1、學(xué)習(xí)路徑的實踐與完善以分數(shù)除法為例杭州師范大學(xué) 理學(xué)院 鞏子坤 2學(xué)習(xí)路徑學(xué)習(xí)路徑就是對學(xué)生學(xué)習(xí)某一具體數(shù)學(xué)知識時思維與學(xué)習(xí)過程的描述，由三個部分組成：學(xué)習(xí)目標，學(xué)習(xí)任務(wù)（Task），學(xué)生的思維過程。通俗地說，學(xué)習(xí)路徑就是為達成教學(xué)目標而設(shè)計的、符合學(xué)生認知規(guī)律的、具有一定邏輯關(guān)系的任務(wù)序列。教材中設(shè)計的活動或者例子序列，就是一個學(xué)習(xí)路徑3理解的類型（表征方式）目 錄一、引言：分數(shù)與分數(shù)除法二、分數(shù)除法，容易學(xué)習(xí)嗎三、教材是怎樣編排的四、怎樣教學(xué)五、如何完善六、學(xué)習(xí)路徑是什么 4一、引言：分數(shù)與分數(shù)除法5查理布朗與分數(shù)一、引言：分數(shù)與分數(shù)除法6一、引言：分數(shù)與分數(shù)除法7（1）計算美國教師中國教

2、師：72人，全部正確。回答%N算法正確，答案完整439算法正確，答案不完整92算法不完整，答案不完整194記住了部分算法，無答案245錯誤的算法，無答案51一、引言：分數(shù)與分數(shù)除法8（2）文字題美國教師：幾乎沒有正確的。案例：一整個餡餅，然后又有四分之三個；你有兩個人，你準備怎樣把它們平均分給兩個人，使得每個人得到相同的份額（混淆除以2與除以二分之一）。中國教師：90%的給出了正確的表示。二、分數(shù)除法，容易學(xué)習(xí)嗎91.容易學(xué)習(xí)分數(shù)除法，要解決兩個問題：一是何時使用除法；二是怎樣進行除法運算。這兩個問題，容易嗎？僅僅是一個算法。五分鐘可以搞定（負負得正；教學(xué)）。2.不容易要說明“除以一個數(shù)，為什

3、么等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，還是比較困難的。三、教材的編排101112四、分數(shù)除法：你是怎樣教學(xué)的131.是按照教材的順序教學(xué)的嗎？2.你覺得學(xué)生理解有困難嗎？比如，我提出一個問題。在一個數(shù)除以分數(shù)中，每次得到的結(jié)果均是整數(shù)，有沒有學(xué)生提出這樣的疑問：原來，一個數(shù)除以分數(shù)，結(jié)果是整數(shù)。五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)14（一）L老師最初設(shè)計的學(xué)習(xí)路徑 A 、 五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)15五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)16理解類型程序性理解直觀理解抽象理解形式理解平均得分0.9750.2020.0480表 L老師第一次教學(xué)后不同理解類型的平均分五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)17這樣的畫圖沒有出現(xiàn)

4、（橫著分）：教師是如何引導(dǎo)的？為什么？五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)18很難這樣作圖，為什么？必要性在哪里？有什么樣的后果？五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)19為什么不能夠畫圖？原因何在？缺少鋪墊。五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)20（2）抽象表征抽象表征：用語言或算式來說明運算結(jié)果的合理性。五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)21語言解釋難在何處：五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)22五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)23（3）量、率混用任務(wù)1為“量”；任務(wù)2、任務(wù)3為“率”。前后不連貫。能說：“每位小朋友得到這通水的多少升嗎？”五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)24（4）復(fù)雜的學(xué)習(xí)單五、如何完善之一：分數(shù)除以整

5、數(shù)25提供給學(xué)生的畫圖過于細化，重復(fù)性畫圖較多，導(dǎo)致學(xué)生畫圖花費時間較長。部分學(xué)生不知道最終的畫圖結(jié)果應(yīng)該是什么了。五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)26五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)27（3）簡化學(xué)習(xí)單提供多種方法，提供更多的空間來理解、表征算理。五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)28（二）修改的學(xué)習(xí)路徑B五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)291. 效果（第二次）直觀理解、抽象理解水平顯著提升；多種方式表征算理，取得了良好的效果。五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)30五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)31五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)32五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)33五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)34五、如

6、何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)35（三） 完善的學(xué)習(xí)路徑 C五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)36（四）三次后測效果比較算理的理解水平顯著提升。直觀理解水平為何先升后降？反思后測題目，反思教學(xué)。五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)37（五）最具代表性的任務(wù)是哪一個我們設(shè)計了三個層次遞進的任務(wù)序列。任務(wù)1，簡直就是整數(shù)除法。任務(wù)2，真正觸及了分數(shù)除以整數(shù)的本質(zhì)，是最最簡單的任務(wù)，但是，卻承擔(dān)起“算理之重”。任務(wù)3，不是任務(wù)2的簡單重復(fù)，而是對算理的再次叩問與回溯，猶如誦讀了一段優(yōu)美的文字后，感覺到意猶未盡，再回過頭來默讀、回味一遍一樣；猶如梁祝中的主旋律，需要不斷地重復(fù)、回旋，方能夠營造出繞梁三日、不絕如縷的氛

7、圍，浸潤出心有戚戚、揮之不去的意蘊。五、如何完善之一：分數(shù)除以整數(shù)38五、如何完善之二：一個數(shù)除以分數(shù)39（一）W老師最初設(shè)計的學(xué)習(xí)路徑M五、如何完善之二：一個數(shù)除以分數(shù)40五、如何完善之二：一個數(shù)除以分數(shù)41讓我們來想一想：一會是“包含除”，一會是“平均分”，一會是“幾份”，一會是“幾倍”，是否覺得很繞口、難理解。五、如何完善之二：一個數(shù)除以分數(shù)42課后測試五、如何完善之二：一個數(shù)除以分數(shù)432. 這是直觀嗎教師的圖學(xué)生的圖五、如何完善之二：一個數(shù)除以分數(shù)44五、如何完善之二：一個數(shù)除以分數(shù)45五、如何完善之二：一個數(shù)除以分數(shù)46五、如何完善之二：一個數(shù)除以分數(shù)47（二）完善的學(xué)習(xí)路徑N五、

8、如何完善之二：一個數(shù)除以分數(shù)48五、如何完善之二：一個數(shù)除以分數(shù)494. 這個學(xué)習(xí)路徑，可以嗎表征方式1、程序表征：六、學(xué)習(xí)路徑是什么501.路徑是什么學(xué)習(xí)路徑：為達成教學(xué)目標而設(shè)計的、符合學(xué)生認知規(guī)律的、具有邏輯關(guān)系的任務(wù)序列。學(xué)習(xí)進階：刻畫了學(xué)生在某一較長時間段里對某一學(xué)習(xí)主題的認識、理解和實踐從簡單到復(fù)雜、從低水平到高水平的發(fā)展過程。短時間的認知發(fā)展，中時間的認知發(fā)展。沿著學(xué)習(xí)路徑，促進學(xué)習(xí)進階。六、學(xué)習(xí)路徑是什么51學(xué)習(xí)路徑起點與目標發(fā)展變量發(fā)展水平學(xué)習(xí)表現(xiàn)測評工具五要素發(fā)展變量：起點至終點的所有核心概念；測量變量以測量發(fā)展。發(fā)展水平：發(fā)展過程中的中間層級。學(xué)習(xí)表現(xiàn)：發(fā)展階段所達到水平的操作性定義。測評工具：測量學(xué)生在發(fā)展變量上所達到的水平。52詳細的分數(shù)除法學(xué)習(xí)路徑六、學(xué)習(xí)路徑是什么532. 學(xué)習(xí)路徑完善是一個復(fù)雜的過程3.如何取得程序理解與概念理解的平衡課標（2011年版）：在基本技能的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序與步驟的道理。馬云鵬教授 ：對于運算能力，正確地進行運算和理解運算的算理是核心。 鞏子坤，杭州師范大學(xué)教授，教育學(xué)博士，心理學(xué)博士后，國培專家，政府津貼獲得者。原杭州師范大學(xué)理學(xué)院副院長，現(xiàn)學(xué)科教育研究中心副主任。 主要研究方向：一是程序性知識的教與學(xué)研究，二是學(xué)生的認知發(fā)展研究，三是學(xué)習(xí)路徑視角下的教師專業(yè)發(fā)展研究。