1、第六章計數原理6.2排列與組合6.2.3組合學習目標素養要求1.通過實例理解組合的概念數學抽象2.會解決簡單的組合問題邏輯推理| 自學導引 |一般地，從n個不同元素中_，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合【答案】取出m(mn)個元素作為一組組合的概念【預習自測】下列問題屬于組合問題的是_由1,2,3,4構成的雙元素集合；由1,2,3構成的兩位數的方法；由1,2,3組合無重復數字的兩位數的方法【答案】(1)共同點：兩者都是從n個不同的元素中取出m(mn)個元素(2)不同點：排列與元素的順序_，組合與元素的順序_注意：元素相同且順序也相同的兩個排列才是相同的；只要元素相同，不論元素的順序如

2、何，兩個組合都是相同的【答案】有關無關排列與組合之間的聯系與區別從3,5,7,11中任取兩個數相除；從3,5,7,11中任取兩個數相乘以上兩個問題中哪個是排列？與有何不同特點？提示：是排列，中選取的兩個數相除是有順序要求的，中選取的兩個數相乘是無順序要求的【預習自測】| 課堂互動 | 判斷下列問題是排列問題，還是組合問題(1)從1,2,3，9九個數字中任取3個，組成一個三位數，這樣的三位數共有多少個？(2)從1,2,3，9九個數字中任取3個，然后把這三個數字相加得到一個和，這樣的和共有多少個？(3)從a，b，c，d四名學生中選兩名去完成同一份工作，有多少種不同的選法？素養點睛：考查數學抽象素養

3、題型1組合的概念解：(1)當取出3個數字后，如果改變3個數字的順序，會得到不同的三位數，此問題不但與取出元素有關，而且與元素的安排順序有關，是排列問題(2)取出3個數字之后，無論怎樣改變這3個數字的順序，其和均不變，此問題只與取出元素有關，而與元素的安排順序無關，是組合問題(3)兩名學生完成的是同一份工作，沒有順序，是組合問題組合與排列的區別方法先弄清楚事件是什么，再根據有無順序區分排列與組合區分有無順序的方法是：把問題的一個選擇結果寫出來，然后交換這個結果中任意兩個元素的位置，看是否會產生新的變化，若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題1判斷下列問題是組合

4、問題還是排列問題：(1)把5本不同的書分給5個學生，每人一本；(2)從7本不同的書中取出5本給某個同學；(3)10個人相互寫一封信，共寫了幾封信；(4)10個人互相通一次電話，共通了幾次電話解：(1)由于書不同，每人每次拿到的也不同，有順序之分，故它是排列問題(2)從7本不同的書中，取出5本給某個同學，在每種取法中某個同學拿到的5本書并不考慮書的順序，故它是組合問題(3)因為兩人互寫一封信跟寫信人與收信人的順序有關，故它是排列問題(4)因為互通電話一次沒有順序之分，故它是組合問題 現有6名教師，其中4名男教師，2名女教師(1)現要從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？(2)現要從中選出男、

5、女教師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？素養點睛：考查邏輯推理素養題型2簡單的組合問題解：(1)設4名男教師分別為“男1，男2，男3，男4”，2名女教師分別為“女1，女2”，則從中選2名的選法有“男1，男2；男1，男3；男1，男4；男1，女1；男1，女2；男2，男3；男2，男4；男2，女1；男2，女2；男3，男4；男3，女1；男3，女2；男4，女1；男4，女2；女1，女2”共15種(2)從4名男教師中選2名有“男1，男2；男1，男3；男1，男4；男2，男3；男2，男4；男3，男4”共6種，2名女教師只有1種選法，根據分布乘法計數原理，共有不同的選法616(種)【例題遷移】(改變問法)本例已

6、知條件不變，若改為：現從中選2名教師參加會議，至少有1名男教師的選法是多少？最多有1名男教師的選法又是多少？解：至少有1名男教師可分兩類：1男1女和2男0女由例2知，1男1女有8種，2男0女有6種，根據分類加法計數原理知有8614(種)最多有1名男教師包括兩類：1男1女和0男2女由例2知，1男1女有8種， 0男2女有1種，根據分類加法計數原理知有819(種)簡單的組合問題的解題思路及注意點1解簡單的組合應用題時，首先要判斷它是不是組合問題排列問題與元素順序有關，而組合問題與元素的順序無關2要注意兩個基本原理的運用，即分類與分步的靈活運用在分類和分步時，一定注意有無重復或遺漏2一個口袋內裝有4個

7、標號不同的白球和1個黑球(1)從口袋內取出3個小球，共有多少種取法？(2)從口袋內取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？(3)從口袋內取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？解：設口袋內的4個白球分別為“白1，白2，白3，白4”，則(1)從口袋內取出3個小球，有“白1，白2，白3；白1，白2，白4；白1，白2，黑；白1，白3，白4；白1，白3，黑；白1，白4，黑；白2，白3，白4；白2，白3，黑；白2，白4，黑；白3，白4，黑”共10種取法(2)取出的3個球中有1個黑球，由(1)知有6種取法(3)取出的3個球中不含黑球，由(1)知有4種取法 某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一

8、門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人，有多少種不同的選法？素養點睛：考查邏輯推理素養及數學建模素養解：由題意得有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語第一類：從只會英語的6人中選1人說英語有6種方法，則會日語的有213(種)此時共有6318(種)題型3雙重元素的組合問題第二類：選既會英語又會日語的1人說英語有1種方法，此時選會日語的有2種故共有122(種)方法所以由分類計數原理知共有18220(種)選法本題用到兩個計數原理解題，兩個原理的區別在于：分類每次得到的是最后結果，分步每次得到的是中間結果，即每次僅完成整件事情的一部分，當且僅當幾個步驟全部做完后，整件

9、事情才算完成3某校開設A類選修課3門，B類選修課5門，一位同學要從中選3門若要求兩類課程中各至少選1門，則不同的選法共有()A15種B30種C45種D90種【答案】C【解析】分兩類，A類選修課選1門，B選修課選2門，或者A類選修課選2門，B類選修課選1門，因此，共有3103545(種)選法 有甲、乙、丙3項任務，任務甲需要2人承擔，任務乙、丙各需要1人承擔，從5人中選派4人承擔這3項任務，不同的選法共有_種(用數字作答)錯解：分3步完成：第一步：從5人中選出4人，有5種方法第二步：從這4人中選出2人承擔任務甲，有A種方法第三步：剩下的2人分別承擔任務乙、丙，有A種方法根據乘法原理，不同的選法共

10、有5AA120種易錯警示“排列”“組合”概念混淆不清易錯防范：錯因是“排列”“組合”概念混淆不清承擔任務甲的兩人與順序無關，此處應是組合問題(設5人分別為A，B，C，D，E，則有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10種)正解一：先從5人中選出2人承擔任務甲；再從余下3人中選出1人承擔任務乙；最后從剩下的2人中選出1人去承擔任務丙根據乘法原理，不同的選法共有103260(種)正解二：先從5人中選出2人承擔任務甲；再從余下3人中選出2人分別承擔任務乙、丙根據乘法原理，不同的選法共有10A60(種).| 素養達成 |排列與組合的聯系與區別：(1)聯系：二者都是從n個不同的元

11、素中取m(mn)個元素(2)區別：排列問題中元素有序，組合問題中元素無序1以下四個問題，屬于組合問題的是()A從3個不同的小球中，取出2個排成一列B老師在排座次時將甲、乙兩位同學安排為同桌C在電視節目中，主持人從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星D從13位司機中任選出兩位開同一輛車往返甲、乙兩地【答案】C【解析】只有從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星，與順序無關，是組合問題2在1,2,3,4,5這五個數字組成的沒有重復數字的三位數中，各數位之和為偶數的共有()A36個B24個C18個D6個【答案】A3某班級要從4名男生、2名女生中派4人參加某次社區服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數為()A14B24C28D48【答案】A【解析】可分類完成第1類，選派1名女生、3名男生(男1男2男3，男1男2男4，男1男3男4，男2男3男4)，有248(種)選派方案；第2類，選派2名女生、2名男生(男1男2，男1男3，男1男4，男2男3，男2男4，男3男4)，有166(種)選派方案故共有8614(種)不同的選派方