1、 “極點極線”問題（圖1）1（圖1）如圖1，若點不在圓錐曲線上，過點引的兩條割線，依次交于，直線交于，直線交于，則點與直線是曲線的一對極點和極線也稱點是直線關(guān)于曲線的極點，直線是點關(guān)于曲線的極線易知點與直線、點與直線都是一對極點極線，所以又稱為自極三點形若直線交于、，則、為的切線，且有，稱調(diào)和分割、2圓錐曲線中的代數(shù)表達對于圓錐曲線，稱點與直線是其一對極點和極線 具體的：點關(guān)于橢圓的極線為點關(guān)于雙曲線的極線為點關(guān)于拋物線的極線為顯然，當(dāng)一個點固定時，它關(guān)于圓錐曲線的極線就是定直線，而當(dāng)直線固定時，它關(guān)于圓錐曲線的極點就是定點在圓錐曲線中，焦點和和對應(yīng)的準(zhǔn)線就是一對極點極線若點在圓錐曲線上，則過

2、點的切線為其極線，所以切線與切點弦方程就是極點與極線的特例圓錐曲線的切線與切點弦問題.對于二次曲線：Ax2Cy2DxEyF0（AC0），點P(x0，y0)及直線l：Ax0 xCy0yDeq f(xx0,2)Eeq f(yy0,2)F0. 有以下結(jié)論：若點P在曲線上，則直線l是曲線的切線；若點P在曲線外，則直線l是曲線的切點弦所在直線（過P的兩條切線的切點所在直線）具體的：( = 1 * roman i)圓：x2y2r2(r0) l：x0 xy0yr2；( = 2 * roman ii)橢圓：eq sdo1(f(x2,a2)eq sdo1(f(y2,b2)1(ab0) l：eq sdo1(f(x

3、0 x,a2)eq sdo1(f(y0y,b2)1；( = 3 * roman iii) 雙曲線：eq sdo1(f(x2,a2)eq sdo1(f(y2,b2)1(a0，b0) l：eq sdo1(f(x0 x,a2)eq sdo1(f(y0y,b2)1；( = 4 * roman iv) 拋物線：y22px(p0) l：y0yp(xx0)（2020年高考全國卷文）已知A、B分別為橢圓E：（a1）的左、右頂點，G為E的上頂點，P為直線上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點 【解答】（1）由橢圓方程可得：， ，所以，所以，所以，所以

4、橢圓方程為：（2）證明：法一：設(shè)，則直線的方程為：，即： ，將轉(zhuǎn)化為 將代入得，顯然，所以，再由代入解得，所以點的坐標(biāo)為同理可得點的坐標(biāo)為當(dāng)直線的斜率不存在，即時，此時直線的方程為：當(dāng)直線的斜率存在時，所以直線的方程為：，所以，即即，所以，所以直線過定點法二：設(shè)，則直線的方程為：，即，同理，直線的方程為：，設(shè)的方程為，又的方程為，所以過、與、四個交點、的二次曲線可設(shè)為，整理得，對比橢圓的系數(shù)得所以所以直線的方程為，即所以直線過定點變式1若“過定點”作為條件，能否得到“在定直線上”？ 2本題將直線改成不與橢圓相交的任意一條給定的不經(jīng)過原點的直線，直線是否經(jīng)過定點？（2010年高考江蘇卷）在平面直

5、角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F.設(shè)過點T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M、，其中m0,.（1）設(shè)動點P滿足,求點P的軌跡；（2）設(shè)，求點T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標(biāo)與m無關(guān)）.解析 本小題主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識.考查運算求解能力和探究問題的能力.滿分16分.（1）設(shè)點P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）.由，得 化簡得.故所求點P的軌跡為直線.（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即.聯(lián)立方程組，解得：，所以

6、點T的坐標(biāo)為.（3）點T的坐標(biāo)為直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即.分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，解得：、.（方法一）當(dāng)時，直線MN方程為： 令，解得：.此時必過點D（1，0）；當(dāng)時，直線MN方程為：，與x軸交點為D（1，0）.所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）.（方法二）若，則由及，得，此時直線MN的方程為，過點D（1，0）.若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點.因此，直線MN必過軸上的點（1，0）.2019全國卷文21已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求該圓的方程.21解：（1）設(shè)，則由于，所以切線DA的斜率為，故整理得設(shè)，同理可得