平行四邊形的性質與判定再研究2020年海淀區空中課堂初三年級數學學科第13課平行四邊形的性質與判定再研究2020年海淀區空中課堂1回顧與思考我們知道，在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．這些線段叫做多邊形的邊．多邊形按邊數分成三角形、四邊形、五邊形……．回顧與思考我們知道，在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封多邊形從特殊入手三角形等腰三角形邊角直角三角形等腰直角三角形四邊形特殊平行四邊形特殊矩形菱形正方形角邊特殊轉化類比回顧與思考多邊形從特殊入手三角形等腰三角形邊角直角三角形等腰直角三角形回顧與思考平行四邊形的定義定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．平行四邊形ABCD記作：□ABCD．DCBA

回顧與思考平行四邊形的定義定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做回顧與思考在知道了平行四邊形的定義后，我們從哪些方面學習了它的性質呢？思考：平行四邊形的對邊平行且相等平行四邊形的對角相等平行四邊形的對角線互相平分平行四邊形是中心對稱圖形，對角線交點是它的對稱中心溫馨提示：平行四邊形不一定是軸對稱圖形邊角對角線對稱性回顧與思考在知道了平行四邊形的定義后，我們從哪些方面學習了它回顧與思考我們可以有哪些方法判斷一個四邊形是平行四邊形呢？判定1：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形判定2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定3：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形判定4：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定5：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形回顧與思考我們可以有哪些方法判斷一個四邊形是平行四邊形呢？判回顧與思考

性質定理是已知圖形形狀，進而得出圖形元素的數量或位置關系；判定定理是已知圖形元素的某些數量或位置關系，依此判斷圖形形狀．因此，無論是性質還是判定，都是圍繞圖形的基本元素展開的，如平行四邊形的性質和判定都是圍繞著邊、角、對角線三個方面來研究的．回顧與思考性質定理是已知圖形形狀，進而得出圖形元素的典例分析例1如圖，在□ABCD中，DE、BF分別平分∠ADB、∠CBD，交對角線AC于E、F兩點．連接BE，DF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形．分析：欲證四邊形BFDE是平行四邊形，需要根據題目中已知條件的特點選擇合適的方法．在此題中，給出了平行四邊形ABCD，所以可以得到平行四邊形ABCD對邊相等、對角相等、對角線互相平分的性質，我們可以利用這些線段等、角等的條件，選擇合適的判定方法進行證明．典例分析例1如圖，在□ABCD中，DE、BF分別平分∠AD典例分析例1如圖，在□ABCD中，DE、BF分別平分∠ADB、∠CBD交對角線AC于E、F兩點．連接BE，DF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形．證明：【方法1】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OD＝OB，OA＝OC．AD∥BC，AD＝BC．

∴∠DAE＝∠BCF，∠ADB＝∠CBD．∵DE、BF分別平分∠ADB、∠CBD，∴∠ADE＝∠CBF．∴△ADE≌△CBF(ASA)．∴AE＝CF．∴OE＝OF．又∵OD＝OB，∴四邊形BFDE是平行四邊形．典例分析例1如圖，在□ABCD中，DE、BF分別平分∠AD典例分析例1如圖，在□ABCD中，DE、BF分別平分∠ADB、∠CBD交對角線AC于E、F兩點．連接BE，DF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形．證明：【方法2】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠DAE＝∠BCF，∠ADB＝∠CBD．∵DE、BF分別平分∠ADB、∠CBD，∴∠ADE＝∠CBF．∴△ADE≌△CBF．∴

DE=BF

∠DEA＝∠BFC．∴∠OED＝∠BFO．∴DE∥BF．∴四邊形BFDE是平行四邊形．典例分析例1如圖，在□ABCD中，DE、BF分別平分∠AD典例分析請思考并解決以下問題：⑴例1中其他條件不變，將“DE、BF分別平分∠ADB、∠CBD,交AC于E、F兩點”改為“DE⊥AC于E，BF⊥AC于F”，連接BE、DF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．請同學們自己畫圖并給出證明．⑵例1中其他條件不變，將“DE、BF分別平分∠ADB、∠CBD,交AC于E、F兩點”改為“若E、F分別是OA、OC的中點”，連接BE、DF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．請同學們自己畫圖并給出證明．典例分析請思考并解決以下問題：⑴例1中其他條件不變，將“DE典例分析

分析：第（1）問可以利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形來進行證明；第（2）問可以利用相似三角形對應邊成比例以及勾股定理來求線段的長.典例分析

分析：第（1）問可以利用一組對邊平行且相等的四邊形典例分析例2如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，延長BA至點E，使AE=AB，連接DE，AC.（1）求證：四邊形ACDE為平行四邊形;(1)證明：∵平行四邊形ABCD，∴AB=CD，AB∥CD.∵AB=AE，∴AE=DC，AE∥DC.∴四邊形ACDE為平行四邊形.典例分析例2如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，延長BA至典例分析

(2)解：∵AB=AC，∴AE=AC.∴平行四邊形ACDE為菱形.∴CE⊥AD

典例分析

(2)解：

典例分析例3學習了《平行四邊形》一章以后，小東根據學習平行四邊形的經驗，對平行四邊形的判定問題進行了再次探究．以下是小東的探究過程，請補充完整：（1）在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O．若AB∥CD，補充下列條件中能判斷四邊形

ABCD是平行四邊形的是；（寫出一個你認為正確選項的序號即可）；（A）BC＝AD（B）∠BAD=∠BCD（C）

AO＝CO，（2）將（1）中的命題用文字語言表述為：①命題1：

；②畫出圖形，并寫出命題1的證明過程；（3）小東進一步探究發現：若一個四邊形ABCD的三個頂點A，B，C的位置如圖所示，且這個四邊形滿足CD=AB，∠B=∠D，但四邊形ABCD不是平行四邊形，畫出符合題意的四邊形

ABCD，進而小東發現：命題2“一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形”是一個假命題．典例分析例3學習了《平行四邊形》一章以后，小東根據學習平行典例分析例3學習了《平行四邊形》一章以后，小東根據學習平行四邊形的經驗，對平行四邊形的判定問題進行了再次探究．以下是小東的探究過程，請補充完整：（1）在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O．若AB∥CD，補充下列條件中能判斷四邊形

ABCD是平行四邊形的是；（寫出一個你認為正確選項的序號即可）；（A）BC＝AD（B）∠BAD=∠BCD（C）

AO＝CO對于A選項，我們畫出滿足條件的圖形，發現四邊形ABCD不是平行四邊形，而是等腰梯形.(B)、(C)選項都是對的.典例分析例3學習了《平行四邊形》一章以后，小東根據學習平行四典例分析例3學習了《平行四邊形》一章以后，小東根據學習平行四邊形的經驗，對平行四邊形的判定問題進行了再次探究．以下是小東的探究過程，請補充完整：（2）將（1）中的命題用文字語言表述為：①命題1：

；②畫出圖形，并寫出命題1的證明過程；①我們選擇C來進行證明，文字語言表述為：一組對邊平行，一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形典例分析例3學習了《平行四邊形》一章以后，小東根據學習平行四典例分析一組對邊平行，一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，對角線AC，BD相交于點O，AO=CO．求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∠ABD=∠BDC．∵AO＝CO．∴△AOB≌△COD(AAS)．∴AB＝CD．∴四邊形ABCD是平行四邊形．典例分析一組對邊平行，一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平典例分析例3學習了《平行四邊形》一章以后，小東根據學習平行四邊形的經驗，對平行四邊形的判定問題進行了再次探究．以下是小東的探究過程，請補充完整：（3）小東進一步探究發現：若一個四邊形ABCD的三個頂點A，B，C的位置如圖所示，且這個四邊形滿足CD=AB，∠B=∠D，但四邊形ABCD不是平行四邊形，畫出符合題意的四邊形

ABCD，進而小東發現：命題2“一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形”是一個假命題．D典例分析例3學習了《平行四邊形》一章以后，小東根據學習平行四課堂總結和作業1.課堂總結：我們研究特殊四邊形時，往往先研究比較一般的情況，然后再將這個四邊形的元素特殊化，研究特殊的情況；而我們在研究這些特殊的四邊形時，會研究它的邊、角、對角線所具有的關系，既包括它的數量關系，又包括它的位置關系,這就是我們研究特殊四邊形的基本方法.特殊四邊形一般特殊邊角對角線關系數量關系位置關系課堂總結和作業1.課堂總結：特殊四邊形一般特殊邊角對角線關系作業（1）請解決例1思考中的兩個問題；①例1中其他條件不變，將“DE、BF分別平分∠ADB、∠CBD交AC于E、F兩點”改為“DE⊥AC于E，BF⊥AC于F”，連接BE、DF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．請同學們自己畫圖并給出證明．②例1中其他條件不變，將“DE、BF分別平分∠ADB、∠CBD交AC于E、F兩點”改為“若E、F分別是OA、OC的中點”，連接BE、DF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．請同學們自己畫圖并給出證明．作業（1）請解決例1思考中的兩個問題；②例1中其他條件不變，作業（2）請解決例3（1）（2）中的另一種情況，即：（1）選擇B，（2）寫出文字命題并進行證明.

作業（2）請解決例3（1）（2）中的另一種情況，

平行四邊形的性質與判定再研究2020年海淀區空中課堂初三年級數學學科第13課平行四邊形的性質與判定再研究2020年海淀區空中課堂23回顧與思考我們知道，在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．這些線段叫做多邊形的邊．多邊形按邊數分成三角形、四邊形、五邊形……．回顧與思考我們知道，在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封多邊形從特殊入手三角形等腰三角形邊角直角三角形等腰直角三角形四邊形特殊平行四邊形特殊矩形菱形正方形角邊特殊轉化類比回顧與思考多邊形從特殊入手三角形等腰三角形邊角直角三角形等腰直角三角形回顧與思考平行四邊形的定義定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．平行四邊形ABCD記作：□ABCD．DCBA

回顧與思考平行四邊形的定義定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做回顧與思考在知道了平行四邊形的定義后，我們從哪些方面學習了它的性質呢？思考：平行四邊形的對邊平行且相等平行四邊形的對角相等平行四邊形的對角線互相平分平行四邊形是中心對稱圖形，對角線交點是它的對稱中心溫馨提示：平行四邊形不一定是軸對稱圖形邊角對角線對稱性回顧與思考在知道了平行四邊形的定義后，我們從哪些方面學習了它回顧與思考我們可以有哪些方法判斷一個四邊形是平行四邊形呢？判定1：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形判定2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定3：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形判定4：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定5：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形回顧與思考我們可以有哪些方法判斷一個四邊形是平行四邊形呢？判回顧與思考

性質定理是已知圖形形狀，進而得出圖形元素的數量或位置關系；判定定理是已知圖形元素的某些數量或位置關系，依此判斷圖形形狀．因此，無論是性質還是判定，都是圍繞圖形的基本元素展開的，如平行四邊形的性質和判定都是圍繞著邊、角、對角線三個方面來研究的．回顧與思考性質定理是已知圖形形狀，進而得出圖形元素的典例分析例1如圖，在□ABCD中，DE、BF分別平分∠ADB、∠CBD，交對角線AC于E、F兩點．連接BE，DF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形．分析：欲證四邊形BFDE是平行四邊形，需要根據題目中已知條件的特點選擇合適的方法．在此題中，給出了平行四邊形ABCD，所以可以得到平行四邊形ABCD對邊相等、對角相等、對角線互相平分的性質，我們可以利用這些線段等、角等的條件，選擇合適的判定方法進行證明．典例分析例1如圖，在□ABCD中，DE、BF分別平分∠AD典例分析例1如圖，在□ABCD中，DE、BF分別平分∠ADB、∠CBD交對角線AC于E、F兩點．連接BE，DF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形．證明：【方法1】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OD＝OB，OA＝OC．AD∥BC，AD＝BC．

∴∠DAE＝∠BCF，∠ADB＝∠CBD．∵DE、BF分別平分∠ADB、∠CBD，∴∠ADE＝∠CBF．∴△ADE≌△CBF(ASA)．∴AE＝CF．∴OE＝OF．又∵OD＝OB，∴四邊形BFDE是平行四邊形．典例分析例1如圖，在□ABCD中，DE、BF分別平分∠AD典例分析例1如圖，在□ABCD中，DE、BF分別平分∠ADB、∠CBD交對角線AC于E、F兩點．連接BE，DF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形．證明：【方法2】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠DAE＝∠BCF，∠ADB＝∠CBD．∵DE、BF分別平分∠ADB、∠CBD，∴∠ADE＝∠CBF．∴△ADE≌△CBF．∴

DE=BF

∠DEA＝∠BFC．∴∠OED＝∠BFO．∴DE∥BF．∴四邊形BFDE是平行四邊形．典例分析例1如圖，在□ABCD中，DE、BF分別平分∠AD典例分析請思考并解決以下問題：⑴例1中其他條件不變，將“DE、BF分別平分∠ADB、∠CBD,交AC于E、F兩點”改為“DE⊥AC于E，BF⊥AC于F”，連接BE、DF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．請同學們自己畫圖并給出證明．⑵例1中其他條件不變，將“DE、BF分別平分∠ADB、∠CBD,交AC于E、F兩點”改為“若E、F分別是OA、OC的中點”，連接BE、DF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．請同學們自己畫圖并給出證明．典例分析請思考并解決以下問題：⑴例1中其他條件不變，將“DE典例分析

分析：第（1）問可以利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形來進行證明；第（2）問可以利用相似三角形對應邊成比例以及勾股定理來求線段的長.典例分析

分析：第（1）問可以利用一組對邊平行且相等的四邊形典例分析例2如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，延長BA至點E，使AE=AB，連接DE，AC.（1）求證：四邊形ACDE為平行四邊形;(1)證明：∵平行四邊形ABCD，∴AB=CD，AB∥CD.∵AB=AE，∴AE=DC，AE∥DC.∴四邊形ACDE為平行四邊形.典例分析例2如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，延長BA至典例分析

(2)解：∵AB=AC，∴AE=AC.∴平行四邊形ACDE為菱形.∴CE⊥AD

典例分析

(2)解：

典例分析例3學習了《平行四邊形》一章以后，小東根據學習平行四邊形的經驗，對平行四邊形的判定問題進行了再次探究．以下是小東的探究過程，請補充完整：（1）在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O．若AB∥CD，補充下列條件中能判斷四邊形

ABCD是平行四邊形的是；（寫出一個你認為正確選項的序號即可）；（A）BC＝AD（B）∠BAD=∠BCD（C）

AO＝CO，（2）將（1）中的命題用文字語言表述為：①命題1：

；②畫出圖形，并寫出命題1的證明過程；（3）小東進一步探究發現：若一個四邊形ABCD的三個頂點A，B，C的位置如圖所示，且這個四邊形滿足CD=AB，∠B=∠D，但四邊形ABCD不是平行四邊形，畫出符合題意的四邊形

ABCD，進而小東發現：命題2“一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形”是一個假命題．典例分析例3學習了《平行四邊形》一章以后，小東根據學習平行典例分析例3學習了《平行四邊形》一章以后，小東根據學習平行四邊形的經驗，對平行四邊形的判定問題進行了再次探究．以下是小東的探究過程，請補充完整：（1）在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O．若AB∥CD，補充下列條件中能判斷四邊形

ABCD是平行四邊形的是；（寫出一個你認為正確選項的序號即可）；（A）BC＝AD（B）∠BAD=∠BCD（C）

AO＝CO對于A選項，我們畫出滿足條件的圖形，發現四邊形ABCD不是平行四邊形，而是等腰梯形.(B)、(C)選項都是對的.典例分析例3學習了《平行四邊形》一章以后，小東根據學習平行四典例分析例3學習了《平行四邊形》一章以后，小東根據學習平行四邊形的經驗，對平行四邊形的判定問題進行了再次探究．以下是小東的探究過程，請補充完整：（2）將（1）中的命題用文字語言表述為：①命題1：

；②畫出圖形，并寫出命題1的證明過程；①我們選擇C來進行證明，文字語言表述為：一組對邊平行，一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形典例分析例3學習了《平行四邊形》一章以后，小東根據學習平行四典例分析一組對邊平行，一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，對角線AC，BD相交于點O，AO=CO．求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∠ABD=∠BDC．∵AO＝CO．∴△