的大小，正負表示電場強度的方向。eq\o([典例])如圖所示，水平面內有A、B、C、D、M、N六個點，它們均勻分布在半徑為R＝2cm的同一圓周上，空間有一方向與圓平面平行的勻強電場。已知A、C、M三點的電勢分別為φA＝(2－eq\r(3))V、φC＝2V、φM＝(2＋eq\r(3))V，下列判斷正確的是()A．電場強度的方向由A指向DB．電場強度的大小為1V/mC．該圓周上的點電勢最高為4VD．沿圓周將電子從D點經M點移到N點，電場力先做負功后做正功C[在勻強電場中AM連線的中點G的電勢φG＝eq\f(1,2)(φA＋φM)＝2V＝φC，所以直線COGN為等勢線，在勻強電場中等勢線相互平行，電場線與等勢線相互垂直，且由電勢高的等勢線指向電勢低的等勢線，可知直線AB、直線DM分別為等勢線，直線DB、直線MA分別為電場線，可知電場強度的方向由M指向A(或由D指向B)，故A錯誤；MA兩點間的電勢差UMA＝φM－φA＝2eq\r(3)V，沿電場方向的距離d＝eq\r(3)R＝eq\f(\r(3),50)m，電場強度E＝eq\f(UMA,d)＝100V/m，故B錯誤；過圓心O做MA的平行線，與圓的交點H處電勢最高，UHO＝E·R＝2V，由UHO＝φH－φO可得：最高電勢φH＝UHO＋φO＝4V，故C正確；沿圓周將電子從D點經M點移到N點，電場力先做正功再做負功，故D錯誤。]應用E＝eq\f(U,d)關系的解題思路eq\o([跟進訓練])利用E＝eq\f(U,d)在非勻強電場中的定性分析1．如圖所示，在某電場中畫出了三條電場線，C點是A、B連線的中點。已知A點的電勢為φA＝30V，B點的電勢為φB＝－10V，則C點的電勢()A．φC＝10VB．φC>10VC．φC<10VD．上述選項都不正確C[由于A、C之間的電場線比C、B之間的電場線密，相等距離之間的電勢差較大，即UAC>UCB，所以φA－φC>φC－φB，可得φC<eq\f(φA＋φB,2)，即φC<10V，選項C正確。]2．(2021·蘇州中學一模)如圖所示，在正點電荷Q的電場中，A、B、C為直角三角形的三個頂點，D為AC的中點，∠A＝30°，A、B、C、D四點處的電勢滿足φA＝φC，φB＝φD，點電荷Q在A、B、C三點所在平面內，則()A．點電荷Q在A、C的連線上B．點電荷Q在B、D連線的中點處C．φD>φCD．將負試探電荷從C點搬運到B點，電場力做負功C[因φA＝φC，則點電荷Q在A、C連線的垂直平分線上；又φB＝φD，則點電荷Q又在B、D連線的垂直平分線上；如圖，點電荷Q在A、B的連線上，選項A、B錯誤；D點距離正點電荷的距離較C點近，可知φD>φC，選項C正確；將負試探電荷從C點搬運到B點，電場力做正功，選項D錯誤。]利用E＝eq\f(U,d)公式在勻強電場中的定量計算3．如圖所示，勻強電場方向平行于xOy平面，在xOy平面內有一個半徑為R＝5m的圓，圓上有一個電荷量為q＝＋1×10－8C的試探電荷P，半徑OP與x軸正方向的夾角為θ，P沿圓周移動時，其電勢能Ep＝2.5×10－5sinθ(J)，A．x軸位于零勢能面上B．電場強度大小為500V/m，方向沿y軸正方向C．y軸位于零勢能面上D．電場強度大小為500V/m，方向沿x軸正方向A[由Ep＝2.5×10－5sinθ(J)知，x軸上的勢能為零，是零勢能面，電勢沿y軸變化最快，電場線沿y軸方向，A正確，C錯誤；當θ＝90°時，Ep＝2.5×10－5J＝EqR，解得E＝500V/m，又電勢能大于零，故電場強度的方向沿y軸負方向，B、D錯誤。]4．如圖所示，在平面直角坐標系中，有方向平行于坐標平面的勻強電場，其中坐標原點O處的電勢為0，點A處的電勢為6V，點B處的電勢為3V，則電場強度的大小為()A．200V/m B．200eq\r(3)V/mC．100V/m D．100eq\r(3)V/mA[勻強電場的電場線與等勢面都是平行、等間距排列的，且電場線與等勢面處處垂直，沿著電場線方向電勢逐漸降低，取OA中點C，則C點電勢為3V，連接BC即為電場中的一條等勢線，作等勢線的垂線，即電場中的電場線，如圖所示，由幾何關系可得，E＝eq\f(U,d)＝eq\f(3V,\x\to(OC)·sin30°)＝200V/m。故A正確。]電場線、等勢面及運動軌跡問題1．(電場線與運動軌跡的關系)如圖所示，實線表示某電場的電場線(方向未標出)，虛線是一帶負電的粒子只在電場力作用下的運動軌跡，設M點和N點的電勢分別為φM、φN，粒子在M點和N點時加速度大小分別為aM、aN，速度大小分別為vM、vN，電勢能分別為EpM、EpN。下列判斷正確的是()A．vM<vN，aM<aN B．vM<vN，φM<φNC．φM<φN，EpM<EpN D．aM<aN，EpM<EpND[電場線越密，電場強度越大，同一個粒子受到的電場力越大，根據牛頓第二定律可知其加速度越大，故有aM<aN；若粒子從M運動到N點，則根據帶電粒子所受電場力指向軌跡彎曲的內側，可知在某點的電場力方向和速度方向如圖甲所示，故電場力做負功，電勢能增大，動能減小，即vM>vN，EpM<EpN，負電荷在低電勢處電勢能大，故φM>φN。甲乙若粒子從N運動到M，則根據帶電粒子所受電場力指向軌跡彎曲的內側，可知在某點的電場力方向和速度方向如圖乙所示，故電場力做正功，電勢能減小，動能增大，即vM>vN，EpM<EpN，負電荷在低電勢處電勢能大，故φM>φN。綜上所述，D正確。]2．(等勢面與運動軌跡的關系)如圖所示，虛線a、b、c代表電場中的三個等勢面，相鄰等勢面之間的電勢差相等，即Uab＝Ubc，實線為一帶負電的質點僅在電場力作用下通過該區域時的運動軌跡，P、R、Q是這條軌跡上的三點，R點在等勢面b上，據此可知()A．帶電質點動能與電勢能之和不變B．帶電質點在P點的電勢能比在Q點的小C．帶電質點在R點的加速度方向與等勢面不垂直D．帶電質點在P點的加速度比在R點的加速度小A[只有電場力做功，電勢能與動能之和守恒，帶電質點的動能與電勢能之和不變，A正確；根據軌跡彎曲的方向和電場線與等勢線垂直可知負電荷所受的電場力應向下，所以電場線垂直等勢面向上，因此Q點的電勢高于P點的電勢，帶負電荷的質點在電勢高處電勢能小，P點電勢能大，B錯誤；帶電質點在R點的受力方向沿著電場線的切線方向，電場線與等勢面垂直，因此帶電質點在R點的加速度方向與等勢面垂直，C錯誤；等差等勢面P處密，所以P處的電場強度大，電場力大，帶電質點在P點的加速度比在R點的加速度大，D錯誤。]電場中“三線”問題的分析方法(1)從軌跡的彎曲方向判斷受力方向(軌跡向合外力方向彎曲)，從而分析電場方向或電荷的正負。(2)結合軌跡、速度方向與靜電力的方向，確定靜電力做功的正負，從而確定電勢能、電勢和電勢差的變化等。(3)根據動能定理或能量守恒定律判斷動能的變化情況。電場中的四類圖像問題E-x圖像1．E-x圖像反映了電場強度隨位移變化的規律。2．E-x圖線與x軸圍成的“面積”表示電勢差，“面積”大小表示電勢差大小，兩點的電勢高低根據電場方向判定。[典例1]靜電場在x軸上的場強E隨x的變化關系如圖所示，x軸正向為場強正方向，帶正電的點電荷沿x軸正方向運動，則點電荷()A．在x2和x4處電勢能相等B．由x1運動到x3的過程中電勢能先增大后減小C．由x1運動到x4的過程中電場力先增大后減小D．由x1運動到x4的過程中電場力先減小后增大C[由題圖可知，x1到x4場強先變大，再變小，則點電荷受到的電場力先增大后減小，C正確，D錯誤；由x1到x3及由x2到x4過程中，電場力做負功，電勢能增大，A、B錯誤。]eq\o([跟進訓練])1．在x軸上關于原點對稱的a、b兩點處固定有兩個電荷量相等的點電荷，如圖E-x圖像描繪了x軸上部分區域的電場強度(以x軸正方向為電場強度的正方向)。對于該電場中x軸上關于原點對稱的c、d兩點，下列結論正確的是()A．兩點場強相同，c點電勢更高B．兩點場強相同，d點電勢更高C．兩點場強不同，兩點電勢相等，均比O點電勢高D．兩點場強不同，兩點電勢相等，均比O點電勢低A[根據給出的E-x圖像可知，a處為正電荷，b處為負電荷，根據點電荷產生的場強E＝eq\f(kQ,r2)及電場的疊加原理可知，c、d兩處場強相同，電場方向由c指向d，故c點電勢高，選項A正確。]φ-x圖像1．電場強度的大小等于φ-x圖線的斜率大小，電場強度為零處，φ-x圖線存在極值，其切線的斜率為零。2．在φ-x圖像中可以直接判斷各點電勢的大小，并可根據電勢大小關系確定電場強度的方向。3．在φ-x圖像中分析電荷移動時電勢能的變化，可用WAB＝qUAB，進而分析WAB的正負，然后作出判斷。[典例2](2021·江蘇鹽城中學高三月考)帶電球體的半徑為R，以球心為原點O建立坐標軸x，軸上各點電勢φ隨x變化如圖所示，下列說法中正確的是()A．球體帶負電荷B．球內電場強度最大C．負電荷在B點的電勢能比C點的小D．A、B兩點電場強度相同C[從球出發向兩側電勢降低，而電場線從正電荷出發，沿著電場線電勢降低，故球帶正電荷，故A錯誤；球是等勢體，故內部任意兩點間的電勢差為零，故場強為零，故B錯誤；從B到C，電勢降低，故負電荷電勢能升高，故C正確；A點與B點的電場強度大小相等，但方向相反，故不同，故D錯誤。]eq\o([跟進訓練])2．在x軸上有兩個點電荷q1和q2，其中有一個點電荷位于x＝0處，x軸上的電勢φ隨x變化的關系如圖所示，則()A．x＝x1處電場強度為0B．x＝x2處電場強度不為0C．q1、q2為不等量異種點電荷，且正電荷在x＝0處，負電荷在x<0的某處D．q1、q2為等量異種點電荷，且正電荷在x＝0處，負電荷在x>0的某處C[由題圖圖像的斜率表示電場強度可知，x＝x1處電場強度不為0，x＝x2處電場強度為0，選項A、B錯誤；在兩點電荷連線上出現電場強度為零的點有兩種情況，一是同種電荷之間某點，該點兩側電勢變化形狀基本相同，二是異種電荷連線之外；x＝0處向右電勢逐漸降低，說明電場強度方向向右，x＝0處為正電荷，負電荷應該在x<0某處，且負電荷電荷量較大，所以q1、q2為不等量異種點電荷，選項C正確，D錯誤。]Ep-x圖像1．反映了電勢能隨位移變化的規律。2．圖線的切線斜率大小等于電場力大小。3．進一步判斷電場強度、動能、加速度等隨位移的變化情況。[典例3](2021·江蘇南京三模)A、B為電場中一直線上的兩個點，帶正電的點電荷只受電場力的作用，從A點以某一初速度做直線運動到B點，其電勢能Ep隨位移x的變化關系如圖所示。則從A到B過程中，下列說法正確的是()A．點電荷的速度先增大后減小B．空間電場是某負點電荷形成的C．電荷所受電場力先減小后增大D．空間各點的電勢一直升高C[根據電勢能Ep隨位移x的變化圖像可知，電勢能先增大后減小，所以電場力先做負功再做正功，又點電荷只受電場力，所以合外力先做負功再做正功，因此點電荷的速度先減小后增大，A錯誤；點電荷帶正電，且電場力先做負功再做正功，所以電場強度的方向先向左再向右，空間電場可能是某正點電荷形成的，B錯誤；電勢能Ep隨位移x的變化的圖像斜率表示電場力，所以可知電場力先減小后增大，C正確；根據Ep＝qφ，粒子帶正電且電勢能先增大后減小，同時電勢能均為正值，所以空間各點的電勢先升高后降低，D錯誤。]eq\o([跟進訓練])3．a、b、c是靜電場中一直線上的三個點，從a點釋放一個初速度為零的電子，電子僅在電場力的作用下，由a點經b點運動到c點，其電勢能隨該電子位置的變化關系如圖所示，則()A．該電場可能是孤立的點電荷產生的B．電子在a點加速度的值小于在b點加速度的值C．電場中a點的電勢大于b點的電勢D．電子從a點到c點的過程中動能先增大后減小D[若該電場為