1、6.1 多元函數的基本概念一、平面點集 n維空間二、多元函數概念 三、多元函數的極限 四、多元函數的連續性 6.1 多元函數的基本概念一、平面點集 n維空間二、多元函提示：一、平面點集 n維空間 1.平面點集 坐標平面上具有某種性質P的點的集合 稱為平面點集記作 E(x y)| (x y)具有性質P 集合R2RR(x y)|x yR表示坐標平面 提示：一、平面點集 n維空間 1.平面點集 一、平面點集 n維空間 1.平面點集 坐標平面上具有某種性質P的點的集合 稱為平面點集記作 E(x y)| (x y)具有性質P 例如 平面上以原點為中心、r為半徑的圓內所有點的集合是 C(x y)| x2y

2、2r2 或 CP| |OP|r 其中P表示坐標為(x y)的點 |OP|表示點P到原點O的距離 一、平面點集 n維空間 1.平面點集 坐標平注： 設P0(x0 y0)是xOy平面上的一個點 是某一正數 點P0的鄰域記為U(P0 ) 它是如下點集 鄰域 如果不需要強調鄰域的半徑 則用U(P0)表示點P0的某個鄰域 點P0的某個去心鄰域記作 注： 設P0(x0 y0)是xOy平面上的一 任意一點PR2與任意一個點集ER2之間必有以下三種關系中的一種 點與點集之間的關系 內點 如果存在點P的某一鄰域U(P) 使得U(P)E 則稱P為E的內點 外點 如果存在點P的某個鄰域U(P) 使得U(P)E 則稱

3、P為E的外點 邊界點 如果點P的任一鄰域內既有屬于E的點 也有不屬于E的點 則稱P點為E的邊點邊界點內點外點提問 E的內點、外點、邊界點是否都必屬于E？ E的邊界點的全體 稱為E的邊界 記作E 任意一點PR2與任意一個點集ER2之間必開集 如果點集E的點都是內點, 則稱E為開集. 閉集 如果點集的余集Ec為開集 則稱E為閉集 舉例 點集E(x y)|1x2y20 函數zarcsin(x2y2)的定義域為 (x y)|x2y21 舉例 在一般地討論用算式表達的多元函數uf(x)z=ax+by+c二元函數的圖形 點集(x, y, z)|z=f(x, y), (x, y)D稱為二元函數zf(x, y

4、)的圖形. 二元函數的圖形是一張曲面. z=ax+by+c表示一張平面. 舉例 方程x2+y2+z2a2確定兩個二元函數分別表示上半球面和下半球面, 其定義域均為D=(x, y)|x2+y2a2.z=ax+by+c二元函數的圖形 z=ax三、多元函數的極限二重極限的定義 設二元函數f(P)f(x y)的定義域為D P0(x0 y0)是D的點 如果存在常數A 對于任意給定的正數e總存在正數 使得當 |f(P)A|f(x y)A|成立 則稱常數A為函數f(x y)當(x y)(x0 y0)時的極限 記為也記作 注 上述定義的極限也稱為二重極限 三、多元函數的極限二重極限的定義 設二元 證明 因為

5、例1 證明 因為 例1 必須注意 (1)二重極限存在, 是指P以任何方式趨于P0時, 函數都無限接近于A . (2)如果當P以兩種不同方式趨于P0時, 函數趨于不同的值, 則函數的極限不存在. 討論 必須注意討論 多元函數的極限運算法則 與一元函數的情況類似. 解 例2 多元函數的極限運算法則 解 四、多元函數的連續性二元函數連續性定義 二元函數的連續性概念可相應地推廣到n元函數f(P)上去. 設二元函數f(P)f (x y)的定義域為D P0(x0 y0)為D的聚點 且P0D 如果則稱函數f (x y)在點P0(x0 y0)連續 如果函數f (x y)在D的每一點都連續 那么就稱函數f (x

6、 y)在D上連續 或者稱f (x y)是D上的連續函數 四、多元函數的連續性二元函數連續性定義 二元函所以f(x y)sin x在點P0(x0 y0)連續 由P0的任意性知 sin x作為x y的二元函數在R2上連續 例3 設f(x,y)sin x 證明f(x y)是R2上的連續函數 對于任意的P0(x0 y0)R2 因為 類似的討論可知 一元基本初等函數看成二元函數或二元以上的多元函數時 它們在各自的定義域內都是連續的 證所以f(x y)sin x在點P0(x0 y0)連續有洞曲面有縫曲面 設函數f(x y)的定義域為D P0(x0 y0)是D的聚點 如果函數f(x y)在點P0不連續 則稱

7、P0為函數f(x y)的間斷點 函數的間斷點 間斷點可能是孤立點也可能是曲線上的點 間斷點舉例 有洞曲面有縫曲面 設函數f(x y)的定義域提示 多元連續函數的和、差、積仍為連續函數 連續函數的商在分母不為零處仍連續 多元連續函數的復合函數也是連續函數 一切多元初等函數在其定義區域內是連續的多元初等函數的連續性 多元初等函數是指可用一個式子所表示的多元函數 這個式子是由常數及具有不同自變量的一元基本初等函數經過有限次的四則運算和復合運算而得到的 提示 定義區域是指包含在定義域內的區域或閉區域 提示 多元連續函數的和、差、積仍為連續函數根據連續性求極限 如果f(P)是初等函數 且P0是f(P)的定義域的內點 則 例4 解 因為P0(1 2)為D的內點 所以 D(x y)|x0 y0 根據連續性求極限 如果f(P)是初等函根據連續性求極限 如果f(P)是初等函數 且P0是f(P)的定義域的內點 則 例5 解 根據連續性求極限 如果f(P)是初等函注性質1(有界性與最大值最小值定理) 在有界閉區域D上的多元連續函數 必定在D上有界 且能取得它的最大值和最小值多元連續函數的性質 根據性質1 若f(P)在有界閉區域D上連續 則必定存在常數M0 使得對一切PD 有|f