1、北師大版數學中考總復習重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習中考總復習：圖形的相似-知識講解（提高）【考綱要求】1.了解線段的比、成比例線段、黃金分割、相似圖形有關概念及性質2.探索并掌握三角形相似的性質及條件，并能利用相似三角形的性質解決簡單的實際問題3.掌握圖形位似的概念，能用位似的性質將一個圖形放大或縮小4.掌握用坐標表示圖形的位置與變換，在給定的坐標系中，會根據坐標描出點的位置或由點的位置寫出它的坐標，靈活運用不同方式確定物體的位置【知識網絡】【考點梳理】考點一、比例線段1. 比例線段的相關概念如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是，或寫成a

2、：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項，b叫做比的后項.在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項，線段a，d叫做比例外項，線段b，c叫做比例內項.如果作為比例內項的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項.2、比例的性質（1）基本性質：a：b=c：dad=bc a：b=b：c.（2）更比性質（交換比例的內項或外項） （交換內項） （交換外項） （同時交換內項和外項）（3）反比性質（交換比的前項、后項）：（4）合比性

3、質：（5）等比性質：3、黃金分割把線段AB分成兩條線段AC，BC（ACBC），并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=AB0.618AB.考點二、相似圖形1.相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.也就是說：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到的.(全等是特殊的相似圖形).2.相似多邊形：對應角相等，對應邊的比相等的兩個多邊形叫做相似多邊形.3.相似多邊形的性質：相似多邊形的對應角相等，對應邊成的比相等.相似多邊形的周長的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定義：形狀相同的三角

4、形是相似三角形.5.相似三角形的性質：(1)相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.(2)相似三角形對應邊上的高的比相等，對應邊上的中線的比相等，對應角的角平分線的比相等，都等于相似比.(3)相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.【要點詮釋】結合兩個圖形相似，得出對應角相等，對應邊的比相等，這樣可以由題中已知條件求得其它角的度數和線段的長.對于復雜的圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“抽”出來的辦法處理.6.相似三角形的判定：(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；(2)如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；(3)

5、如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似；(4)如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.(5)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊的比對應相 等，那么這兩個三角形相似.考點三、位似圖形1.位似圖形的定義：兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，不經過交點的對應邊互相平行，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫位似中心.2.位似圖形的分類：(1)外位似：位似中心在連接兩個對應點的線段之外.(2)內位似：位似中心在連接兩個對應點的線段上.3.位似圖形的性質位似圖形的對應點和位似中心在同

6、一條直線上；位似圖形的對應點到位似中心的距離之比等于相似比；位似圖形中不經過位似中心的對應線段平行.【要點詮釋】位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構成位似圖形.4.作位似圖形的步驟第一步：在原圖上找若干個關鍵點，并任取一點作為位似中心；第二步：作位似中心與各關鍵點連線；第三步：在連線上取關鍵點的對應點，使之滿足放縮比例；第四步：順次連接截取點.【要點詮釋】在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐 標的比等于k或-k.【典型例題】類型一、比例線段1. 已知三個數1,2,請你再添上一個(只填一個)數, 使它們能構成一個比例式,則這個數是_.

7、分析：這是一道開放型試題,由于題中沒有告知構成比例的各數順序, 故應考慮各種可能位置.【思路點撥】這是一道開放型試題,由于題中沒有告知構成比例的各數順序, 故應考慮各種可能位置.【答案與解析】根據比例式的概念，可得：12=；21=212=【總結升華】要構成一個比例式，根據比例式的概念：如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段舉一反三： 【變式】將一個菱形放在2倍的放大鏡下，則下列說法不正確的是( )A菱形的各角擴大為原來的2倍 B菱形的邊長擴大為原來的2倍C菱形的對角線擴大為原來的2倍 D菱形的面積擴大為原來的4倍【答案】A.類型二、相似圖形2. （2015資陽）如

8、圖，在ABC中，ACB=90，AC=BC=1，E、F為線段AB上兩動點，且ECF=45，過點E、F分別作BC、AC的垂線相交于點M，垂足分別為H、G現有以下結論：AB=；當點E與點B重合時，MH=；AF+BE=EF；MGMH=，其中正確結論為（）ABCD【思路點撥】利用相似三角形的特征和等高三角形的面積比等于底邊之比（共底三角形的面積之比等于高之比）.【答案】C.【解析】解：由題意知，ABC是等腰直角三角形，AB=，故正確；如圖1，當點E與點B重合時，點H與點B重合，MBBC，MBC=90，MGAC，MGC=90=C=MBC，MGBC，四邊形MGCB是矩形，MH=MB=CG，FCE=45=AB

9、C，A=ACF=45，CE=AF=BF，FG是ACB的中位線，GC=AC=MH，故正確；如圖2所示，AC=BC，ACB=90，A=5=45將ACF順時針旋轉90至BCD，則CF=CD，1=4，A=6=45；BD=AF；2=45，1+3=3+4=45，DCE=2在ECF和ECD中，ECFECD（SAS），EF=DE5=45，BDE=90，DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故錯誤；7=1+A=1+45=1+2=ACE，A=5=45，ACEBFC，=，AEBF=ACBC=1，由題意知四邊形CHMG是矩形，MGBC，MH=CG，MGBC，MHAC，=；=，即=；=，MG=AE；MH=B

10、F，MGMH=AEBF=AEBF=ACBC=，故正確故選：C【總結升華】考查了相似形綜合題，涉及的知識點有：等腰直角三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，三角形中位線的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質等，綜合性較強，有一定的難度3（2015杭州模擬）如圖，正方形ABCD中，F為AB上一點，E是BC延長線上一點，且AF=EC，連結EF，DE，DF，M是FE中點，連結MC，設FE與DC相交于點N則4個結論：DN=DG；BFGEDGBDE；CM垂直BD；若MC=，則BF=2；正確的結論有（）ABCD【思路點撥】根據正方形的性質可得AD=CD，然后利用“邊角邊”證明ADF和CDE全等，根據全等三

11、角形對應角相等可得ADF=CDE，然后求出EDF=ADC=90，而DGN=45+FDG，DNG=45+CDE，FDGCDE，于是DGNDNG，判斷出錯誤；根據全等三角形對應邊相等可得DE=DF，然后判斷出DEF是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得DEF=45，再根據兩組角對應相等的三角形相似得到BFGEDGBDE，判斷出正確；連接BM、DM，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=DM=EF，然后判斷出直線CM垂直平分BD，判斷出正確；過點M作MHBC于H，得到MCH=45，然后求出MH，再根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得BF=2MH，判斷出正確【答案

12、】C.【答案與解析】解：正方形ABCD中，AD=CD，在ADF和CDE中，ADFCDE（SAS），ADF=CDE，DE=DF，EDF=FDC+CDE=FDC+ADF=ADC=90，DEF=45，DGN=45+FDG，DNG=45+CDE，FDGCDE，DGNDNG，DNDH，判斷出錯誤；DEF是等腰直角三角形，ABD=DEF=45，BGF=EGD（對頂角相等），BFGEDG，DBE=DEF=45，BDE=EDG，EDGBDE，BFGEDGBDE，故正確；連接BM、DMAFDCED，FDA=EDC，DF=DE，FDE=ADC=90，M是EF的中點，MD=EF，BM=EF，MD=MB，在DCM與B

13、CM中，DCMBCM（SSS），BCM=DCM，CM在正方形ABCD的角平分線AC上，MC垂直平分BD；故正確；過點M作MHBC于H，則MCH=45，MC=，MH=1，M是EF的中點，BFBC，MHBC，MH是BEF的中位線，BF=2MH=2，故正確；綜上所述，正確的結論有故選C【總結升華】本題考查了正方形的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記各性質與定理并作輔助線是解題的關鍵舉一反三：【變式】（2011湖南懷化）如圖8，ABC,是一張銳角三角

14、形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,從這張硬紙片上剪下一個長HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點G、H分別在AC，AB上，AD與HG的交點為M.求證：求這個矩形EFGH的周長.【答案】（1）證明：四邊形EFGH為矩形，EFGH，AHG=ABC，又HAG=BAC，AHGABC，；（2）解：由（1）得：設HE=xcm，MD=HE=x，AD=30，AM=30-x，HG=2HE，HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30-x（cm），可得，解得，x=12，2x=24所以矩形EFGH的周長為：2（12+24）=72（cm）答：矩形EFGH的周長為

15、72cm4. 如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為，直線BC經過點，將四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉度得到四邊形，此時直線、直線分別與直線BC相交于點P、Q（1）四邊形OABC的形狀是 ，當時，的值是 ；（2）如圖1，當四邊形的頂點落在軸正半軸時，求的值；如圖2，當四邊形的頂點落在直線上時，求的面積（3）在四邊形OABC旋轉過程中，當時，是否存在這樣的點P和點Q，使？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由 【思路點撥】（1）根據有一個角是直角的平行四邊形即可得出四邊形OABC是矩形，當=90時，可知，根據比例的性質得出；（2）由COPAOB，根據相似三角形對應

16、邊成比例得出CP=，同理由BCQBCO，得出CQ=3，則BQ可求；先利用AAS證明OCPBAP，得出OP=BP，即可求出；（3）當點P位于點B的右側時，過點Q畫QHOA于H，連接OQ，則QH=OC=OC，根據SPOQ=SPOQ，即可證明出PQ=OP；設BP=x，在RtPCO中，運用勾股定理，得出x=，進而求得點P的坐標【答案與解析】（1）O為坐標原點，點A的坐標為（-8，0），直線BC經過點B（-8，6），C（0，6），OA=BC=8，OC=AB=6， 四邊形OABC的形狀是矩形；當=90時，P與C重合，如圖，根據題意，得，則； （2）如圖1，POC=BOA，PCO=OAB=90，COPAOB

17、，即，CP=,BP=BCCP=.同理BCQBCO，即，CQ=3，BQ=BC+CQ=11，; 圖2，在OCP和BAP中，OCPBAP（AAS）OP=BP設BP=x，在RtOCP中，（8-x）2+62=x2，解得x=SOPB=；（3）過點Q作QHOA于H，連接OQ，則QH=OC=OC，SPOQ=PQOC，SPOQ=OPQH，PQ=OP設BP=x，BP=BQ，BQ=2x，如圖4，當點P在點B左側時，OP=PQ=BQ+BP=3x，在RtPCO中，（8+x）2+62=（3x）2，解得x1=1+，x2=1-（不符實際，舍去）PC=BC+BP=9+，P1（-9-，6） 如圖5，當點P在點B右側時，OP=PQ

18、=BQ-BP=x，PC=8-x在RtPCO中，（8-x）2+62=x2，解得x=PC=BC-BP=8-=，P2（-，6），綜上可知，存在點P1（-9-，6），P2（-，6），使BP=BQ【總結升華】本題考查了旋轉的性質，矩形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理特別注意在旋轉的過程中的對應線段相等，能夠用一個未知數表示同一個直角三角形的未知邊，根據勾股定理列方程求解5如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動點， EFDE交BC于點F求證：ADEBEF；設正方形的邊長為4， AE=，BF=當取什么值時，有最大值?并求出這個最大值 【思路點撥】本題涉及到的考點有相似三角形的判定與性質，二次函數的性質，二次函數的最值以及正方形的性質【答案與解析】（1）證明：ABCD是正方形，DAE=EBF=90，ADE+AED=90，又EFDE，AED+BEF=90，ADE=BEF，ADEBEF由（1）ADEBEF，AD=4，BE=4-x得：，即：， 得：y=（0 x4）（3）解：當x=2時，y有最大值，y的最大值為1該函數圖象在對稱軸x=