空間向量法解決立體幾何問題一、引入兩個重要空間向量1、直線的方向向量；2、平面的法向量。二、立體幾何問題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關系；(1)直線與直線的位置關系;(2)直線與平面的位置關系;(3)平面與平面的位置關系;2、求解空間中的角度；3、求解空間中的距離。一.引入兩個重要的空間向量1.直線的方向向量：把直線上任意兩點的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖1,在空間直角坐標系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是zAzAB2.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面α,稱這個向量垂直于平面α,記作n⊥α,這時向量n叫做平面α的法向量yyxx在空間直角坐標系中,如何求平面法向量的坐標呢?如圖2,設a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α內的兩個不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,則n⊥α.換句話說,若n·a=0且n·b=0,則n⊥α求平面的法向量的坐標的步驟:第一步(設):設出平面法向量的坐標為n=(x,y,z).第二步(列):根據n·a=0且n·b=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數,用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個正數(當然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標.例1在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量練習：在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1,D1中，E,F分別為棱AB,BC的中點，試在棱BB上找一點M,使得D1M平面EFB1二.立體幾何問題的類型及解法1.判定直線、平面間的位置關系(1)直線與直線的位置關系不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a,b.①若a∥b,即a=λb,則a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,則a⊥bababab(2)直線與平面的位置關系直線L的方向向量為a,平面α的法向量為n,且L不在α.內①若a∥n,即a=λn,則L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,則a∥α.nanaLnLa例3棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,，D,E分別是AC,CC1的中點,求證:(I)A1E⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1練習：1：兩個邊長為1的正方形ABCD與正方形ABEF相交與AB,.M,N分別為BD,AE上的點，且AN=DM,（1）求證：MN//平面EBC;(2)求MN長度的最小值2：在正方體ABCD-A1B1C1,D1中，O為AC和BD的交點，G為CC1的中點，求證：A1O平面GBD3.在正方體中，分別是的中點，求證平面．(3)平面與平面的位置關系平面α的法向量為n1,平面β的法向量為n2①若n1∥n2,即n1=λn2,則α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,則α⊥β例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點,求證:面AED⊥面A1FD練習：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，求證：平面A1BC1//平面ABD12.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角:利用向量法求兩異面直線所成的夾角,不用再把這兩條異面直線平移,求出兩條異面直線的方向向量,則兩方向向量的夾角與兩直線的夾角相等或互補,我們僅取銳角或直角就行了例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點,則對角線DB1與CM所成角的余弦值為_____.練習：1：在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB=AC，ABAC,M為CC1的中點，Q為BC的中點，點P在A1B1上，求直線PQ與直線AM所成的角2：棱長均相等的四面體A—BCD中，E,F分別是棱AD,BC的中點，連結AF,CE所成的角(2)直線與與平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直線L的方向向量,則L與α所成的角θ=<a,n>或θ=<a,n>例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為，求AC1與側面ABB1A1所成的角練習：1：正方體ABCD—A1B1C1D1中，E,F分別是AB,C1D1的中點，求A1B1與平面A1EF所成的角2：在三棱錐P—OCB中，PO平面OCB,OBOC，OB=OC=,PC=4，D為PC的中點，求OD與平面PBC所成的角3.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離(2)點到平面的距離AnA為平面α外一點(如圖),n為平面α的法向量,過A作平面α的斜線AB及垂線AH.AnBHBH==例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,∠ACB=90°,求B1到面A1BC的距離.練習：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，求證：（1）平面A1BC1和平面ABD1的距離（2）求B1到平面A1BC1的距離例10四棱錐P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,側棱PA⊥底面AC且PA=4,E是PA的中點,求PC與平面BED間的距離.基礎訓練：1.（2009廣東）給定下列四個命題：①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；②若一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中，為真命題的是A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④2、（2009浙江）設是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則3(09山東)已知αβ表示兩個不同的平面，m為平面α內的一條直線，則“”是“”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4設、是不同的直線，、、是不同的平面，有以下四個命題：①若，則 ②若，則③若，則 ④若，則其中真命題的序號是（）A．①④ B．②③ C．②④ D．①③5（2011四川）.l1,l2,l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（A）l1⊥l2,l2⊥l3l1∥l3(B)l1⊥l2,l2∥l3l1⊥l3（C）l1∥l2∥l3l1,l2,l3共面(D)l1,l2,l3共點l1,l2,l3共面6（2011重慶）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點7.（2011北京）如圖，正方體的棱長為2，動點E、F在棱上。點Q是CD的中點，動點P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，則三棱錐P-EFQ的體積：（A）與x，y都有關；（B）與x，y都無關；（C）與x有關，與y無關；（D）與y有關，與x無關；8（2011北京）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，AB=,CE=EF=1（Ⅰ）求證：AF//平面BDE；（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE;9（2011山東文）如圖，在四棱臺ABCD-A1B2C3D4中，D1D⊥平面ABCD是平行四邊形，AB=2AD,AD=A1B1,∠

BAD=,（Ⅰ）證明：AA1⊥

BD;（Ⅱ）證明：CC1∥平面A1BD10（2011全國文）如圖，四棱錐中，//,，側面為等邊三角形，.（1）證明：平面SAB(2)求AB與平面SBC所成的角ssABCD11.（2011河南文）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，,AB=2AD,PD平面ABCD(1)求證：；（2）設PD=AD=1，求棱錐D—PBC的高PPABCD12（2011重慶）如題（20）圖，四棱錐P--ABCD中，底面ABCD為矩形，PA底面ABCD,點E是棱PB的中點，（Ⅰ）證明：AE平面PBC（Ⅱ）若AD=1,求三棱錐的體積13如圖，在四棱錐中，底面，，，是的中點．（Ⅰ）證明；（Ⅱ）證明平面；1