1、第三節(jié) 容斥原理知識提要： 1.容斥原理：當兩個（或幾個）計數(shù)部分有重復時，為了不重復計數(shù)，應從它們的和中減去重復部分。這種解題方法概括為一般的原理即為容斥原理。 2.容斥原理一：如下圖所示，如果要計算三部分的總數(shù)，直接計算AB就會算多了，而多算的正好是的部分，只要把多算的減掉就可以了。公式：A、B總數(shù)ABA、B重疊概括為：單加、雙減。 A B 3.容斥原理二：如下圖所示，在計算ABC時，有一些部分被重復計算了：、被計算了兩次，而被計算了三次。因此需要把重復計算的去掉。去掉A、B重疊，B、C重疊和A、C重疊的部分后，、重復計算的一次去掉了，但被去掉了三次，還需要補上一次。 公式：A、B、C的總

2、數(shù)ABCA、B重疊B、C重疊C、A重疊A、B、C重疊概括為：單加、雙減、三再加。 A B C 4.文氏圖是解決容斥問題最重要的方法。例題1例題1（1）實驗小學四年級二班，參加語文興趣小組的有28人，參加數(shù)學興趣小組的有29人，有12人兩個小組都參加這個班有多少人參加了語文或數(shù)學興趣小組？ 練習1：（1）智考學校四年級學生中，有56人參加了英語競賽，有124人參加了數(shù)學競賽，既參加英語競賽又參加數(shù)學競賽的有22人，那么參加英語競賽和數(shù)學競賽的共有多少人？例題2例題2（1）對全班同學調(diào)查發(fā)現(xiàn)，會游泳的有20人，會打籃球的有25人兩項都會的有10人，兩項都不會的有9人這個班一共有多少人？（2）47名

3、學生參加數(shù)學和語文考試，其中語文得分95分以上的14人，數(shù)學得分95分以上的21人，兩門都不在95分以上的有22人問：兩門都在95分以上的有多少人？練習2：（1）有100位旅客，其中有10人既不懂英語又不懂俄語，有75人懂英語，83人懂俄語問既懂英語又懂俄語的有多少人？（2）四(一)班有48名學生，在一節(jié)自習課上，寫完語文作業(yè)的有30人，寫完數(shù)學作業(yè)的有20人，語文數(shù)學都沒寫完的有6人 問語文數(shù)學都寫完的有多少人？例題3例題3一個班48人，完成作業(yè)的情況有三種：一種是完成語文作業(yè)沒完成數(shù)學作業(yè)；一種是完成數(shù)學作業(yè)沒完成語文作業(yè)；一種是語文、數(shù)學作業(yè)都完成了已知做完語文作業(yè)的有37人；做完數(shù)學作

4、業(yè)的有42人這些人中語文、數(shù)學作業(yè)都完成的有多少人？練習3：四年級科技活動組共有63人在一次剪貼汽車模型和裝配飛機模型的定時科技活動比賽中，老師到時清點發(fā)現(xiàn)：剪貼好一輛汽車模型的同學有42人，裝配好一架飛機模型的同學有34人每個同學都至少完成了一項活動問：同時完成這兩項活動的同學有多少人？例題4例題4某班學生手中分別拿紅、黃、藍三種顏色的小旗，已知手中有紅旗的共有34人，手中有黃旗的共有26人，手中有藍旗的共有18人其中手中有紅、黃、藍三種小旗的有6人而手中只有紅、黃兩種小旗的有9人，手中只有黃、藍兩種小旗的有4人，手中只有紅、藍兩種小旗的有3人，那么這個班共有多少人？練習4：衛(wèi)生部對120種

5、食物是否含有維生素A、C、E進行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：含維生素A的有62種，含維生素C的有90種，含維生素E的有68種，同時含維生素A和C的有48種，同時含維生素A和E的有36種，同時含維生素C和E的有50種，同時含這三種維生素的有25種請問這三種維生素都不含的食物有多少種？例題5例題51100的自然數(shù)中，既不能被2整除也不能被3整除的數(shù)共有多少個？練習5：11000的自然數(shù)中，不能被5和7整除的數(shù)共有多少個？例題6例題6全班有25個學生，其中17人會騎自行車，13人會游泳，8人會滑冰，這三個運動項目沒有人全會，至少會這三項運動之一的學生數(shù)學成績都及格了，但又都不是優(yōu)秀若全班有6個人數(shù)學不及格，那么

6、，（1） 數(shù)學成績優(yōu)秀的有幾個學生？（2） 有幾個人既會游泳，又會滑冰？練習6：五年級一班共有36人，每人參加一個興趣小組，共有A、B、C、D、E五個小組，若參加A組的有15人，參加B組的人數(shù)僅次于A組，參加C組、D組的人數(shù)相同，參加E組的人數(shù)最少，只有4人那么，參加B組的有多少人？例題7例題7有2000盞亮著的電燈，各有一個拉線開關(guān)控制著，現(xiàn)按其順序編號為1，2，3，2000，然后將編號為2的倍數(shù)的燈線拉一下，再將編號為3的倍數(shù)的燈線拉一下，最后將編號為5的倍數(shù)的燈線拉一下，三次拉完后，亮著的燈有多少盞？課后鞏固課后鞏固1、芳草地小學四年級有58人學鋼琴，43人學畫畫，37人既學鋼琴又學畫畫

7、，問只學鋼琴和只學畫畫的分別有多少人？ 2、科技活動小組有55人在一次制作飛機模型和制作艦艇模型的定時科技活動比賽中，老師到時清點發(fā)現(xiàn)：制作好一架飛機模型的同學有40人，制作好一艘艦艇的同學有32人每個同學都至少完成了一項制作問兩項制作都完成的同學有多少人？3、光明小學組織棋類比賽，分成圍棋、中國象棋和國際象棋三個組進行，參加圍棋比賽的有42人，參加中國象棋比賽的有55人，參加國際象棋比賽的有33人，同時參加了圍棋和中國象棋比賽的有18人，同時參加了圍棋和國際象棋比賽的有10人，同時參加了中國象棋和國際象棋比賽的有9人，其中三種棋賽都參加的有5人，問參加棋類比賽的共有多少人？4、某校參加數(shù)學競賽圾120名男生,80名女生,參加語文競賽的有120名女生,80名男生,已知該校總共有260名學生參加競賽,其中75名男生兩科競賽都參加了,那么參加數(shù)學競賽而沒