1、PAGE PAGE 14安徽省2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題滿分150分 時(shí)間120分鐘選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）1若虛數(shù)滿足，則 （）ABCD2如圖1、圖2分別是甲、乙兩戶居民家庭全年各項(xiàng)支出的統(tǒng)計(jì)圖根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，下列對(duì)兩戶居民旅游支出占全年總支出的百分比作出的判斷中，正確的是 （）A甲戶比乙戶大B乙戶比甲戶大C甲、乙兩戶一般大D無(wú)法確定哪一戶大3已知m，n是兩條直線，是兩個(gè)平面，下列說(shuō)法正確的是 （）A若mn，n，則mB若，m，則mC若m，n，則mnD若m，m，則4史記中講述了田忌與齊王賽馬的故事其中，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的

2、中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬若雙方各自擁有上等馬、中等馬、下等馬各1匹，且雙方各自隨機(jī)選1匹馬進(jìn)行1場(chǎng)比賽，則田忌的馬獲勝的概率為 （）ABCD5如圖，由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，已知，則 （）ABCD6四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷出一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是 （）A平均數(shù)為3，中位數(shù)為2B中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C平均數(shù)為2，方差為2.4D中位數(shù)為3，方差為2.87已知向量，滿足|1，|2，與的夾角為，向量是與同向的單位向量，則向量+在向量上的投影向量為 （）AB2CD28如圖

3、，無(wú)人機(jī)在離地面高200m的A處，觀測(cè)到山頂M處的仰角為15、山腳C處的俯角為45，已知MCN60，則山的高度MN為 （）A300mBmCmD275m將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的6倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象若為奇函數(shù)，則的最小值為（）ABCD10在中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A若，則B存在滿足C若，則為鈍角三角形D若，則11在棱長(zhǎng)為2的正方體中，平面，則以平面截正方體所得的截面面積最大時(shí)的截面為底面，以為頂點(diǎn)的錐體的外接球的表面積為（）ABCD12已知函數(shù)，若存在三個(gè)實(shí)數(shù)，使得成立，則的取值范圍是（）ABCD填空題（共4小題，每小題5分，共20分

4、）13已知命題，.若為假命題，則的取值范圍為_14對(duì)于函數(shù),其中,若的定義域與值域相同,則非零實(shí)數(shù)a的值為_15已知向量與的夾角為，且，若，且，則實(shí)數(shù)的值是16在平行四邊形中，將此平行四邊形沿對(duì)角線折疊，使平面平面，則三棱錐外接球的體積是三、解答題（共6小題，共70分）17已知對(duì)于正數(shù)、，存在一些特殊的形式，如：、等.（1）判斷上述三者的大小關(guān)系，并證明；（2）定義：間距，間距，判斷兩者的大小關(guān)系，并證明.18甲、乙、丙三人參加一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約甲表示只要面試合格就簽約，乙丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約設(shè)甲面試合格的概率為，乙丙每人面試合格的概率都是

5、，且三人面試是否合格互不影響求：（1）恰有一人面試合格的概率；（2）至多一人簽約的概率19已知向量，若函數(shù)的最小正周期為.（1）求的解析式；（2）若關(guān)于的方程在有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20已知三棱柱，平面平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，的中點(diǎn)（1）證明：；（2）求直線EF與平面所成角的余弦值.21已知中，過(guò)重心G的直線交邊于P，交邊于Q，設(shè)的面積為，的面積為，.（1）求證：.（2）求的取值范圍.22隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測(cè)得他們的身高（單位：cm），按照區(qū)間，分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求頻率分布直方圖中的值及身高在170cm及以上的學(xué)生人數(shù)；（2）估計(jì)該校100名生學(xué)

6、身高的75%分位數(shù).（3）若一個(gè)總體劃分為兩層，通過(guò)按樣本量比例分配分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，證明：參考答案1.若虛數(shù)滿足，則( )ABCD【答案】A【解析】設(shè)，則由，得，即，所以，解得，所以故選A2.如圖1、圖2分別是甲、乙兩戶居民家庭全年各項(xiàng)支出的統(tǒng)計(jì)圖根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，下列對(duì)兩戶居民旅游支出占全年總支出的百分比作出的判斷中，正確的是（）A甲戶比乙戶大B乙戶比甲戶大C甲、乙兩戶一般大D無(wú)法確定哪一戶大解：由餅狀圖，甲戶的旅游支出占25%；由柱狀圖，乙戶的旅游支出占25%故選：A3已知m，n是兩條直線，是兩個(gè)平面，下列說(shuō)法正確的是（

7、）A若mn，n，則mB若，m，則mC若m，n，則mnD若m，m，則解：由m，n是兩條直線，是兩個(gè)平面，知：對(duì)于A，若mn，n，則m或m，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，m，則m與相交、平行或m，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若m，n，則m與n平行或異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若m，m，則由面面垂直的判定定理得，故D正確故選：D4史記中講述了田忌與齊王賽馬的故事其中，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬若雙方各自擁有上等馬、中等馬、下等馬各1匹，且雙方各自隨機(jī)選1匹馬進(jìn)行1場(chǎng)比賽，則田忌的馬獲勝的概率為（）ABCD解：田忌的上等馬優(yōu)于

8、齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬若雙方各自擁有上等馬、中等馬、下等馬各1匹，且雙方各自隨機(jī)選1匹馬進(jìn)行1場(chǎng)比賽，基本事件總數(shù)n339，分別為：田忌的上等馬對(duì)陣齊王的上等馬，田忌的上等馬對(duì)陣齊王的中等馬，田忌的上等馬對(duì)陣齊王的下等馬，田忌的中等馬對(duì)陣齊王的上等馬，田忌的中等馬對(duì)陣齊王的中等馬，田忌的上等馬對(duì)陣齊王的下等馬，田忌的下等馬對(duì)陣齊王的上等馬，田忌的下等馬對(duì)陣齊王的中等馬，田忌的下等馬對(duì)陣齊王的下等馬，田忌的馬獲勝包含的基本事件有3種情況，分別為：田忌的上等馬對(duì)陣齊王的中等馬，田忌的上等馬對(duì)陣齊王的下等馬，田忌的

9、中等馬對(duì)陣齊王的下等馬，則田忌的馬獲勝的概率為P故選：C5.如圖，由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，已知，則（）ABCD【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理求解即可解：2，+（）+，+，+故選：C6.四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷出一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A平均數(shù)為3，中位數(shù)為2B中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C平均數(shù)為2，方差為2.4D中位數(shù)為3，方差為2.8解：對(duì)于A，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，1，2，5，6時(shí)，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，4，6時(shí)

10、，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)6點(diǎn)，則方差S2（62）23.22.4，平均數(shù)為2，方差為2.4時(shí)，一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，3，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，平均數(shù)為：（1+2+3+3+6）3方差為S2（13）2+（23）2+（33）2+（33）2+（63）22.8，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故D錯(cuò)誤故選：C7.已知向量，滿足|1，|2，與的夾角為，向量是與同向的單位向量，則向量+在向量上的投影向量為（）AB2CD2解：|1，|2，與的夾角為，|cos121，（+）+1+12，向量+在向量上的投影為2，向量+在向量上

11、的投影為2故選：B8.如圖，無(wú)人機(jī)在離地面高200m的A處，觀測(cè)到山頂M處的仰角為15、山腳C處的俯角為45，已知MCN60，則山的高度MN為（）A300mBmCmD275m解：RtABC中，ACB45，AB200，AC200；又ACM中，MAC15+4560，ACM180604575，AMC180756045，解得MC200；RtMNC中，MCN60，MNMCsin60200300，則山的高度MN為300m故選：A9.將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的6倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象若為奇函數(shù)，則的最小值為ABCD【答案】D【解析】將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)

12、的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的6倍（縱坐標(biāo)不變），得到，再將所得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象由，即，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，解得因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，的最小值為故選D10.在中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）A若，則B存在滿足C若，則為鈍角三角形D若，則【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，則，即，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由，則，且，在上遞減，于是，即，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤對(duì)于C選項(xiàng)，由，得，在上遞減，此時(shí)：若，則，則，于是；若，則，則，于是，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由，則，則，在遞增，于是， 即，同理，此時(shí)，所以D選項(xiàng)正確.故選：B11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，平面，則以平面截正方體所得的截面面積最大時(shí)的截面為底面，

13、以為頂點(diǎn)的錐體的外接球的表面積為（ ）ABCD【詳解】如圖，由正方體的對(duì)稱性，可知當(dāng)截面為正六邊形時(shí)，截面面積最大，此時(shí)正六邊形的邊長(zhǎng)為，設(shè)交截面于，則為的中點(diǎn)，所以，設(shè)正六棱錐外接球的球心為，外接球半徑為，當(dāng)球心在棱錐內(nèi)部時(shí)，有，解得，外接球面積為；若球心在棱錐外部時(shí)，有，解得（舍去）以為頂點(diǎn)的錐體的外接球的表面積為12.已知函數(shù)，若存在三個(gè)實(shí)數(shù)，使得成立，則的取值范圍是( )ABCD【答案】B【分析】畫出的圖象,由可得,即,再由即可求解.【詳解】由題,的圖象如圖所示,設(shè),由,可得,則,又,解得,則故選:B13.已知命題，.若為假命題，則的取值范圍為_【答案】【分析】首先寫出命題的否命題，根

14、據(jù)為假命題即可得出為真命題即可求出的取值范圍.【詳解】為假命題 為真命題，故在 的最小值為 故答案為：14.對(duì)于函數(shù),其中,若的定義域與值域相同,則非零實(shí)數(shù)a的值為_.【詳解】函數(shù)，其中若，由于，即，對(duì)于正數(shù)b，的定義域?yàn)?，但的值域，故，不合要求.若，對(duì)于正數(shù)b，的定義域?yàn)?由于此時(shí)，故函數(shù)的值域.由題意，有，由于，所以.15.已知向量與的夾角為，且，若，且，則實(shí)數(shù)的值是 【答案】【解析】向量與的夾角為，且，若，且，則，則實(shí)數(shù)，故答案為：16.在平行四邊形中，將此平行四邊形沿對(duì)角線折疊，使平面平面，則三棱錐外接球的體積是 【答案】【解析】解：如圖，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，同理可

15、證，在中，所以，取中點(diǎn)為，連接，由直角三角形的性質(zhì)可知，又，即到，四點(diǎn)的距離相等，為三棱錐外接球的球心，球的體積，故答案為：17.已知對(duì)于正數(shù)、，存在一些特殊的形式，如：、等.（1）判斷上述三者的大小關(guān)系，并證明；（2）定義：間距，間距，判斷兩者的大小關(guān)系，并證明.【答案】（1）；證明見解析；（2），證明見解析.【分析】（1）作差法，判斷差的符號(hào)，可得證；（2）由（1）和基本不等式可得，可得證.【詳解】（1），證明如下：因?yàn)椋帧⑹钦龜?shù)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故；因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以；故.（2）因?yàn)椤⑹钦龜?shù)，所以，當(dāng)僅且當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以，所以，所以.18甲、乙、丙三人參

16、加一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約甲表示只要面試合格就簽約，乙丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約設(shè)甲面試合格的概率為，乙丙每人面試合格的概率都是，且三人面試是否合格互不影響求：（1）恰有一人面試合格的概率；（2）至多一人簽約的概率【分析】（1）利用對(duì)立事件的概率公式以及相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求解即可；（2）事件E：至多一人簽約，事件F：恰好一人簽約，事件G：沒(méi)人簽約，然后由互斥事件的加法公式得到P（E）P（F）+P（G），再利用對(duì)立事件的概率公式以及相互獨(dú)立事件的概率乘法公式分別求解P（F），P（G），即可得到答案解：（1）記事件A：甲面試合格，事件B：乙面試合格

17、事件C：丙面試合格事件D：恰好有一人面試合格，依題意，事件A、B、C相互獨(dú)立，所以；（2）事件E：至多一人簽約，事件F：恰好一人簽約，事件G：沒(méi)人簽約，因?yàn)镕與G互斥，所以P（E）P（F）+P（G），又，所以至多一人簽約的概率為19已知向量，若函數(shù)的最小正周期為.（1）求的解析式；（2）若關(guān)于的方程在有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋?因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋裕矗?（2）由（1）可知.因?yàn)椋?令，則，則方程可化為，即.因?yàn)椋裕?所以由題意可知，方程在時(shí)有解；令，當(dāng)時(shí)，由得（舍）；當(dāng)時(shí)，則可化為，令，設(shè)，則，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值，當(dāng)時(shí)，取到最大值8，所

18、以，所以，解得或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或.已知三棱柱，平面平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，的中點(diǎn)（1）證明：；（2）求直線EF與平面所成角的余弦值.【詳解】證明：（1）連接，是的中點(diǎn)，又平面平面，平面，平面平面，平面，平面，.（2）取中點(diǎn)，連接，則是平行四邊形，由于平面，故，平行四邊形是矩形，由（1）得平面，則平面平面，在平面上的射影在直線上，連接，交于，則是直線與平面所成角(或其補(bǔ)角)，不妨設(shè)，則在中，是的中點(diǎn)，故，直線與平面所成角的余弦值為.21.已知中，過(guò)重心G的直線交邊于P，交邊于Q，設(shè)的面積為，的面積為，.（1）求證：.（2）求的取值范圍.【詳解】設(shè)，又，三點(diǎn)共線，則存在，使得，即即，整理得，即，兩邊同除以得，（2）由，利用三角形面積公式得：，則，可知，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最小值，又，故的取值范圍為22.隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測(cè)得他們的