1、 復變函數論多媒體教學課件Department of Mathematics 第七章 共形映射第7.2節 分式線性函數 及其映射性質分式線性函數的定義分式線性函數是指下列形狀的函數：其中 是復常數，而且 。在 時，我們也稱它為整線性函數。分式線性函數的反函數為它也是分式線性函數，其中 注解：注解1、當 時，所定義的分式線性函數是把z平面雙射到w平面，即把C雙射到C的單葉解析函數；注解2、當 時，所定義的分式線性函數是把 雙射到 的單葉解析函數；注解3、我們可以把分式線性函數的定義域推廣到擴充復平面 。當 時，規定它把映射成 ；當 時，規定它把映射成 ；則把 雙射到 。分式線性函數的拓廣 現在把

2、保形映射的概念擴充到無窮遠點及其鄰域，如果把 及其一個鄰域保形映射成t=0及其一個鄰域，那么我們說w=f(z)把 及其一個鄰域保形映射成 及其一個鄰域。 如果把 及其一個鄰域保形映射成t=0及其一個鄰域，那么我們說w=f(z)把 及其一個鄰域分式線性函數的拓廣保形映射成 及其一個鄰域。注解4、分式線性函數把擴充z平面保形映射成擴充w平面。注解5、區域、連通性等概念可以推廣到擴充復平面。 （ 為一個復數）；分式線性函數的分解 一般分式線性函數是由下列四種簡單函數疊合而得的：（1）、（2）、 （ 為一個實數）；（3）、 （r為一個正數）；（4）、 。分式線性函數的分解事實上，我們有：把z及w看作同

3、一個復平面上的點，則有：（1）、 確定一個平移；分式線性函數的分解（2）、確定一個旋轉；（3）、確定一個以原點為相似中心的相似映射；（4）、是由 映射及關于實軸的對稱映射 疊合而得。定理4.1保圓性：規定：在擴充復平面上，任一直線看成半徑是無窮大的圓。定理4.1 在擴充復平面上，分式線性函數把圓映射成圓。證明：由于分式線性函數所確定的映射是平移、旋轉、相似映射及 型的函數所確定的映射復合而得，但前三個映射顯然把圓映射成圓，所以只用證明映射也把圓映射為圓即可。保圓性：在圓的方程（如果a=0，這表示一條直線）中，代入則得圓的復數表示：其中a,b,c,d是實常數， 是復常數。保圓性：函數 把圓映射成

4、為即w平面的圓（如果d=0，它表示一條直線，即擴充w平面上半徑為無窮大的圓）。注解：注解1、設分式線性函數把擴充z平面上的圓C映射成擴充w平面上的圓C。于是，C及C把這兩個擴充復平面分別分成兩個沒有公共點的區域， 及 ，其邊界分別是C及C。注解2、此分式線性函數把 映射成之中的一個區域；注解3、映射后的區域的象究竟是 還是 ，我們必須通過檢驗其中某一個點的象來決定。定理 4.2定理4.2 對于擴充 z平面上任意三個不同的點以及擴充 w平面上任意三個不同的點，存在唯一的分式線性函數，把依次分別映射成證明：先考慮已給各點都是有限點的情形。設所求分式線性函數是定理 4.2的證明：那么，由得同理，有：

5、定理 4.2的證明：因此，有由此，我們可以解出分式線性函數。由此也顯然得這樣的分式線性函數也是唯一的。其次，如果已給各點除 外都是有限點。則所求分式線性函數有下列的形式：定理 4.2的證明：那么，由同理有由此，我們可以解出分式線性函數。由此也顯然得這樣的分式線性函數也是唯一的。注解與推論：注解： 和 分別稱為 及 的交比，分別記為系4.1 在分式線性函數所確定的映射下，交比不變。即設一個分式線性函數把擴充 z平面上任意不同四點 映射成擴充 w平面上四點 ，那么定理4.3定理4.3 擴充 z平面上任何圓，可以用一個分式線性函數映射成擴充 w平面上任何圓。證明：設C是z平面上的一個圓，C是w平面上

6、的一個圓，在C和C上分別取三個不同的點由定理4.2，存在一個分式線性函數，把映射成 ，從而把圓C映射成圓C。關于圓的對稱點：注解1、圓C上的點是它本身關于圓C的對稱點；注解2、規定 及 是關于圓C的對稱點；注解3、利用此定理也可以解釋關于直線的對稱點。 設已給圓如果兩個有限點 及 在過 的同一射線上，并且那么我們說它們是關于圓C的對稱點。而 及 都是有限的情形。引理4.1:引理4.1 不同兩點 及 是關于圓C的對稱點的必要與充分條件是：通過 及 的任何圓與圓C直交。證明：如果C是直線（半徑為無窮大的圓）；或者C是半徑為有限的圓， 及 之中有一個是無窮遠點，則結論顯然。現在考慮圓C為（必要性）設

7、 及 關于圓C的對稱，那么通過 及 的直線（半徑為無窮大的圓）顯然和圓C直交。引理4.1的證明:作過 及 的任何圓（半徑為有限）C。過作圓C的切線，設其切點是z。于是從而這說明 ，從而上述C的切線恰好是圓C的半徑，因此C與C直交。（充分性）過 及 作一個圓（半徑為有限）C，與C交于一點z。由于圓C與C直交，C在z的切線通過圓C的心 。顯然， 及 在這切線的同一側。又過 及 作一直線L，由于L與C直交，它通過圓心 。引理4.1的證明:于是 及 在通過 的一條射線上。我們有因此， 及 是關于圓C的對稱點。定理4.4(保圓的對城性）：定理4.4 如果分式線性函數把 z平面上圓C映射成 w平面上的圓C

8、，那么它把關于圓C的對稱點 及 映射成關于圓C的對稱點 及 。證明：過 及 的任何圓是由過 及 的圓映射得來的。由引理4.1，過 及 的任何圓與圓C直交，從而由分式線性函數的保形性，過 及 的任何圓與圓C直交。再利用引理4.1， 及 是關于圓C的對稱點。例子：例：考慮擴充w平面上的一個圓|w|=R。分式線性函數把 及 映射成關于圓w|=R的對稱點0及 ，把擴充z平面上的曲線映射成為圓w|=R。由定理4.1、4.4知，上式表示的一個圓， 及 是關于它對稱點。兩個特殊的分式線性函數：(1)、試求把上半平面Imz0保形映射成單位圓盤|w|0內某一點 映射成w=0，一方面把Imz=0映射成|w|=1。

9、由于線性函數把關于實軸Imz=0的對稱點映射成為關于圓|w|=1的對稱點，所求函數不僅把 映射成w=0，而且把 映射成 。因此這種函數的形狀是：其中 是一個復常數。把上半平面映射成單位圓內部的映射：其次，如果z是實數，那么于是 ，其中 是一個實常數。因此所求的函數應是由于z是實數時，|w|=1，因此它把直線Imz=0映射成圓|w|=1，從而把上半平面Imz0映射成|w|1，又因為當 時，|w|=01，因此這個函數正是我們所要求的。注解：注解1、圓盤|w|1的直徑是由通過 及 的圓在上半平面的弧映射成的；注解2、以w=0為心的圓由以 及 為對稱點的圓映射成的；注解3、w=0是由 映射成的。注解4

10、、求解的方法具有一般性。注解5、映射的具體性質如圖。單位圓到單位圓內部的映射：(2)、試求把單位圓|z|1保形映射成單位圓盤|w|1的分式線性函數。解：首先，這種函數應當把|z|1內某一點 映射成w=0，并且把|z|=1映射成|w|=1。不難看出，與 關于圓|z|=1的對稱點是 ，和上面一樣，這種函數還應當把 映射成 因此這種函數的形狀是：其中 是一個復常數。兩個特殊的分式線性函數：其次，如果|z|=1時，那么于是因此 ，其中 是一個實常數。所求的函數應是由于當|z|=1時，|w|=1，因此它把圓|z|=1映射成圓|w|=1，從而把|z|1映射成|w|1，又因為當 時，|w|=01，因此這個函數正是我們所要求的。注解：注解1、圓盤|w|1的直徑是由通過 及